MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evlslem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evlslem3 19562
Description: Lemma for evlseu 19564. Polynomial evaluation of a scaled monomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evlslem1.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
evlslem1.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
evlslem1.c 𝐶 = (Base‘𝑆)
evlslem1.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
evlslem1.d 𝐷 = { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
evlslem1.t 𝑇 = (mulGrp‘𝑆)
evlslem1.x = (.g𝑇)
evlslem1.m · = (.r𝑆)
evlslem1.v 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
evlslem1.e 𝐸 = (𝑝𝐵 ↦ (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))))
evlslem1.i (𝜑𝐼 ∈ V)
evlslem1.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
evlslem1.s (𝜑𝑆 ∈ CRing)
evlslem1.f (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
evlslem1.g (𝜑𝐺:𝐼𝐶)
evlslem3.z 0 = (0g𝑅)
evlslem3.k (𝜑𝐴𝐷)
evlslem3.q (𝜑𝐻𝐾)
Assertion
Ref Expression
evlslem3 (𝜑 → (𝐸‘(𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))) = ((𝐹𝐻) · (𝑇 Σg (𝐴𝑓 𝐺))))
Distinct variable groups:   𝑝,𝑏,𝑥, 0   𝐵,𝑝   𝐶,𝑏   𝐷,𝑏,𝑝,𝑥   𝐹,𝑏,𝑝   ,𝑏,𝑝   ,𝑏,𝐴,𝑝,𝑥   ,𝐼   𝑥,𝐾   𝜑,𝑏,𝑥   𝐺,𝑏,𝑝   𝐻,𝑏,𝑝,𝑥   𝑆,𝑏,𝑝   𝑇,𝑏,𝑝   · ,𝑏,𝑝   𝑥,𝑅
Allowed substitution hints:   𝜑(,𝑝)   𝐵(𝑥,,𝑏)   𝐶(𝑥,,𝑝)   𝐷()   𝑃(𝑥,,𝑝,𝑏)   𝑅(,𝑝,𝑏)   𝑆(𝑥,)   𝑇(𝑥,)   · (𝑥,)   𝐸(𝑥,,𝑝,𝑏)   (𝑥,)   𝐹(𝑥,)   𝐺(𝑥,)   𝐻()   𝐼(𝑥,𝑝,𝑏)   𝐾(,𝑝,𝑏)   𝑉(𝑥,,𝑝,𝑏)   0 ()

Proof of Theorem evlslem3
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evlslem1.p . . . 4 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2 evlslem1.d . . . 4 𝐷 = { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
3 evlslem3.z . . . 4 0 = (0g𝑅)
4 evlslem1.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝑅)
5 evlslem1.i . . . 4 (𝜑𝐼 ∈ V)
6 evlslem1.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
7 crngring 18604 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
86, 7syl 17 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
9 evlslem1.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑃)
10 evlslem3.q . . . 4 (𝜑𝐻𝐾)
11 evlslem3.k . . . 4 (𝜑𝐴𝐷)
121, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 11mplmon2cl 19548 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 )) ∈ 𝐵)
13 fveq1 6228 . . . . . . . 8 (𝑝 = (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 )) → (𝑝𝑏) = ((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏))
1413fveq2d 6233 . . . . . . 7 (𝑝 = (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 )) → (𝐹‘(𝑝𝑏)) = (𝐹‘((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)))
1514oveq1d 6705 . . . . . 6 (𝑝 = (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 )) → ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))) = ((𝐹‘((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))
1615mpteq2dv 4778 . . . . 5 (𝑝 = (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 )) → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) = (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))))
1716oveq2d 6706 . . . 4 (𝑝 = (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 )) → (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))) = (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))))
18 evlslem1.e . . . 4 𝐸 = (𝑝𝐵 ↦ (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))))
19 ovex 6718 . . . 4 (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))) ∈ V
2017, 18, 19fvmpt 6321 . . 3 ((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 )) ∈ 𝐵 → (𝐸‘(𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))) = (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))))
2112, 20syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐸‘(𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))) = (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))))
22 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝐷) → 𝑏𝐷)
23 fvex 6239 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝑅) ∈ V
243, 23eqeltri 2726 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
2524a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑0 ∈ V)
26 ifexg 4190 . . . . . . . . . 10 ((𝐻𝐾0 ∈ V) → if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 ) ∈ V)
2710, 25, 26syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (𝜑 → if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 ) ∈ V)
2827adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝐷) → if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 ) ∈ V)
