Theorem evls1varpw 19893

Description: Univariate polynomial evaluation for subrings maps the exponentiation of a variable to the exponentiation of the evaluated variable. (Contributed by AV, 14-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evls1varpw.q	⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
evls1varpw.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evls1varpw.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
evls1varpw.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
evls1varpw.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑈)
evls1varpw.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
evls1varpw.e	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
evls1varpw.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evls1varpw.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evls1varpw.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
evls1varpw	⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s 𝐵)))(𝑄‘𝑋)))

Proof of Theorem evls1varpw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evls1varpw.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
2		evls1varpw.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
3	1, 2	jca 555	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)))
4		evls1varpw.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
5		evls1varpw.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
6		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝑆 ↑s 𝐵) = (𝑆 ↑s 𝐵)
7		evls1varpw.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
8		evls1varpw.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
9	4, 5, 6, 7, 8	evls1rhm 19889	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom (𝑆 ↑s 𝐵)))
10		evls1varpw.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
11		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘(𝑆 ↑s 𝐵)) = (mulGrp‘(𝑆 ↑s 𝐵))
12	10, 11	rhmmhm 18924	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑊 RingHom (𝑆 ↑s 𝐵)) → 𝑄 ∈ (𝐺 MndHom (mulGrp‘(𝑆 ↑s 𝐵))))
13	3, 9, 12	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝐺 MndHom (mulGrp‘(𝑆 ↑s 𝐵))))
14		evls1varpw.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
15	7	subrgring 18985	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑈 ∈ Ring)
16		evls1varpw.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑈)
17		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
18	16, 8, 17	vr1cl 19789	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
19	2, 15, 18	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
20	10, 17	mgpbas 18695	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝐺)
21		evls1varpw.e	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
22		eqid 2760	. . 3 ⊢ (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s 𝐵))) = (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s 𝐵)))
23	20, 21, 22	mhmmulg 17784	. 2 ⊢ ((𝑄 ∈ (𝐺 MndHom (mulGrp‘(𝑆 ↑s 𝐵))) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑄‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s 𝐵)))(𝑄‘𝑋)))
24	13, 14, 19, 23	syl3anc 1477	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s 𝐵)))(𝑄‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  ℕ₀cn0 11484  Basecbs 16059   ↾_s cress 16060   ↑_s cpws 16309   MndHom cmhm 17534  ._gcmg 17741  mulGrpcmgp 18689  Ringcrg 18747  CRingccrg 18748   RingHom crh 18914  SubRingcsubrg 18978  var₁cv1 19748  Poly₁cpl1 19749   evalSub₁ ces1 19880

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-ofr 7063  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-sup 8513  df-oi 8580  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-seq 12996  df-hash 13312  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-hom 16168  df-cco 16169  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-prds 16310  df-pws 16312  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-mhm 17536  df-submnd 17537  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-sbg 17628  df-mulg 17742  df-subg 17792  df-ghm 17859  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-abl 18396  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-srg 18706  df-ring 18749  df-cring 18750  df-rnghom 18917  df-subrg 18980  df-lmod 19067  df-lss 19135  df-lsp 19174  df-assa 19514  df-asp 19515  df-ascl 19516  df-psr 19558  df-mvr 19559  df-mpl 19560  df-opsr 19562  df-evls 19708  df-psr1 19752  df-vr1 19753  df-ply1 19754  df-evls1 19882

This theorem is referenced by:  evl1varpw  19927