Theorem ex-gcd 27656

Description: Example for df-gcd 15425. (Contributed by AV, 5-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-gcd	⊢ (-6 gcd 9) = 3

Proof of Theorem ex-gcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn 11391	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
2	1	nnzi 11603	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℤ
3		9nn 11394	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
4	3	nnzi 11603	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℤ
5		neggcd 15452	. . 3 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (-6 gcd 9) = (6 gcd 9))
6	2, 4, 5	mp2an 672	. 2 ⊢ (-6 gcd 9) = (6 gcd 9)
7		6cn 11304	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℂ
8		3cn 11297	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		6p3e9 11372	. . . . . 6 ⊢ (6 + 3) = 9
10	7, 8, 9	addcomli 10430	. . . . 5 ⊢ (3 + 6) = 9
11	10	eqcomi 2780	. . . 4 ⊢ 9 = (3 + 6)
12	11	oveq2i 6804	. . 3 ⊢ (6 gcd 9) = (6 gcd (3 + 6))
13		3z 11612	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
14		gcdcom 15443	. . . . . 6 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (3 gcd 6))
15	2, 13, 14	mp2an 672	. . . . 5 ⊢ (6 gcd 3) = (3 gcd 6)
16		3p3e6 11363	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 3) = 6
17	16	eqcomi 2780	. . . . . 6 ⊢ 6 = (3 + 3)
18	17	oveq2i 6804	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 6) = (3 gcd (3 + 3))
19	15, 18	eqtri 2793	. . . 4 ⊢ (6 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
20		gcdadd 15455	. . . . 5 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6)))
21	2, 13, 20	mp2an 672	. . . 4 ⊢ (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6))
22		gcdid 15456	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3 gcd 3) = (abs‘3))
23	13, 22	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 3) = (abs‘3)
24		gcdadd 15455	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3)))
25	13, 13, 24	mp2an 672	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
26		3re 11296	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
27		0re 10242	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
28		3pos 11316	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 3
29	27, 26, 28	ltleii 10362	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 3
30		absid 14244	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 3) → (abs‘3) = 3)
31	26, 29, 30	mp2an 672	. . . . 5 ⊢ (abs‘3) = 3
32	23, 25, 31	3eqtr3i 2801	. . . 4 ⊢ (3 gcd (3 + 3)) = 3
33	19, 21, 32	3eqtr3i 2801	. . 3 ⊢ (6 gcd (3 + 6)) = 3
34	12, 33	eqtri 2793	. 2 ⊢ (6 gcd 9) = 3
35	6, 34	eqtri 2793	1 ⊢ (-6 gcd 9) = 3

Syntax hints:   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   class class class wbr 4786  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  ℝcr 10137  0cc0 10138   + caddc 10141   ≤ cle 10277  -cneg 10469  3c3 11273  6c6 11276  9c9 11279  ℤcz 11579  abscabs 14182   gcd cgcd 15424

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8504  df-inf 8505  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-dvds 15190  df-gcd 15425

This theorem is referenced by:  ex-lcm  27657