29 eqeq1 2655 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑏 → (𝑥 = 𝐴𝑏 = 𝐴))
3029ifbid 4141 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑏 → if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ) = if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 ))
31 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 )) = (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))
3230, 31fvmptg 6319 . . . . . . . 8 ((𝑏𝐷 ∧ if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 ) ∈ V) → ((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏) = if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 ))
3322, 28, 32syl2anc 694 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝐷) → ((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏) = if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 ))
3433fveq2d 6233 . . . . . 6 ((𝜑𝑏𝐷) → (𝐹‘((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) = (𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )))
3534oveq1d 6705 . . . . 5 ((𝜑𝑏𝐷) → ((𝐹‘((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))) = ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))
3635mpteq2dva 4777 . . . 4 (𝜑 → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) = (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))))
3736oveq2d 6706 . . 3 (𝜑 → (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))) = (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))))
38 evlslem1.c . . . 4 𝐶 = (Base‘𝑆)
39 eqid 2651 . . . 4 (0g𝑆) = (0g𝑆)
40 evlslem1.s . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ CRing)
41 crngring 18604 . . . . . 6 (𝑆 ∈ CRing → 𝑆 ∈ Ring)
4240, 41syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ Ring)
43 ringmnd 18602 . . . . 5 (𝑆 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Mnd)
4442, 43syl 17 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ Mnd)
45 ovex 6718 . . . . . 6 (ℕ0𝑚 𝐼) ∈ V
462, 45rabex2 4847 . . . . 5 𝐷 ∈ V
4746a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ V)
4842adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑏𝐷) → 𝑆 ∈ Ring)
49 evlslem1.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
504, 38rhmf 18774 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐾𝐶)
5149, 50syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝐾𝐶)
524, 3ring0cl 18615 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → 0𝐾)
538, 52syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑0𝐾)
5410, 53ifcld 4164 . . . . . . . 8 (𝜑 → if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 ) ∈ 𝐾)
5551, 54ffvelrnd 6400 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) ∈ 𝐶)
5655adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑏𝐷) → (𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) ∈ 𝐶)
57 evlslem1.t . . . . . . . 8 𝑇 = (mulGrp‘𝑆)
5857, 38mgpbas 18541 . . . . . . 7 𝐶 = (Base‘𝑇)
59 eqid 2651 . . . . . . 7 (0g𝑇) = (0g𝑇)
6057crngmgp 18601 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ CRing → 𝑇 ∈ CMnd)
6140, 60syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ CMnd)
6261adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝐷) → 𝑇 ∈ CMnd)
635adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝐷) → 𝐼 ∈ V)
64 cmnmnd 18254 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ CMnd → 𝑇 ∈ Mnd)
6561, 64syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇 ∈ Mnd)
6665ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧𝐶)) → 𝑇 ∈ Mnd)
67 simprl 809 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧𝐶)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
68 simprr 811 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧𝐶)) → 𝑧𝐶)
69 evlslem1.x . . . . . . . . . 10 = (.g𝑇)
7058, 69mulgnn0cl 17605 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑧𝐶) → (𝑦 𝑧) ∈ 𝐶)
7166, 67, 68, 70syl3anc 1366 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧𝐶)) → (𝑦 𝑧) ∈ 𝐶)
722psrbagf 19413 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑏𝐷) → 𝑏:𝐼⟶ℕ0)
735, 72sylan 487 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝐷) → 𝑏:𝐼⟶ℕ0)
74 evlslem1.g . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺:𝐼𝐶)
7574adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝐷) → 𝐺:𝐼𝐶)
76 inidm 3855 . . . . . . . 8 (𝐼𝐼) = 𝐼
7771, 73, 75, 63, 63, 76off 6954 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝐷) → (𝑏𝑓 𝐺):𝐼𝐶)
78 ovex 6718 . . . . . . . . 9 (𝑏𝑓 𝐺) ∈ V
7978a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝐷) → (𝑏𝑓 𝐺) ∈ V)
8077ffund 6087 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝐷) → Fun (𝑏𝑓 𝐺))
