MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evls1var Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evls1var 19937
Description: Univariate polynomial evaluation for subrings maps the variable to the identity function. (Contributed by AV, 13-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evls1var.q 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
evls1var.x 𝑋 = (var1𝑈)
evls1var.u 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
evls1var.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
evls1var.s (𝜑𝑆 ∈ CRing)
evls1var.r (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
Assertion
Ref Expression
evls1var (𝜑 → (𝑄𝑋) = ( I ↾ 𝐵))

Proof of Theorem evls1var
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2774 . . . . 5 (var1𝑆) = (var1𝑆)
2 evls1var.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
3 evls1var.u . . . . 5 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
41, 2, 3subrgvr1 19866 . . . 4 (𝜑 → (var1𝑆) = (var1𝑈))
5 evls1var.x . . . 4 𝑋 = (var1𝑈)
64, 5syl6reqr 2827 . . 3 (𝜑𝑋 = (var1𝑆))
76fveq2d 6352 . 2 (𝜑 → (𝑄𝑋) = (𝑄‘(var1𝑆)))
8 eqid 2774 . . . . . 6 ((1𝑜 evalSub 𝑆)‘𝑅) = ((1𝑜 evalSub 𝑆)‘𝑅)
9 eqid 2774 . . . . . 6 (1𝑜 eval 𝑆) = (1𝑜 eval 𝑆)
10 eqid 2774 . . . . . 6 (1𝑜 mVar 𝑈) = (1𝑜 mVar 𝑈)
11 evls1var.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑆)
12 1on 7741 . . . . . . 7 1𝑜 ∈ On
1312a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 1𝑜 ∈ On)
14 evls1var.s . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ CRing)
15 0lt1o 7759 . . . . . . 7 ∅ ∈ 1𝑜
1615a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ∅ ∈ 1𝑜)
178, 9, 10, 3, 11, 13, 14, 2, 16evlsvarsrng 19763 . . . . 5 (𝜑 → (((1𝑜 evalSub 𝑆)‘𝑅)‘((1𝑜 mVar 𝑈)‘∅)) = ((1𝑜 eval 𝑆)‘((1𝑜 mVar 𝑈)‘∅)))
181vr1val 19797 . . . . . . 7 (var1𝑆) = ((1𝑜 mVar 𝑆)‘∅)
19 eqid 2774 . . . . . . . . 9 (1𝑜 mVar 𝑆) = (1𝑜 mVar 𝑆)
2019, 13, 2, 3subrgmvr 19696 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1𝑜 mVar 𝑆) = (1𝑜 mVar 𝑈))
2120fveq1d 6350 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1𝑜 mVar 𝑆)‘∅) = ((1𝑜 mVar 𝑈)‘∅))
2218, 21syl5eq 2820 . . . . . 6 (𝜑 → (var1𝑆) = ((1𝑜 mVar 𝑈)‘∅))
2322fveq2d 6352 . . . . 5 (𝜑 → (((1𝑜 evalSub 𝑆)‘𝑅)‘(var1𝑆)) = (((1𝑜 evalSub 𝑆)‘𝑅)‘((1𝑜 mVar 𝑈)‘∅)))
2422fveq2d 6352 . . . . 5 (𝜑 → ((1𝑜 eval 𝑆)‘(var1𝑆)) = ((1𝑜 eval 𝑆)‘((1𝑜 mVar 𝑈)‘∅)))
2517, 23, 243eqtr4d 2818 . . . 4 (𝜑 → (((1𝑜 evalSub 𝑆)‘𝑅)‘(var1𝑆)) = ((1𝑜 eval 𝑆)‘(var1𝑆)))
2625coeq1d 5434 . . 3 (𝜑 → ((((1𝑜 evalSub 𝑆)‘𝑅)‘(var1𝑆)) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))) = (((1𝑜 eval 𝑆)‘(var1𝑆)) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))))
27 eqid 2774 . . . . 5 (Poly1𝑈) = (Poly1𝑈)
28 eqid 2774 . . . . . . 7 (Poly1‘(𝑆s 𝑅)) = (Poly1‘(𝑆s 𝑅))
29 eqid 2774 . . . . . . 7 (PwSer1‘(𝑆s 𝑅)) = (PwSer1‘(𝑆s 𝑅))
303fveq2i 6351 . . . . . . . 8 (Poly1𝑈) = (Poly1‘(𝑆s 𝑅))
3130fveq2i 6351 . . . . . . 7 (Base‘(Poly1𝑈)) = (Base‘(Poly1‘(𝑆s 𝑅)))
3228, 29, 31ply1bas 19800 . . . . . 6 (Base‘(Poly1𝑈)) = (Base‘(1𝑜 mPoly (𝑆s 𝑅)))
