MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-gcd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ex-gcd 27656
Description: Example for df-gcd 15425. (Contributed by AV, 5-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
ex-gcd (-6 gcd 9) = 3

Proof of Theorem ex-gcd
StepHypRef Expression
1 6nn 11391 . . . 4 6 ∈ ℕ
21nnzi 11603 . . 3 6 ∈ ℤ
3 9nn 11394 . . . 4 9 ∈ ℕ
43nnzi 11603 . . 3 9 ∈ ℤ
5 neggcd 15452 . . 3 ((6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (-6 gcd 9) = (6 gcd 9))
62, 4, 5mp2an 672 . 2 (-6 gcd 9) = (6 gcd 9)
7 6cn 11304 . . . . . 6 6 ∈ ℂ
8 3cn 11297 . . . . . 6 3 ∈ ℂ
9 6p3e9 11372 . . . . . 6 (6 + 3) = 9
107, 8, 9addcomli 10430 . . . . 5 (3 + 6) = 9
1110eqcomi 2780 . . . 4 9 = (3 + 6)
1211oveq2i 6804 . . 3 (6 gcd 9) = (6 gcd (3 + 6))
13 3z 11612 . . . . . 6 3 ∈ ℤ
14 gcdcom 15443 . . . . . 6 ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (3 gcd 6))
152, 13, 14mp2an 672 . . . . 5 (6 gcd 3) = (3 gcd 6)
16 3p3e6 11363 . . . . . . 7 (3 + 3) = 6
1716eqcomi 2780 . . . . . 6 6 = (3 + 3)
1817oveq2i 6804 . . . . 5 (3 gcd 6) = (3 gcd (3 + 3))
1915, 18eqtri 2793 . . . 4 (6 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
20 gcdadd 15455 . . . . 5 ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6)))
212, 13, 20mp2an 672 . . . 4 (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6))
22 gcdid 15456 . . . . . 6 (3 ∈ ℤ → (3 gcd 3) = (abs‘3))
2313, 22ax-mp 5 . . . . 5 (3 gcd 3) = (abs‘3)
24 gcdadd 15455 . . . . . 6 ((3 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3)))
2513, 13, 24mp2an 672 . . . . 5 (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
26 3re 11296 . . . . . 6 3 ∈ ℝ
27 0re 10242 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
28 3pos 11316 . . . . . . 7 0 < 3
2927, 26, 28ltleii 10362 . . . . . 6 0 ≤ 3
30 absid 14244 . . . . . 6 ((3 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 3) → (abs‘3) = 3)
3126, 29, 30mp2an 672 . . . . 5 (abs‘3) = 3
3223, 25, 313eqtr3i 2801 . . . 4 (3 gcd (3 + 3)) = 3
3319, 21, 323eqtr3i 2801 . . 3 (6 gcd (3 + 6)) = 3
3412, 33eqtri 2793 . 2 (6 gcd 9) = 3
356, 34eqtri 2793 1 (-6 gcd 9) = 3
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1631  wcel 2145   class class class wbr 4786  cfv 6031  (class class class)co 6793  cr 10137  0cc0 10138   + caddc 10141  cle 10277  -cneg 10469  3c3 11273  6c6 11276  9c9 11279  cz 11579  abscabs 14182   gcd cgcd 15424
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8504  df-inf 8505  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-dvds 15190  df-gcd 15425
This theorem is referenced by:  ex-lcm  27657
  Copyright terms: Public domain W3C validator