81 fvex 6239 . . . . . . . . 9 (0g𝑇) ∈ V
8281a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝐷) → (0g𝑇) ∈ V)
832psrbag 19412 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ V → (𝑏𝐷 ↔ (𝑏:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝑏 “ ℕ) ∈ Fin)))
845, 83syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑏𝐷 ↔ (𝑏:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝑏 “ ℕ) ∈ Fin)))
8584simplbda 653 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝐷) → (𝑏 “ ℕ) ∈ Fin)
8673ffnd 6084 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑏𝐷) → 𝑏 Fn 𝐼)
8786adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) → 𝑏 Fn 𝐼)
8874ffnd 6084 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺 Fn 𝐼)
8988ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) → 𝐺 Fn 𝐼)
905ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) → 𝐼 ∈ V)
91 eldifi 3765 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ)) → 𝑦𝐼)
9291adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) → 𝑦𝐼)
93 fnfvof 6953 . . . . . . . . . . 11 (((𝑏 Fn 𝐼𝐺 Fn 𝐼) ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑦𝐼)) → ((𝑏𝑓 𝐺)‘𝑦) = ((𝑏𝑦) (𝐺𝑦)))
9487, 89, 90, 92, 93syl22anc 1367 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) → ((𝑏𝑓 𝐺)‘𝑦) = ((𝑏𝑦) (𝐺𝑦)))
95 eldifn 3766 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ)) → ¬ 𝑦 ∈ (𝑏 “ ℕ))
9695adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) → ¬ 𝑦 ∈ (𝑏 “ ℕ))
9791ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) ∧ (𝑏𝑦) ∈ ℕ) → 𝑦𝐼)
98 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) ∧ (𝑏𝑦) ∈ ℕ) → (𝑏𝑦) ∈ ℕ)
9986ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) ∧ (𝑏𝑦) ∈ ℕ) → 𝑏 Fn 𝐼)
100 elpreima 6377 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 Fn 𝐼 → (𝑦 ∈ (𝑏 “ ℕ) ↔ (𝑦𝐼 ∧ (𝑏𝑦) ∈ ℕ)))
10199, 100syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) ∧ (𝑏𝑦) ∈ ℕ) → (𝑦 ∈ (𝑏 “ ℕ) ↔ (𝑦𝐼 ∧ (𝑏𝑦) ∈ ℕ)))
10297, 98, 101mpbir2and 977 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) ∧ (𝑏𝑦) ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ (𝑏 “ ℕ))
10396, 102mtand 692 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) → ¬ (𝑏𝑦) ∈ ℕ)
104 ffvelrn 6397 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏:𝐼⟶ℕ0𝑦𝐼) → (𝑏𝑦) ∈ ℕ0)
10573, 91, 104syl2an 493 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) → (𝑏𝑦) ∈ ℕ0)
106 elnn0 11332 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏𝑦) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑏𝑦) ∈ ℕ ∨ (𝑏𝑦) = 0))
107105, 106sylib 208 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) → ((𝑏𝑦) ∈ ℕ ∨ (𝑏𝑦) = 0))
108 orel1 396 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (𝑏𝑦) ∈ ℕ → (((𝑏𝑦) ∈ ℕ ∨ (𝑏𝑦) = 0) → (𝑏𝑦) = 0))
109103, 107, 108sylc 65 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) → (𝑏𝑦) = 0)
110109oveq1d 6705 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) → ((𝑏𝑦) (𝐺𝑦)) = (0 (𝐺𝑦)))
111 ffvelrn 6397 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺:𝐼𝐶𝑦𝐼) → (𝐺𝑦) ∈ 𝐶)
11275, 91, 111syl2an 493 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) → (𝐺𝑦) ∈ 𝐶)
11358, 59, 69mulg0 17593 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺𝑦) ∈ 𝐶 → (0 (𝐺𝑦)) = (0g𝑇))
114112, 113syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) → (0 (𝐺𝑦)) = (0g𝑇))
11594, 110, 1143eqtrd 2689 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) → ((𝑏𝑓 𝐺)‘𝑦) = (0g𝑇))
11677, 115suppss 7370 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝐷) → ((𝑏𝑓 𝐺) supp (0g𝑇)) ⊆ (𝑏 “ ℕ))
117 suppssfifsupp 8331 . . . . . . . 8 ((((𝑏𝑓 𝐺) ∈ V ∧ Fun (𝑏𝑓 𝐺) ∧ (0g𝑇) ∈ V) ∧ ((𝑏 “ ℕ) ∈ Fin ∧ ((𝑏𝑓 𝐺) supp (0g𝑇)) ⊆ (𝑏 “ ℕ))) → (𝑏𝑓 𝐺) finSupp (0g𝑇))
11879, 80, 82, 85, 116, 117syl32anc 1374 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝐷) → (𝑏𝑓 𝐺) finSupp (0g𝑇))
11958, 59, 62, 63, 77, 118gsumcl 18362 . . . . . 6 ((𝜑𝑏𝐷) → (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)) ∈ 𝐶)
120 evlslem1.m . . . . . . 7 · = (.r𝑆)
12138, 120ringcl 18607 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) ∈ 𝐶 ∧ (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)) ∈ 𝐶) → ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))) ∈ 𝐶)
12248, 56, 119, 121syl3anc 1366 . . . . 5 ((𝜑𝑏𝐷) → ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))) ∈ 𝐶)
123 eqid 2651 . . . . 5 (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) = (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))
124122, 123fmptd 6425 . . . 4 (𝜑 → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))):𝐷𝐶)
125 eldifsni 4353 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴}) → 𝑏𝐴)
126125neneqd 2828 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴}) → ¬ 𝑏 = 𝐴)
127126iffalsed 4130 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴}) → if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 ) = 0 )
128127adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴})) → if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 ) = 0 )
129128fveq2d 6233 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴})) → (𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) = (𝐹0 ))
130 rhmghm 18773 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
13149, 130syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
1323, 39ghmid 17713 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → (𝐹0 ) = (0g𝑆))
133131, 132syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹0 ) = (0g𝑆))
134133adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴})) → (𝐹0 ) = (0g𝑆))
135129, 134eqtrd 2685 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴})) → (𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) = (0g𝑆))
136135oveq1d 6705 . . . . . 6 ((𝜑𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴})) → ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))) = ((0g𝑆) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))
13742adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴})) → 𝑆 ∈ Ring)
138 eldifi 3765 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴}) → 𝑏𝐷)
139138, 119sylan2 490 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴})) → (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)) ∈ 𝐶)
14038, 120, 39ringlz 18633 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)) ∈ 𝐶) → ((0g𝑆) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))) = (0g𝑆))
141137, 139, 140syl2anc 694 . . . . . 6 ((𝜑𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴})) → ((0g𝑆) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))) = (0g𝑆))
142136, 141eqtrd 2685 . . . . 5 ((𝜑𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴})) → ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))) = (0g𝑆))
143142, 47suppss2 7374 . . . 4 (𝜑 → ((𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) supp (0g𝑆)) ⊆ {𝐴})
14438, 39, 44, 47, 11, 124, 143gsumpt 18407 . . 3 (𝜑 → (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))) = ((𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))‘𝐴))
14537, 144eqtrd 2685 . 2 (𝜑 → (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))) = ((𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))‘𝐴))
146 iftrue 4125 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐴 → if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 ) = 𝐻)
147146fveq2d 6233 . . . . 5 (𝑏 = 𝐴 → (𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) = (𝐹𝐻))
148 oveq1 6697 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐴 → (𝑏𝑓 𝐺) = (𝐴𝑓 𝐺))
149148oveq2d 6706 . . . . 5 (𝑏 = 𝐴 → (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)) = (𝑇 Σg (𝐴𝑓 𝐺)))
150147, 149oveq12d 6708 . . . 4 (𝑏 = 𝐴 → ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))) = ((𝐹𝐻) · (𝑇 Σg (𝐴𝑓 𝐺))))
151 ovex 6718 . . . 4 ((𝐹𝐻) · (𝑇 Σg (𝐴𝑓 𝐺))) ∈ V
152150, 123, 151fvmpt 6321 . . 3 (𝐴𝐷 → ((𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))‘𝐴) = ((𝐹𝐻) · (𝑇 Σg (𝐴𝑓 𝐺))))
15311, 152syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))‘𝐴) = ((𝐹𝐻) · (𝑇 Σg (𝐴𝑓 𝐺))))
15421, 145, 1533eqtrd 2689 1 (𝜑 → (𝐸‘(𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))) = ((𝐹𝐻) · (𝑇 Σg (𝐴𝑓 𝐺))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  {crab 2945  Vcvv 3231  cdif 3604  wss 3607  ifcif 4119  {csn 4210   class class class wbr 4685  cmpt 4762  ccnv 5142  cima 5146  Fun wfun 5920   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  𝑓 cof 6937   supp csupp 7340  𝑚 cmap 7899  Fincfn 7997   finSupp cfsupp 8316  0cc0 9974  cn 11058  0cn0 11330  Basecbs 15904  .rcmulr 15989  0gc0g 16147   Σg cgsu 16148  Mndcmnd 17341  .gcmg 17587   GrpHom cghm 17704  CMndccmn 18239  mulGrpcmgp 18535  Ringcrg 18593  CRingccrg 18594   RingHom crh 18760   mVar cmvr 19400   mPoly cmpl 19401
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-tset 16007  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-ghm 17705  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-rnghom 18763  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-psr 19404  df-mpl 19406
This theorem is referenced by:  evlslem1  19563
  Copyright terms: Public domain W3C validator