Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evth2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evth2 22960
 Description: The Extreme Value Theorem, minimum version. A continuous function from a nonempty compact topological space to the reals attains its minimum at some point in the domain. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bndth.1 𝑋 = 𝐽
bndth.2 𝐾 = (topGen‘ran (,))
bndth.3 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
bndth.4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
evth.5 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
Assertion
Ref Expression
evth2 (𝜑 → ∃𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑦,𝐾   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦
Allowed substitution hint:   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem evth2
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bndth.1 . . 3 𝑋 = 𝐽
2 bndth.2 . . 3 𝐾 = (topGen‘ran (,))
3 bndth.3 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
4 cmptop 21400 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Comp → 𝐽 ∈ Top)
53, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ Top)
61toptopon 20924 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
75, 6sylib 208 . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
8 bndth.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
9 uniretop 22767 . . . . . . . . 9 ℝ = (topGen‘ran (,))
102unieqi 4597 . . . . . . . . 9 𝐾 = (topGen‘ran (,))
119, 10eqtr4i 2785 . . . . . . . 8 ℝ = 𝐾
121, 11cnf 21252 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
138, 12syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
1413feqmptd 6411 . . . . 5 (𝜑𝐹 = (𝑧𝑋 ↦ (𝐹𝑧)))
1514, 8eqeltrrd 2840 . . . 4 (𝜑 → (𝑧𝑋 ↦ (𝐹𝑧)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
16 retopon 22768 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
172, 16eqeltri 2835 . . . . 5 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ)
1817a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ))
19 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2019cnfldtopon 22787 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
2120a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
22 0cnd 10225 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
2318, 21, 22cnmptc 21667 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ 0) ∈ (𝐾 Cn (TopOpen‘ℂfld)))
2419tgioo2 22807 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
252, 24eqtri 2782 . . . . . . . 8 𝐾 = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
26 ax-resscn 10185 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℂ
2726a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
2821cnmptid 21666 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
2925, 21, 27, 28cnmpt1res 21681 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑦) ∈ (𝐾 Cn (TopOpen‘ℂfld)))
3019subcn 22870 . . . . . . . 8 − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
3130a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
3218, 23, 29, 31cnmpt12f 21671 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)) ∈ (𝐾 Cn (TopOpen‘ℂfld)))
33 df-neg 10461 . . . . . . . . . . 11 -𝑦 = (0 − 𝑦)
34 renegcl 10536 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ → -𝑦 ∈ ℝ)
3533, 34syl5eqelr 2844 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ → (0 − 𝑦) ∈ ℝ)
3635adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (0 − 𝑦) ∈ ℝ)
37 eqid 2760 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦))
3836, 37fmptd 6548 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)):ℝ⟶ℝ)
39 frn 6214 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)):ℝ⟶ℝ → ran (𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)) ⊆ ℝ)
4038, 39syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ran (𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)) ⊆ ℝ)
41 cnrest2 21292 . . . . . . 7 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran (𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)) ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)) ∈ (𝐾 Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)) ∈ (𝐾 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
