Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ex-ovoliunnfl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ex-ovoliunnfl 33582
 Description: Demonstration of ovoliunnfl 33581. (Contributed by Brendan Leahy, 21-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
ex-ovoliunnfl ((𝐴 ≼ ℕ ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 ≼ ℕ) → 𝐴 ≠ ℝ)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem ex-ovoliunnfl
Dummy variables 𝑓 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2651 . . 3 seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑓𝑚)))) = seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑓𝑚))))
2 eqid 2651 . . 3 (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑓𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑓𝑚)))
3 fveq2 6229 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑚 → (𝑓𝑛) = (𝑓𝑚))
43sseq1d 3665 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑓𝑛) ⊆ ℝ ↔ (𝑓𝑚) ⊆ ℝ))
53fveq2d 6233 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑚 → (vol*‘(𝑓𝑛)) = (vol*‘(𝑓𝑚)))
65eleq1d 2715 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑚 → ((vol*‘(𝑓𝑛)) ∈ ℝ ↔ (vol*‘(𝑓𝑚)) ∈ ℝ))
74, 6anbi12d 747 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑚 → (((𝑓𝑛) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝑓𝑛)) ∈ ℝ) ↔ ((𝑓𝑚) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝑓𝑚)) ∈ ℝ)))
87rspccva 3339 . . . . 5 ((∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑓𝑛) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝑓𝑛)) ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑓𝑚) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝑓𝑚)) ∈ ℝ))
98simpld 474 . . . 4 ((∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑓𝑛) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝑓𝑛)) ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑓𝑚) ⊆ ℝ)
109adantll 750 . . 3 (((𝑓 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑓𝑛) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝑓𝑛)) ∈ ℝ)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑓𝑚) ⊆ ℝ)
118simprd 478 . . . 4 ((∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑓𝑛) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝑓𝑛)) ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (vol*‘(𝑓𝑚)) ∈ ℝ)
1211adantll 750 . . 3 (((𝑓 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑓𝑛) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝑓𝑛)) ∈ ℝ)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (vol*‘(𝑓𝑚)) ∈ ℝ)
131, 2, 10, 12ovoliun 23319 . 2 ((𝑓 Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑓𝑛) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝑓𝑛)) ∈ ℝ)) → (vol*‘ 𝑚 ∈ ℕ (𝑓𝑚)) ≤ sup(ran seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑓𝑚)))), ℝ*, < ))
1413ovoliunnfl 33581 1 ((𝐴 ≼ ℕ ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 ≼ ℕ) → 𝐴 ≠ ℝ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∀wral 2941   ⊆ wss 3607  ∪ cuni 4468   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762   Fn wfn 5921  ‘cfv 5926   ≼ cdom 7995  ℝcr 9973  1c1 9975   + caddc 9977  ℕcn 11058  seqcseq 12841  vol*covol 23277 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cc 9295  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-rest 16130  df-topgen 16151  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-top 20747  df-topon 20764  df-bases 20798  df-cmp 21238  df-ovol 23279 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator