Theorem ex-mod 27642

Description: Example for df-mod 12876. (Contributed by AV, 3-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-mod	⊢ ((5 mod 3) = 2 ∧ (-7 mod 2) = 1)

Proof of Theorem ex-mod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3p2e5 11361	. . . . 5 ⊢ (3 + 2) = 5
2	1	eqcomi 2779	. . . 4 ⊢ 5 = (3 + 2)
3	2	oveq1i 6802	. . 3 ⊢ (5 mod 3) = ((3 + 2) mod 3)
4		2nn0 11510	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		3nn 11387	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
6		2lt3 11396	. . . 4 ⊢ 2 < 3
7		addmodid 12925	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ ∧ 2 < 3) → ((3 + 2) mod 3) = 2)
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1571	. . 3 ⊢ ((3 + 2) mod 3) = 2
9	3, 8	eqtri 2792	. 2 ⊢ (5 mod 3) = 2
10		2re 11291	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
11		2lt7 11414	. . . . . 6 ⊢ 2 < 7
12	10, 11	ltneii 10351	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 7
13		2nn 11386	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
14		1lt2 11395	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 2
15	13, 14	pm3.2i 447	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℕ ∧ 1 < 2)
16		eluz2b2 11963	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℕ ∧ 1 < 2))
17	15, 16	mpbir 221	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
18		7prm 16023	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℙ
19		dvdsprm 15621	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 7 ∈ ℙ) → (2 ∥ 7 ↔ 2 = 7))
20	17, 18, 19	mp2an 664	. . . . 5 ⊢ (2 ∥ 7 ↔ 2 = 7)
21	12, 20	nemtbir 3037	. . . 4 ⊢ ¬ 2 ∥ 7
22		2z 11610	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
23		7nn 11391	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ
24	23	nnzi 11602	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℤ
25		dvdsnegb 15207	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 7 ∈ ℤ) → (2 ∥ 7 ↔ 2 ∥ -7))
26	22, 24, 25	mp2an 664	. . . 4 ⊢ (2 ∥ 7 ↔ 2 ∥ -7)
27	21, 26	mtbi 311	. . 3 ⊢ ¬ 2 ∥ -7
28		znegcl 11613	. . . 4 ⊢ (7 ∈ ℤ → -7 ∈ ℤ)
29		mod2eq1n2dvds 15278	. . . 4 ⊢ (-7 ∈ ℤ → ((-7 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ -7))
30	24, 28, 29	mp2b 10	. . 3 ⊢ ((-7 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ -7)
31	27, 30	mpbir 221	. 2 ⊢ (-7 mod 2) = 1
32	9, 31	pm3.2i 447	1 ⊢ ((5 mod 3) = 2 ∧ (-7 mod 2) = 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1630   ∈ wcel 2144   class class class wbr 4784  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792  1c1 10138   + caddc 10140   < clt 10275  -cneg 10468  ℕcn 11221  2c2 11271  3c3 11272  5c5 11274  7c7 11276  ℕ₀cn0 11493  ℤcz 11578  ℤ_≥cuz 11887   mod cmo 12875   ∥ cdvds 15188  ℙcprime 15591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-2o 7713  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-sup 8503  df-inf 8504  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-z 11579  df-dec 11695  df-uz 11888  df-rp 12035  df-ico 12385  df-fz 12533  df-fl 12800  df-mod 12876  df-seq 13008  df-exp 13067  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-dvds 15189  df-prm 15592

This theorem is referenced by: (None)