4221, 40, 27, 41syl3anc 1477 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)) ∈ (𝐾 Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)) ∈ (𝐾 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
4332, 42mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)) ∈ (𝐾 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
4425oveq2i 6824 . . . . 5 (𝐾 Cn 𝐾) = (𝐾 Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
4543, 44syl6eleqr 2850 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (0 − 𝑦)) ∈ (𝐾 Cn 𝐾))
46 negeq 10465 . . . . 5 (𝑦 = (𝐹𝑧) → -𝑦 = -(𝐹𝑧))
4733, 46syl5eqr 2808 . . . 4 (𝑦 = (𝐹𝑧) → (0 − 𝑦) = -(𝐹𝑧))
487, 15, 18, 45, 47cnmpt11 21668 . . 3 (𝜑 → (𝑧𝑋 ↦ -(𝐹𝑧)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
49 evth.5 . . 3 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
501, 2, 3, 48, 49evth 22959 . 2 (𝜑 → ∃𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑧𝑋 ↦ -(𝐹𝑧))‘𝑦) ≤ ((𝑧𝑋 ↦ -(𝐹𝑧))‘𝑥))
51 fveq2 6352 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑦 → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑦))
5251negeqd 10467 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 → -(𝐹𝑧) = -(𝐹𝑦))
53 eqid 2760 . . . . . . . 8 (𝑧𝑋 ↦ -(𝐹𝑧)) = (𝑧𝑋 ↦ -(𝐹𝑧))
54 negex 10471 . . . . . . . 8 -(𝐹𝑦) ∈ V
5552, 53, 54fvmpt 6444 . . . . . . 7 (𝑦𝑋 → ((𝑧𝑋 ↦ -(𝐹𝑧))‘𝑦) = -(𝐹𝑦))
5655adantl 473 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑧𝑋 ↦ -(𝐹𝑧))‘𝑦) = -(𝐹𝑦))
57 fveq2 6352 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑥 → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑥))
5857negeqd 10467 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑥 → -(𝐹𝑧) = -(𝐹𝑥))
59 negex 10471 . . . . . . . 8 -(𝐹𝑥) ∈ V
6058, 53, 59fvmpt 6444 . . . . . . 7 (𝑥𝑋 → ((𝑧𝑋 ↦ -(𝐹𝑧))‘𝑥) = -(𝐹𝑥))
6160ad2antlr 765 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑧𝑋 ↦ -(𝐹𝑧))‘𝑥) = -(𝐹𝑥))
6256, 61breq12d 4817 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → (((𝑧𝑋 ↦ -(𝐹𝑧))‘𝑦) ≤ ((𝑧𝑋 ↦ -(𝐹𝑧))‘𝑥) ↔ -(𝐹𝑦) ≤ -(𝐹𝑥)))
6313ffvelrnda 6522 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
6463adantr 472 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
6513ffvelrnda 6522 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑋) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
6665adantlr 753 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
6764, 66lenegd 10798 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦) ↔ -(𝐹𝑦) ≤ -(𝐹𝑥)))
6862, 67bitr4d 271 . . . 4 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → (((𝑧𝑋 ↦ -(𝐹𝑧))‘𝑦) ≤ ((𝑧𝑋 ↦ -(𝐹𝑧))‘𝑥) ↔ (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
6968ralbidva 3123 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → (∀𝑦𝑋 ((𝑧𝑋 ↦ -(𝐹𝑧))‘𝑦) ≤ ((𝑧𝑋 ↦ -(𝐹𝑧))‘𝑥) ↔ ∀𝑦𝑋 (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
7069rexbidva 3187 . 2 (𝜑 → (∃𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝑧𝑋 ↦ -(𝐹𝑧))‘𝑦) ≤ ((𝑧𝑋 ↦ -(𝐹𝑧))‘𝑥) ↔ ∃𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
7150, 70mpbid 222 1 (𝜑 → ∃𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ∀wral 3050  ∃wrex 3051   ⊆ wss 3715  ∅c0 4058  ∪ cuni 4588   class class class wbr 4804   ↦ cmpt 4881  ran crn 5267  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  ℂcc 10126  ℝcr 10127  0cc0 10128   ≤ cle 10267   − cmin 10458  -cneg 10459  (,)cioo 12368   ↾t crest 16283  TopOpenctopn 16284  topGenctg 16300  ℂfldccnfld 19948  Topctop 20900  TopOnctopon 20917   Cn ccn 21230  Compccmp 21391   ×t ctx 21565 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-mulf 10208 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-ioo 12372  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-hom 16168  df-cco 16169  df-rest 16285  df-topn 16286  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-topgen 16306  df-pt 16307  df-prds 16310  df-xrs 16364  df-qtop 16369  df-imas 16370  df-xps 16372  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-cnfld 19949  df-top 20901  df-topon 20918  df-topsp 20939  df-bases 20952  df-cn 21233  df-cnp 21234  df-cmp 21392  df-tx 21567  df-hmeo 21760  df-xms 22326  df-ms 22327  df-tms 22328 This theorem is referenced by:  lebnumlem3  22963  evthicc  23428  ftalem3  25000  evth2f  39673  stoweidlem28  40748
 Copyright terms: Public domain W3C validator