MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-ind-dvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ex-ind-dvds 27660
Description: Example of a proof by induction (divisibility result). (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.) (Revised by BJ, 24-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
ex-ind-dvds (𝑁 ∈ ℕ0 → 3 ∥ ((4↑𝑁) + 2))

Proof of Theorem ex-ind-dvds
Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6804 . . . 4 (𝑘 = 0 → (4↑𝑘) = (4↑0))
21oveq1d 6811 . . 3 (𝑘 = 0 → ((4↑𝑘) + 2) = ((4↑0) + 2))
32breq2d 4799 . 2 (𝑘 = 0 → (3 ∥ ((4↑𝑘) + 2) ↔ 3 ∥ ((4↑0) + 2)))
4 oveq2 6804 . . . 4 (𝑘 = 𝑛 → (4↑𝑘) = (4↑𝑛))
54oveq1d 6811 . . 3 (𝑘 = 𝑛 → ((4↑𝑘) + 2) = ((4↑𝑛) + 2))
65breq2d 4799 . 2 (𝑘 = 𝑛 → (3 ∥ ((4↑𝑘) + 2) ↔ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 2)))
7 oveq2 6804 . . . 4 (𝑘 = (𝑛 + 1) → (4↑𝑘) = (4↑(𝑛 + 1)))
87oveq1d 6811 . . 3 (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((4↑𝑘) + 2) = ((4↑(𝑛 + 1)) + 2))
98breq2d 4799 . 2 (𝑘 = (𝑛 + 1) → (3 ∥ ((4↑𝑘) + 2) ↔ 3 ∥ ((4↑(𝑛 + 1)) + 2)))
10 oveq2 6804 . . . 4 (𝑘 = 𝑁 → (4↑𝑘) = (4↑𝑁))
1110oveq1d 6811 . . 3 (𝑘 = 𝑁 → ((4↑𝑘) + 2) = ((4↑𝑁) + 2))
1211breq2d 4799 . 2 (𝑘 = 𝑁 → (3 ∥ ((4↑𝑘) + 2) ↔ 3 ∥ ((4↑𝑁) + 2)))
13 3z 11617 . . . 4 3 ∈ ℤ
14 iddvds 15204 . . . 4 (3 ∈ ℤ → 3 ∥ 3)
1513, 14ax-mp 5 . . 3 3 ∥ 3
16 4nn0 11518 . . . . . 6 4 ∈ ℕ0
1716numexp0 15987 . . . . 5 (4↑0) = 1
1817oveq1i 6806 . . . 4 ((4↑0) + 2) = (1 + 2)
19 1p2e3 11359 . . . 4 (1 + 2) = 3
2018, 19eqtri 2793 . . 3 ((4↑0) + 2) = 3
2115, 20breqtrri 4814 . 2 3 ∥ ((4↑0) + 2)
2213a1i 11 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 2)) → 3 ∈ ℤ)
2316a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℕ0)
24 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)
2523, 24nn0expcld 13238 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 → (4↑𝑛) ∈ ℕ0)
2625nn0zd 11687 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 → (4↑𝑛) ∈ ℤ)
2726adantr 466 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 2)) → (4↑𝑛) ∈ ℤ)
28 2z 11616 . . . . . . . 8 2 ∈ ℤ
2928a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 2)) → 2 ∈ ℤ)
3027, 29zaddcld 11693 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 2)) → ((4↑𝑛) + 2) ∈ ℤ)
31 4z 11618 . . . . . . 7 4 ∈ ℤ
3231a1i 11 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 2)) → 4 ∈ ℤ)
33 simpr 471 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 2)) → 3 ∥ ((4↑𝑛) + 2))
3422, 30, 32, 33dvdsmultr1d 15229 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 2)) → 3 ∥ (((4↑𝑛) + 2) · 4))
35 dvdsmul1 15212 . . . . . . 7 ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → 3 ∥ (3 · 2))
3613, 28, 35mp2an 672 . . . . . 6 3 ∥ (3 · 2)
3736a1i 11 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 2)) → 3 ∥ (3 · 2))
3816a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 2)) → 4 ∈ ℕ0)
39 simpl 468 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 2)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
4038, 39nn0expcld 13238 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 2)) → (4↑𝑛) ∈ ℕ0)
4140nn0zd 11687 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 2)) → (4↑𝑛) ∈ ℤ)
4241, 29zaddcld 11693 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 2)) → ((4↑𝑛) + 2) ∈ ℤ)
4342, 32zmulcld 11695 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 2)) → (((4↑𝑛) + 2) · 4) ∈ ℤ)
4422, 29zmulcld 11695 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 2)) → (3 · 2) ∈ ℤ)
4522, 34, 37, 43, 44dvds2subd 15226 . . . 4 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 2)) → 3 ∥ ((((4↑𝑛) + 2) · 4) − (3 · 2)))