3332eqcomi 2783 . . . . 5 (Base‘(1𝑜 mPoly (𝑆s 𝑅))) = (Base‘(Poly1𝑈))
341, 2, 3, 27, 33subrgvr1cl 19867 . . . 4 (𝜑 → (var1𝑆) ∈ (Base‘(1𝑜 mPoly (𝑆s 𝑅))))
35 evls1var.q . . . . 5 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
36 eqid 2774 . . . . 5 (1𝑜 evalSub 𝑆) = (1𝑜 evalSub 𝑆)
37 eqid 2774 . . . . 5 (1𝑜 mPoly (𝑆s 𝑅)) = (1𝑜 mPoly (𝑆s 𝑅))
38 eqid 2774 . . . . 5 (Base‘(1𝑜 mPoly (𝑆s 𝑅))) = (Base‘(1𝑜 mPoly (𝑆s 𝑅)))
3935, 36, 11, 37, 38evls1val 19920 . . . 4 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ (var1𝑆) ∈ (Base‘(1𝑜 mPoly (𝑆s 𝑅)))) → (𝑄‘(var1𝑆)) = ((((1𝑜 evalSub 𝑆)‘𝑅)‘(var1𝑆)) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))))
4014, 2, 34, 39syl3anc 1480 . . 3 (𝜑 → (𝑄‘(var1𝑆)) = ((((1𝑜 evalSub 𝑆)‘𝑅)‘(var1𝑆)) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))))
41 crngring 18786 . . . . 5 (𝑆 ∈ CRing → 𝑆 ∈ Ring)
42 eqid 2774 . . . . . 6 (Poly1𝑆) = (Poly1𝑆)
43 eqid 2774 . . . . . . . 8 (PwSer1𝑆) = (PwSer1𝑆)
44 eqid 2774 . . . . . . . 8 (Base‘(Poly1𝑆)) = (Base‘(Poly1𝑆))
4542, 43, 44ply1bas 19800 . . . . . . 7 (Base‘(Poly1𝑆)) = (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑆))
4645eqcomi 2783 . . . . . 6 (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑆)) = (Base‘(Poly1𝑆))
471, 42, 46vr1cl 19822 . . . . 5 (𝑆 ∈ Ring → (var1𝑆) ∈ (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑆)))
4814, 41, 473syl 18 . . . 4 (𝜑 → (var1𝑆) ∈ (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑆)))
49 eqid 2774 . . . . 5 (eval1𝑆) = (eval1𝑆)
50 eqid 2774 . . . . 5 (1𝑜 mPoly 𝑆) = (1𝑜 mPoly 𝑆)
51 eqid 2774 . . . . 5 (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑆)) = (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑆))
5249, 9, 11, 50, 51evl1val 19928 . . . 4 ((𝑆 ∈ CRing ∧ (var1𝑆) ∈ (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑆))) → ((eval1𝑆)‘(var1𝑆)) = (((1𝑜 eval 𝑆)‘(var1𝑆)) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))))
5314, 48, 52syl2anc 574 . . 3 (𝜑 → ((eval1𝑆)‘(var1𝑆)) = (((1𝑜 eval 𝑆)‘(var1𝑆)) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))))
5426, 40, 533eqtr4d 2818 . 2 (𝜑 → (𝑄‘(var1𝑆)) = ((eval1𝑆)‘(var1𝑆)))
5549, 1, 11evl1var 19935 . . 3 (𝑆 ∈ CRing → ((eval1𝑆)‘(var1𝑆)) = ( I ↾ 𝐵))
5614, 55syl 17 . 2 (𝜑 → ((eval1𝑆)‘(var1𝑆)) = ( I ↾ 𝐵))
577, 54, 563eqtrd 2812 1 (𝜑 → (𝑄𝑋) = ( I ↾ 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1634  wcel 2148  c0 4073  {csn 4326  cmpt 4876   I cid 5170   × cxp 5261  cres 5265  ccom 5267  Oncon0 5877  cfv 6042  (class class class)co 6812  1𝑜c1o 7727  Basecbs 16084  s cress 16085  Ringcrg 18775  CRingccrg 18776  SubRingcsubrg 19006   mVar cmvr 19587   mPoly cmpl 19588   evalSub ces 19739   eval cevl 19740  PwSer1cps1 19780  var1cv1 19781  Poly1cpl1 19782   evalSub1 ces1 19913  eval1ce1 19914
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1873  ax-4 1888  ax-5 1994  ax-6 2060  ax-7 2096  ax-8 2150  ax-9 2157  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2206  ax-13 2411  ax-ext 2754  ax-rep 4917  ax-sep 4928  ax-nul 4936  ax-pow 4988  ax-pr 5048  ax-un 7117  ax-inf2 8723  ax-cnex 10215  ax-resscn 10216  ax-1cn 10217  ax-icn 10218  ax-addcl 10219  ax-addrcl 10220  ax-mulcl 10221  ax-mulrcl 10222  ax-mulcom 10223  ax-addass 10224  ax-mulass 10225  ax-distr 10226  ax-i2m1 10227  ax-1ne0 10228  ax-1rid 10229  ax-rnegex 10230  ax-rrecex 10231  ax-cnre 10232  ax-pre-lttri 10233  ax-pre-lttrn 10234  ax-pre-ltadd 10235  ax-pre-mulgt0 10236
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 384  df-or 864  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1637  df-ex 1856  df-nf 1861  df-sb 2053  df-eu 2625  df-mo 2626  df-clab 2761  df-cleq 2767  df-clel 2770  df-nfc 2905  df-ne 2947  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3357  df-sbc 3594  df-csb 3689  df-dif 3732  df-un 3734  df-in 3736  df-ss 3743  df-pss 3745  df-nul 4074  df-if 4236  df-pw 4309  df-sn 4327  df-pr 4329  df-tp 4331  df-op 4333  df-uni 4586  df-int 4623  df-iun 4667  df-iin 4668  df-br 4798  df-opab 4860  df-mpt 4877  df-tr 4900  df-id 5171  df-eprel 5176  df-po 5184  df-so 5185  df-fr 5222  df-se 5223  df-we 5224  df-xp 5269  df-rel 5270  df-cnv 5271  df-co 5272  df-dm 5273  df-rn 5274  df-res 5275  df-ima 5276  df-pred 5834  df-ord 5880  df-on 5881  df-lim 5882  df-suc 5883  df-iota 6005  df-fun 6044  df-fn 6045  df-f 6046  df-f1 6047  df-fo 6048  df-f1o 6049  df-fv 6050  df-isom 6051  df-riota 6773  df-ov 6815  df-oprab 6816  df-mpt2 6817  df-of 7065  df-ofr 7066  df-om 7234  df-1st 7336  df-2nd 7337  df-supp 7468  df-wrecs 7580  df-recs 7642  df-rdg 7680  df-1o 7734  df-2o 7735  df-oadd 7738  df-er 7917  df-map 8032  df-pm 8033  df-ixp 8084  df-en 8131  df-dom 8132  df-sdom 8133  df-fin 8134  df-fsupp 8453  df-sup 8525  df-oi 8592  df-card 8986  df-pnf 10299  df-mnf 10300  df-xr 10301  df-ltxr 10302  df-le 10303  df-sub 10491  df-neg 10492  df-nn 11244  df-2 11302  df-3 11303  df-4 11304  df-5 11305  df-6 11306  df-7 11307  df-8 11308  df-9 11309  df-n0 11517  df-z 11602  df-dec 11718  df-uz 11911  df-fz 12556  df-fzo 12696  df-seq 13031  df-hash 13344  df-struct 16086  df-ndx 16087  df-slot 16088  df-base 16090  df-sets 16091  df-ress 16092  df-plusg 16182  df-mulr 16183  df-sca 16185  df-vsca 16186  df-ip 16187  df-tset 16188  df-ple 16189  df-ds 16192  df-hom 16194  df-cco 16195  df-0g 16330  df-gsum 16331  df-prds 16336  df-pws 16338  df-mre 16474  df-mrc 16475  df-acs 16477  df-mgm 17470  df-sgrp 17512  df-mnd 17523  df-mhm 17563  df-submnd 17564  df-grp 17653  df-minusg 17654  df-sbg 17655  df-mulg 17769  df-subg 17819  df-ghm 17886  df-cntz 17977  df-cmn 18422  df-abl 18423  df-mgp 18718  df-ur 18730  df-srg 18734  df-ring 18777  df-cring 18778  df-rnghom 18945  df-subrg 19008  df-lmod 19095  df-lss 19163  df-lsp 19205  df-assa 19547  df-asp 19548  df-ascl 19549  df-psr 19591  df-mvr 19592  df-mpl 19593  df-opsr 19595  df-evls 19741  df-evl 19742  df-psr1 19785  df-vr1 19786  df-ply1 19787  df-evls1 19915  df-evl1 19916
This theorem is referenced by:  evls1varsrng  19939
  Copyright terms: Public domain W3C validator