Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evthicc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evthicc 23448
 Description: Specialization of the Extreme Value Theorem to a closed interval of ℝ. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
evthicc.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
evthicc.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
evthicc.3 (𝜑𝐴𝐵)
evthicc.4 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
Assertion
Ref Expression
evthicc (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑤)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑧,𝑤,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑤,𝐵,𝑧   𝑥,𝐹,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝜑,𝑤,𝑧   𝑤,𝐹,𝑧

Proof of Theorem evthicc
StepHypRef Expression
1 eqid 2760 . . . 4 ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))
2 eqid 2760 . . . 4 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
3 evthicc.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4 evthicc.2 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
5 eqid 2760 . . . . . 6 ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))
62, 5icccmp 22849 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) ∈ Comp)
73, 4, 6syl2anc 696 . . . 4 (𝜑 → ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) ∈ Comp)
8 evthicc.4 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
9 iccssre 12468 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
103, 4, 9syl2anc 696 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
11 ax-resscn 10205 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
1210, 11syl6ss 3756 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
13 eqid 2760 . . . . . . . 8 ((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴[,]𝐵) × (𝐴[,]𝐵))) = ((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴[,]𝐵) × (𝐴[,]𝐵)))
14 eqid 2760 . . . . . . . 8 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
15 eqid 2760 . . . . . . . 8 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴[,]𝐵) × (𝐴[,]𝐵)))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴[,]𝐵) × (𝐴[,]𝐵))))
16 eqid 2760 . . . . . . . . 9 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
1714, 16tgioo 22820 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
1813, 14, 15, 17cncfmet 22932 . . . . . . 7 (((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) = ((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴[,]𝐵) × (𝐴[,]𝐵)))) Cn (topGen‘ran (,))))
1912, 11, 18sylancl 697 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) = ((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴[,]𝐵) × (𝐴[,]𝐵)))) Cn (topGen‘ran (,))))
202, 15resubmet 22826 . . . . . . . 8 ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ → (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴[,]𝐵) × (𝐴[,]𝐵)))) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
2110, 20syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴[,]𝐵) × (𝐴[,]𝐵)))) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
2221oveq1d 6829 . . . . . 6 (𝜑 → ((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴[,]𝐵) × (𝐴[,]𝐵)))) Cn (topGen‘ran (,))) = (((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) Cn (topGen‘ran (,))))
2319, 22eqtrd 2794 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) = (((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) Cn (topGen‘ran (,))))
248, 23eleqtrd 2841 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) Cn (topGen‘ran (,))))
25 retop 22786 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
26 uniretop 22787 . . . . . . 7 ℝ = (topGen‘ran (,))
2726restuni 21188 . . . . . 6 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
2825, 10, 27sylancr 698 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
293rexrd 10301 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
304rexrd 10301 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
31 evthicc.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐵)
32 lbicc2 12501 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
3329, 30, 31, 32syl3anc 1477 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
34 ne0i 4064 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝐴[,]𝐵) ≠ ∅)
3533, 34syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ≠ ∅)
3628, 35eqnetrrd 3000 . . . 4 (𝜑 ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) ≠ ∅)
371, 2, 7, 24, 36evth 22979 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥 ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))∀𝑦 ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥))
3828raleqdv 3283 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥) ↔ ∀𝑦 ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)))
3928, 38rexeqbidv 3292 . . 3 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥) ↔ ∃𝑥 ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))∀𝑦 ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)))
4037, 39mpbird 247 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥))
411, 2, 7, 24, 36evth2 22980 . . 3 (𝜑 → ∃𝑧 ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))∀𝑤 ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))(𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑤))
4228raleqdv 3283 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑤) ↔ ∀𝑤 ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))(𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑤)))
4328, 42rexeqbidv 3292 . . 3 (𝜑 → (∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑤) ↔ ∃𝑧 ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))∀𝑤 ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))(𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑤)))
4441, 43mpbird 247 . 2 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑤))
4540, 44jca 555 1 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑤)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ∀wral 3050  ∃wrex 3051   ⊆ wss 3715  ∅c0 4058  ∪ cuni 4588   class class class wbr 4804   × cxp 5264  ran crn 5267   ↾ cres 5268   ∘ ccom 5270  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  ℂcc 10146  ℝcr 10147  ℝ*cxr 10285   ≤ cle 10287   − cmin 10478  (,)cioo 12388  [,]cicc 12391  abscabs 14193   ↾t crest 16303  topGenctg 16320  MetOpencmopn 19958  Topctop 20920   Cn ccn 21250  Compccmp 21411  –cn→ccncf 22900 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226  ax-mulf 10228 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-supp 7465  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-ixp 8077  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fsupp 8443  df-fi 8484  df-sup 8515  df-inf 8516  df-oi 8582  df-card 8975  df-cda 9202  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-xneg 12159  df-xadd 12160  df-xmul 12161  df-ioo 12392  df-icc 12395  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-seq 13016  df-exp 13075  df-hash 13332  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-starv 16178  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-ip 16181  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-unif 16187  df-hom 16188  df-cco 16189  df-rest 16305  df-topn 16306  df-0g 16324  df-gsum 16325  df-topgen 16326  df-pt 16327  df-prds 16330  df-xrs 16384  df-qtop 16389  df-imas 16390  df-xps 16392  df-mre 16468  df-mrc 16469  df-acs 16471  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-submnd 17557  df-mulg 17762  df-cntz 17970  df-cmn 18415  df-psmet 19960  df-xmet 19961  df-met 19962  df-bl 19963  df-mopn 19964  df-cnfld 19969  df-top 20921  df-topon 20938  df-topsp 20959  df-bases 20972  df-cn 21253  df-cnp 21254  df-cmp 21412  df-tx 21587  df-hmeo 21780  df-xms 22346  df-ms 22347  df-tms 22348  df-cncf 22902 This theorem is referenced by:  evthicc2  23449  cniccbdd  23450  rolle  23972  dvivthlem1  23990  itgsubst  24031  evthiccabs  40239  cncficcgt0  40622
 Copyright terms: Public domain W3C validator