MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-fac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ex-fac 27650
Description: Example for df-fac 13265. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
ex-fac (!‘5) = 120

Proof of Theorem ex-fac
StepHypRef Expression
1 df-5 11288 . . . 4 5 = (4 + 1)
21fveq2i 6336 . . 3 (!‘5) = (!‘(4 + 1))
3 4nn0 11518 . . . 4 4 ∈ ℕ0
4 facp1 13269 . . . 4 (4 ∈ ℕ0 → (!‘(4 + 1)) = ((!‘4) · (4 + 1)))
53, 4ax-mp 5 . . 3 (!‘(4 + 1)) = ((!‘4) · (4 + 1))
62, 5eqtri 2793 . 2 (!‘5) = ((!‘4) · (4 + 1))
7 fac4 13272 . . . 4 (!‘4) = 24
8 4p1e5 11361 . . . 4 (4 + 1) = 5
97, 8oveq12i 6808 . . 3 ((!‘4) · (4 + 1)) = (24 · 5)
10 5nn0 11519 . . . 4 5 ∈ ℕ0
11 2nn0 11516 . . . 4 2 ∈ ℕ0
12 eqid 2771 . . . 4 24 = 24
13 0nn0 11514 . . . 4 0 ∈ ℕ0
14 1nn0 11515 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
15 5cn 11306 . . . . . 6 5 ∈ ℂ
16 2cn 11297 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
17 5t2e10 11840 . . . . . 6 (5 · 2) = 10
1815, 16, 17mulcomli 10253 . . . . 5 (2 · 5) = 10
1916addid2i 10430 . . . . 5 (0 + 2) = 2
2014, 13, 11, 18, 19decaddi 11785 . . . 4 ((2 · 5) + 2) = 12
21 4cn 11304 . . . . 5 4 ∈ ℂ
22 5t4e20 11843 . . . . 5 (5 · 4) = 20
2315, 21, 22mulcomli 10253 . . . 4 (4 · 5) = 20
2410, 11, 3, 12, 13, 11, 20, 23decmul1c 11793 . . 3 (24 · 5) = 120
259, 24eqtri 2793 . 2 ((!‘4) · (4 + 1)) = 120
266, 25eqtri 2793 1 (!‘5) = 120
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1631  wcel 2145  cfv 6030  (class class class)co 6796  0cc0 10142  1c1 10143   + caddc 10145   · cmul 10147  2c2 11276  4c4 11278  5c5 11279  0cn0 11499  cdc 11700  !cfa 13264
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-z 11585  df-dec 11701  df-uz 11894  df-seq 13009  df-fac 13265
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator