MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-fl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ex-fl 27646
Description: Example for df-fl 12801. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
ex-fl ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)

Proof of Theorem ex-fl
StepHypRef Expression
1 1re 10241 . . . 4 1 ∈ ℝ
2 3re 11296 . . . . 5 3 ∈ ℝ
32rehalfcli 11483 . . . 4 (3 / 2) ∈ ℝ
4 2cn 11293 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
54mulid2i 10245 . . . . . 6 (1 · 2) = 2
6 2lt3 11397 . . . . . 6 2 < 3
75, 6eqbrtri 4807 . . . . 5 (1 · 2) < 3
8 2pos 11314 . . . . . 6 0 < 2
9 2re 11292 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
101, 2, 9ltmuldivi 11146 . . . . . 6 (0 < 2 → ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2)))
118, 10ax-mp 5 . . . . 5 ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2))
127, 11mpbi 220 . . . 4 1 < (3 / 2)
131, 3, 12ltleii 10362 . . 3 1 ≤ (3 / 2)
14 3lt4 11399 . . . . . 6 3 < 4
15 2t2e4 11379 . . . . . 6 (2 · 2) = 4
1614, 15breqtrri 4813 . . . . 5 3 < (2 · 2)
179, 8pm3.2i 447 . . . . . 6 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
18 ltdivmul 11100 . . . . . 6 ((3 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2)))
192, 9, 17, 18mp3an 1572 . . . . 5 ((3 / 2) < 2 ↔ 3 < (2 · 2))
2016, 19mpbir 221 . . . 4 (3 / 2) < 2
21 df-2 11281 . . . 4 2 = (1 + 1)
2220, 21breqtri 4811 . . 3 (3 / 2) < (1 + 1)
23 1z 11609 . . . 4 1 ∈ ℤ
24 flbi 12825 . . . 4 (((3 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1))))
253, 23, 24mp2an 672 . . 3 ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (1 ≤ (3 / 2) ∧ (3 / 2) < (1 + 1)))
2613, 22, 25mpbir2an 690 . 2 (⌊‘(3 / 2)) = 1
279renegcli 10544 . . . 4 -2 ∈ ℝ
283renegcli 10544 . . . 4 -(3 / 2) ∈ ℝ
293, 9ltnegi 10774 . . . . 5 ((3 / 2) < 2 ↔ -2 < -(3 / 2))
3020, 29mpbi 220 . . . 4 -2 < -(3 / 2)
3127, 28, 30ltleii 10362 . . 3 -2 ≤ -(3 / 2)
324negcli 10551 . . . . . . 7 -2 ∈ ℂ
33 ax-1cn 10196 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
34 negdi2 10541 . . . . . . 7 ((-2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(-2 + 1) = (--2 − 1))
3532, 33, 34mp2an 672 . . . . . 6 -(-2 + 1) = (--2 − 1)
364negnegi 10553 . . . . . . 7 --2 = 2
3736oveq1i 6803 . . . . . 6 (--2 − 1) = (2 − 1)
3835, 37eqtri 2793 . . . . 5 -(-2 + 1) = (2 − 1)
39 2m1e1 11337 . . . . . 6 (2 − 1) = 1
4039, 12eqbrtri 4807 . . . . 5 (2 − 1) < (3 / 2)
4138, 40eqbrtri 4807 . . . 4 -(-2 + 1) < (3 / 2)
4227, 1readdcli 10255 . . . . 5 (-2 + 1) ∈ ℝ
4342, 3ltnegcon1i 10781 . . . 4 (-(-2 + 1) < (3 / 2) ↔ -(3 / 2) < (-2 + 1))
4441, 43mpbi 220 . . 3 -(3 / 2) < (-2 + 1)
45 2z 11611 . . . . 5 2 ∈ ℤ
46 znegcl 11614 . . . . 5 (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
4745, 46ax-mp 5 . . . 4 -2 ∈ ℤ
48 flbi 12825 . . . 4 ((-(3 / 2) ∈ ℝ ∧ -2 ∈ ℤ) → ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1))))
4928, 47, 48mp2an 672 . . 3 ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 ↔ (-2 ≤ -(3 / 2) ∧ -(3 / 2) < (-2 + 1)))
5031, 44, 49mpbir2an 690 . 2 (⌊‘-(3 / 2)) = -2
5126, 50pm3.2i 447 1 ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145   class class class wbr 4786  cfv 6031  (class class class)co 6793  cc 10136  cr 10137  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141   · cmul 10143   < clt 10276  cle 10277  cmin 10468  -cneg 10469   / cdiv 10886  2c2 11272  3c3 11273  4c4 11274  cz 11579  cfl 12799
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8504  df-inf 8505  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fl 12801
This theorem is referenced by:  ex-ceil  27647
  Copyright terms: Public domain W3C validator