MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-hash Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ex-hash 27621
Description: Example for df-hash 13312. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
ex-hash (♯‘{0, 1, 2}) = 3

Proof of Theorem ex-hash
StepHypRef Expression
1 df-tp 4326 . . . 4 {0, 1, 2} = ({0, 1} ∪ {2})
21fveq2i 6355 . . 3 (♯‘{0, 1, 2}) = (♯‘({0, 1} ∪ {2}))
3 prfi 8400 . . . 4 {0, 1} ∈ Fin
4 snfi 8203 . . . 4 {2} ∈ Fin
5 2ne0 11305 . . . . . 6 2 ≠ 0
6 1ne2 11432 . . . . . . 7 1 ≠ 2
76necomi 2986 . . . . . 6 2 ≠ 1
85, 7nelpri 4346 . . . . 5 ¬ 2 ∈ {0, 1}
9 disjsn 4390 . . . . 5 (({0, 1} ∩ {2}) = ∅ ↔ ¬ 2 ∈ {0, 1})
108, 9mpbir 221 . . . 4 ({0, 1} ∩ {2}) = ∅
11 hashun 13363 . . . 4 (({0, 1} ∈ Fin ∧ {2} ∈ Fin ∧ ({0, 1} ∩ {2}) = ∅) → (♯‘({0, 1} ∪ {2})) = ((♯‘{0, 1}) + (♯‘{2})))
123, 4, 10, 11mp3an 1573 . . 3 (♯‘({0, 1} ∪ {2})) = ((♯‘{0, 1}) + (♯‘{2}))
132, 12eqtri 2782 . 2 (♯‘{0, 1, 2}) = ((♯‘{0, 1}) + (♯‘{2}))
14 prhash2ex 13379 . . . 4 (♯‘{0, 1}) = 2
15 2z 11601 . . . . 5 2 ∈ ℤ
16 hashsng 13351 . . . . 5 (2 ∈ ℤ → (♯‘{2}) = 1)
1715, 16ax-mp 5 . . . 4 (♯‘{2}) = 1
1814, 17oveq12i 6825 . . 3 ((♯‘{0, 1}) + (♯‘{2})) = (2 + 1)
19 2p1e3 11343 . . 3 (2 + 1) = 3
2018, 19eqtri 2782 . 2 ((♯‘{0, 1}) + (♯‘{2})) = 3
2113, 20eqtri 2782 1 (♯‘{0, 1, 2}) = 3
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1632  wcel 2139  cun 3713  cin 3714  c0 4058  {csn 4321  {cpr 4323  {ctp 4325  cfv 6049  (class class class)co 6813  Fincfn 8121  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131  2c2 11262  3c3 11263  cz 11569  chash 13311
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-hash 13312
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator