Theorem evth2f 39690

Description: A version of evth2 22978 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
evth2f.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
evth2f.2	⊢ Ⅎ𝑦𝐹
evth2f.3	⊢ Ⅎ𝑥𝑋
evth2f.4	⊢ Ⅎ𝑦𝑋
evth2f.5	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
evth2f.6	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
evth2f.7	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
evth2f.8	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
evth2f.9	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
evth2f	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥,𝑦)   𝐾(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem evth2f

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evth2f.5	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		evth2f.6	. . 3 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
3		evth2f.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
4		evth2f.8	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5		evth2f.9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
6	1, 2, 3, 4, 5	evth2 22978	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝑋 ∀𝑏 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑎) ≤ (𝐹‘𝑏))
7		nfcv 2912	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑎𝑋
8		evth2f.3	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝑋
9		evth2f.1	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
10		nfcv 2912	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝑎
11	9, 10	nffv 6339	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑎)
12		nfcv 2912	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 ≤
13		nfcv 2912	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝑏
14	9, 13	nffv 6339	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑏)
15	11, 12, 14	nfbr 4831	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑎) ≤ (𝐹‘𝑏)
16	8, 15	nfral 3093	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑏 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑎) ≤ (𝐹‘𝑏)
17		nfv 1994	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑎∀𝑏 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑏)
18		fveq2 6332	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑥))
19	18	breq1d 4794	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → ((𝐹‘𝑎) ≤ (𝐹‘𝑏) ↔ (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑏)))
20	19	ralbidv 3134	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (∀𝑏 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑎) ≤ (𝐹‘𝑏) ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑏)))
21	7, 8, 16, 17, 20	cbvrexf 3314	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑋 ∀𝑏 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑎) ≤ (𝐹‘𝑏) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑏 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑏))
22		nfcv 2912	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑏𝑋
23		evth2f.4	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦𝑋
24		evth2f.2	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦𝐹
25		nfcv 2912	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦𝑥
26	24, 25	nffv 6339	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐹‘𝑥)
27		nfcv 2912	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦 ≤
28		nfcv 2912	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦𝑏
29	24, 28	nffv 6339	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐹‘𝑏)
30	26, 27, 29	nfbr 4831	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑏)
31		nfv 1994	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑏(𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦)
32		fveq2 6332	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑦))
33	32	breq2d 4796	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → ((𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑏) ↔ (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦)))
34	22, 23, 30, 31, 33	cbvralf 3313	. . . 4 ⊢ (∀𝑏 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑏) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦))
35	34	rexbii 3188	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑏 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑏) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦))
36	21, 35	bitri 264	. 2 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑋 ∀𝑏 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑎) ≤ (𝐹‘𝑏) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦))
37	6, 36	sylib 208	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1630   ∈ wcel 2144  Ⅎwnfc 2899   ≠ wne 2942  ∀wral 3060  ∃wrex 3061  ∅c0 4061  ∪ cuni 4572   class class class wbr 4784  ran crn 5250  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792   ≤ cle 10276  (,)cioo 12379  topGenctg 16305   Cn ccn 21248  Compccmp 21409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215  ax-mulf 10217

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-iin 4655  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-of 7043  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-supp 7446  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-2o 7713  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-ixp 8062  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-fsupp 8431  df-fi 8472  df-sup 8503  df-inf 8504  df-oi 8570  df-card 8964  df-cda 9191  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-z 11579  df-dec 11695  df-uz 11888  df-q 11991  df-rp 12035  df-xneg 12150  df-xadd 12151  df-xmul 12152  df-ioo 12383  df-icc 12386  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-seq 13008  df-exp 13067  df-hash 13321  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-starv 16163  df-sca 16164  df-vsca 16165  df-ip 16166  df-tset 16167  df-ple 16168  df-ds 16171  df-unif 16172  df-hom 16173  df-cco 16174  df-rest 16290  df-topn 16291  df-0g 16309  df-gsum 16310  df-topgen 16311  df-pt 16312  df-prds 16315  df-xrs 16369  df-qtop 16374  df-imas 16375  df-xps 16377  df-mre 16453  df-mrc 16454  df-acs 16456  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-submnd 17543  df-mulg 17748  df-cntz 17956  df-cmn 18401  df-psmet 19952  df-xmet 19953  df-met 19954  df-bl 19955  df-mopn 19956  df-cnfld 19961  df-top 20918  df-topon 20935  df-topsp 20957  df-bases 20970  df-cn 21251  df-cnp 21252  df-cmp 21410  df-tx 21585  df-hmeo 21778  df-xms 22344  df-ms 22345  df-tms 22346

This theorem is referenced by:  stoweidlem29  40757