4625nn0cnd 11560 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 → (4↑𝑛) ∈ ℂ)
47 2cnd 11299 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
48 4cn 11304 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℂ
4948a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℂ)
5046, 47, 49adddird 10271 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 → (((4↑𝑛) + 2) · 4) = (((4↑𝑛) · 4) + (2 · 4)))
5150oveq1d 6811 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((((4↑𝑛) + 2) · 4) − (2 · 3)) = ((((4↑𝑛) · 4) + (2 · 4)) − (2 · 3)))
52 3cn 11301 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℂ
53 2cn 11297 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
5452, 53mulcomi 10252 . . . . . . . 8 (3 · 2) = (2 · 3)
5554a1i 11 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 → (3 · 2) = (2 · 3))
5655oveq2d 6812 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((((4↑𝑛) + 2) · 4) − (3 · 2)) = ((((4↑𝑛) + 2) · 4) − (2 · 3)))
5749, 24expp1d 13216 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 → (4↑(𝑛 + 1)) = ((4↑𝑛) · 4))
58 ax-1cn 10200 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℂ
59 3p1e4 11360 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 + 1) = 4
6052, 58, 59addcomli 10434 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 + 3) = 4
6160eqcomi 2780 . . . . . . . . . . . . 13 4 = (1 + 3)
6261oveq1i 6806 . . . . . . . . . . . 12 (4 − 3) = ((1 + 3) − 3)
6358, 52pncan3oi 10503 . . . . . . . . . . . 12 ((1 + 3) − 3) = 1
6462, 63eqtri 2793 . . . . . . . . . . 11 (4 − 3) = 1
6564oveq2i 6807 . . . . . . . . . 10 (2 · (4 − 3)) = (2 · 1)
6653, 48, 52subdii 10685 . . . . . . . . . 10 (2 · (4 − 3)) = ((2 · 4) − (2 · 3))
67 2t1e2 11383 . . . . . . . . . 10 (2 · 1) = 2
6865, 66, 673eqtr3ri 2802 . . . . . . . . 9 2 = ((2 · 4) − (2 · 3))
6968a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 = ((2 · 4) − (2 · 3)))
7057, 69oveq12d 6814 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((4↑(𝑛 + 1)) + 2) = (((4↑𝑛) · 4) + ((2 · 4) − (2 · 3))))
7146, 49mulcld 10266 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((4↑𝑛) · 4) ∈ ℂ)
7247, 49mulcld 10266 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 · 4) ∈ ℂ)
7352a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℂ)
7447, 73mulcld 10266 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 · 3) ∈ ℂ)
7571, 72, 74addsubassd 10618 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((((4↑𝑛) · 4) + (2 · 4)) − (2 · 3)) = (((4↑𝑛) · 4) + ((2 · 4) − (2 · 3))))
7670, 75eqtr4d 2808 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((4↑(𝑛 + 1)) + 2) = ((((4↑𝑛) · 4) + (2 · 4)) − (2 · 3)))
7751, 56, 763eqtr4rd 2816 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((4↑(𝑛 + 1)) + 2) = ((((4↑𝑛) + 2) · 4) − (3 · 2)))
7877adantr 466 . . . 4 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 2)) → ((4↑(𝑛 + 1)) + 2) = ((((4↑𝑛) + 2) · 4) − (3 · 2)))
7945, 78breqtrrd 4815 . . 3 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∥ ((4↑𝑛) + 2)) → 3 ∥ ((4↑(𝑛 + 1)) + 2))
8079ex 397 . 2 (𝑛 ∈ ℕ0 → (3 ∥ ((4↑𝑛) + 2) → 3 ∥ ((4↑(𝑛 + 1)) + 2)))
813, 6, 9, 12, 21, 80nn0ind 11679 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → 3 ∥ ((4↑𝑁) + 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145   class class class wbr 4787  (class class class)co 6796  cc 10140  0cc0 10142  1c1 10143   + caddc 10145   · cmul 10147  cmin 10472  2c2 11276  3c3 11277  4c4 11278  0cn0 11499  cz 11584  cexp 13067  cdvds 15189
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-seq 13009  df-exp 13068  df-dvds 15190
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator