MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-bc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ex-bc 27645
Description: Example for df-bc 13293. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
ex-bc (5C3) = 10

Proof of Theorem ex-bc
StepHypRef Expression
1 df-5 11283 . . 3 5 = (4 + 1)
21oveq1i 6802 . 2 (5C3) = ((4 + 1)C3)
3 4bc3eq4 13318 . . . 4 (4C3) = 4
4 3m1e2 11338 . . . . . 6 (3 − 1) = 2
54oveq2i 6803 . . . . 5 (4C(3 − 1)) = (4C2)
6 4bc2eq6 13319 . . . . 5 (4C2) = 6
75, 6eqtri 2792 . . . 4 (4C(3 − 1)) = 6
83, 7oveq12i 6804 . . 3 ((4C3) + (4C(3 − 1))) = (4 + 6)
9 4nn0 11512 . . . 4 4 ∈ ℕ0
10 3z 11611 . . . 4 3 ∈ ℤ
11 bcpasc 13311 . . . 4 ((4 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℤ) → ((4C3) + (4C(3 − 1))) = ((4 + 1)C3))
129, 10, 11mp2an 664 . . 3 ((4C3) + (4C(3 − 1))) = ((4 + 1)C3)
13 6cn 11303 . . . 4 6 ∈ ℂ
14 4cn 11299 . . . 4 4 ∈ ℂ
15 6p4e10 11798 . . . 4 (6 + 4) = 10
1613, 14, 15addcomli 10429 . . 3 (4 + 6) = 10
178, 12, 163eqtr3i 2800 . 2 ((4 + 1)C3) = 10
182, 17eqtri 2792 1 (5C3) = 10
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1630  wcel 2144  (class class class)co 6792  0cc0 10137  1c1 10138   + caddc 10140  cmin 10467  2c2 11271  3c3 11272  4c4 11273  5c5 11274  6c6 11275  0cn0 11493  cz 11578  cdc 11694  Ccbc 13292
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-z 11579  df-dec 11695  df-uz 11888  df-rp 12035  df-fz 12533  df-seq 13008  df-fac 13264  df-bc 13293
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator