MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evls1sca Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evls1sca 19736
Description: Univariate polynomial evaluation maps scalars to constant functions. (Contributed by AV, 8-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evls1sca.q 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
evls1sca.w 𝑊 = (Poly1𝑈)
evls1sca.u 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
evls1sca.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
evls1sca.a 𝐴 = (algSc‘𝑊)
evls1sca.s (𝜑𝑆 ∈ CRing)
evls1sca.r (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evls1sca.x (𝜑𝑋𝑅)
Assertion
Ref Expression
evls1sca (𝜑 → (𝑄‘(𝐴𝑋)) = (𝐵 × {𝑋}))

Proof of Theorem evls1sca
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1on 7612 . . . . . . 7 1𝑜 ∈ On
21a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 1𝑜 ∈ On)
3 evls1sca.s . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ CRing)
4 evls1sca.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
5 eqid 2651 . . . . . . 7 ((1𝑜 evalSub 𝑆)‘𝑅) = ((1𝑜 evalSub 𝑆)‘𝑅)
6 eqid 2651 . . . . . . 7 (1𝑜 mPoly 𝑈) = (1𝑜 mPoly 𝑈)
7 evls1sca.u . . . . . . 7 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
8 eqid 2651 . . . . . . 7 (𝑆s (𝐵𝑚 1𝑜)) = (𝑆s (𝐵𝑚 1𝑜))
9 evls1sca.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑆)
105, 6, 7, 8, 9evlsrhm 19569 . . . . . 6 ((1𝑜 ∈ On ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → ((1𝑜 evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((1𝑜 mPoly 𝑈) RingHom (𝑆s (𝐵𝑚 1𝑜))))
112, 3, 4, 10syl3anc 1366 . . . . 5 (𝜑 → ((1𝑜 evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((1𝑜 mPoly 𝑈) RingHom (𝑆s (𝐵𝑚 1𝑜))))
12 eqid 2651 . . . . . 6 (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑈)) = (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑈))
13 eqid 2651 . . . . . 6 (Base‘(𝑆s (𝐵𝑚 1𝑜))) = (Base‘(𝑆s (𝐵𝑚 1𝑜)))
1412, 13rhmf 18774 . . . . 5 (((1𝑜 evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((1𝑜 mPoly 𝑈) RingHom (𝑆s (𝐵𝑚 1𝑜))) → ((1𝑜 evalSub 𝑆)‘𝑅):(Base‘(1𝑜 mPoly 𝑈))⟶(Base‘(𝑆s (𝐵𝑚 1𝑜))))
1511, 14syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((1𝑜 evalSub 𝑆)‘𝑅):(Base‘(1𝑜 mPoly 𝑈))⟶(Base‘(𝑆s (𝐵𝑚 1𝑜))))
16 evls1sca.a . . . . . . 7 𝐴 = (algSc‘𝑊)
17 eqid 2651 . . . . . . 7 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
187subrgring 18831 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑈 ∈ Ring)
194, 18syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ Ring)
20 evls1sca.w . . . . . . . . 9 𝑊 = (Poly1𝑈)
2120ply1ring 19666 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Ring)
2219, 21syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ Ring)
2320ply1lmod 19670 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ Ring → 𝑊 ∈ LMod)
2419, 23syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
25 eqid 2651 . . . . . . 7 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
26 eqid 2651 . . . . . . 7 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2716, 17, 22, 24, 25, 26asclf 19385 . . . . . 6 (𝜑𝐴:(Base‘(Scalar‘𝑊))⟶(Base‘𝑊))
289subrgss 18829 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅𝐵)
294, 28syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅𝐵)
307, 9ressbas2 15978 . . . . . . . . 9 (𝑅𝐵𝑅 = (Base‘𝑈))
3129, 30syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 = (Base‘𝑈))
3220ply1sca 19671 . . . . . . . . . 10 (𝑈 ∈ Ring → 𝑈 = (Scalar‘𝑊))
3319, 32syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 = (Scalar‘𝑊))
3433fveq2d 6233 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Base‘𝑈) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3531, 34eqtrd 2685 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
36 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (PwSer1𝑈) = (PwSer1𝑈)
3720, 36, 26ply1bas 19613 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑊) = (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑈))
3837a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Base‘𝑊) = (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑈)))
3938eqcomd 2657 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑈)) = (Base‘𝑊))
4035, 39feq23d 6078 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴:𝑅⟶(Base‘(1𝑜 mPoly 𝑈)) ↔ 𝐴:(Base‘(Scalar‘𝑊))⟶(Base‘𝑊)))
4127, 40mpbird 247 . . . . 5 (𝜑𝐴:𝑅⟶(Base‘(1𝑜 mPoly 𝑈)))
42 evls1sca.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝑅)
4341, 42ffvelrnd 6400 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝑋) ∈ (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑈)))
44 fvco3 6314 . . . 4 ((((1𝑜 evalSub 𝑆)‘𝑅):(Base‘(1𝑜 mPoly 𝑈))⟶(Base‘(𝑆s (𝐵𝑚 1𝑜))) ∧ (𝐴𝑋) ∈ (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑈))) → (((𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1𝑜)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦})))) ∘ ((1𝑜 evalSub 𝑆)‘𝑅))‘(𝐴𝑋)) = ((𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1𝑜)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))))‘(((1𝑜 evalSub 𝑆)‘𝑅)‘(𝐴𝑋))))
4515, 43, 44syl2anc 694 . . 3 (𝜑 → (((𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1𝑜)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦})))) ∘ ((1𝑜 evalSub 𝑆)‘𝑅))‘(𝐴𝑋)) = ((𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1𝑜)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))))‘(((1𝑜 evalSub 𝑆)‘𝑅)‘(𝐴𝑋))))
4616a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 = (algSc‘𝑊))
47 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (algSc‘𝑊) = (algSc‘𝑊)
4820, 47ply1ascl 19676 . . . . . . . 8 (algSc‘𝑊) = (algSc‘(1𝑜 mPoly 𝑈))
4946, 48syl6eq 2701 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 = (algSc‘(1𝑜 mPoly 𝑈)))
5049fveq1d 6231 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝑋) = ((algSc‘(1𝑜 mPoly 𝑈))‘𝑋))
5150fveq2d 6233 . . . . 5 (𝜑 → (((1𝑜 evalSub 𝑆)‘𝑅)‘(𝐴𝑋)) = (((1𝑜 evalSub 𝑆)‘𝑅)‘((algSc‘(1𝑜 mPoly 𝑈))‘𝑋)))
52 eqid 2651 . . . . . 6 (algSc‘(1𝑜 mPoly 𝑈)) = (algSc‘(1𝑜 mPoly 𝑈))
535, 6, 7, 9, 52, 2, 3, 4, 42evlssca 19570 . . . . 5 (𝜑 → (((1𝑜 evalSub 𝑆)‘𝑅)‘((algSc‘(1𝑜 mPoly 𝑈))‘𝑋)) = ((𝐵𝑚 1𝑜) × {𝑋}))
5451, 53eqtrd 2685 . . . 4 (𝜑 → (((1𝑜 evalSub 𝑆)‘𝑅)‘(𝐴𝑋)) = ((𝐵𝑚 1𝑜) × {𝑋}))
5554fveq2d 6233 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1𝑜)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))))‘(((1𝑜 evalSub 𝑆)‘𝑅)‘(𝐴𝑋))) = ((𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1𝑜)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))))‘((𝐵𝑚 1𝑜) × {𝑋})))
56 eqidd 2652 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1𝑜)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦})))) = (𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1𝑜)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦})))))
57 coeq1 5312 . . . . . 6 (𝑥 = ((𝐵𝑚 1𝑜) × {𝑋}) → (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))) = (((𝐵𝑚 1𝑜) × {𝑋}) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))))
5857adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = ((𝐵𝑚 1𝑜) × {𝑋})) → (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))) = (((𝐵𝑚 1𝑜) × {𝑋}) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))))
5929, 42sseldd 3637 . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝐵)
60 fconst6g 6132 . . . . . . 7 (𝑋𝐵 → ((𝐵𝑚 1𝑜) × {𝑋}):(𝐵𝑚 1𝑜)⟶𝐵)
6159, 60syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐵𝑚 1𝑜) × {𝑋}):(𝐵𝑚 1𝑜)⟶𝐵)
62 fvex 6239 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑆) ∈ V
639, 62eqeltri 2726 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ V
6463a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ V)
65 ovex 6718 . . . . . . . 8 (𝐵𝑚 1𝑜) ∈ V
6665a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵𝑚 1𝑜) ∈ V)
6764, 66elmapd 7913 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐵𝑚 1𝑜) × {𝑋}) ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1𝑜)) ↔ ((𝐵𝑚 1𝑜) × {𝑋}):(𝐵𝑚 1𝑜)⟶𝐵))
6861, 67mpbird 247 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵𝑚 1𝑜) × {𝑋}) ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1𝑜)))
69 snex 4938 . . . . . . . 8 {𝑋} ∈ V
7065, 69xpex 7004 . . . . . . 7 ((𝐵𝑚 1𝑜) × {𝑋}) ∈ V
7170a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐵𝑚 1𝑜) × {𝑋}) ∈ V)
72 mptexg 6525 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ V → (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦})) ∈ V)
7364, 72syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦})) ∈ V)
74 coexg 7159 . . . . . 6 ((((𝐵𝑚 1𝑜) × {𝑋}) ∈ V ∧ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦})) ∈ V) → (((𝐵𝑚 1𝑜) × {𝑋}) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))) ∈ V)
7571, 73, 74syl2anc 694 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐵𝑚 1𝑜) × {𝑋}) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))) ∈ V)
7656, 58, 68, 75fvmptd 6327 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1𝑜)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))))‘((𝐵𝑚 1𝑜) × {𝑋})) = (((𝐵𝑚 1𝑜) × {𝑋}) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))))
77 fconst6g 6132 . . . . . . 7 (𝑦𝐵 → (1𝑜 × {𝑦}):1𝑜𝐵)
7877adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐵) → (1𝑜 × {𝑦}):1𝑜𝐵)
7963, 1pm3.2i 470 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ V ∧ 1𝑜 ∈ On)
8079a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐵) → (𝐵 ∈ V ∧ 1𝑜 ∈ On))
81 elmapg 7912 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ V ∧ 1𝑜 ∈ On) → ((1𝑜 × {𝑦}) ∈ (𝐵𝑚 1𝑜) ↔ (1𝑜 × {𝑦}):1𝑜𝐵))
8280, 81syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐵) → ((1𝑜 × {𝑦}) ∈ (𝐵𝑚 1𝑜) ↔ (1𝑜 × {𝑦}):1𝑜𝐵))
8378, 82mpbird 247 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐵) → (1𝑜 × {𝑦}) ∈ (𝐵𝑚 1𝑜))
84 eqidd 2652 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦})) = (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦})))
85 fconstmpt 5197 . . . . . 6 ((𝐵𝑚 1𝑜) × {𝑋}) = (𝑧 ∈ (𝐵𝑚 1𝑜) ↦ 𝑋)
8685a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵𝑚 1𝑜) × {𝑋}) = (𝑧 ∈ (𝐵𝑚 1𝑜) ↦ 𝑋))
87 eqidd 2652 . . . . 5 (𝑧 = (1𝑜 × {𝑦}) → 𝑋 = 𝑋)
8883, 84, 86, 87fmptco 6436 . . . 4 (𝜑 → (((𝐵𝑚 1𝑜) × {𝑋}) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))) = (𝑦𝐵𝑋))
8976, 88eqtrd 2685 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1𝑜)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))))‘((𝐵𝑚 1𝑜) × {𝑋})) = (𝑦𝐵𝑋))
9045, 55, 893eqtrd 2689 . 2 (𝜑 → (((𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1𝑜)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦})))) ∘ ((1𝑜 evalSub 𝑆)‘𝑅))‘(𝐴𝑋)) = (𝑦𝐵𝑋))
91 elpwg 4199 . . . . . 6 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (𝑅 ∈ 𝒫 𝐵𝑅𝐵))
9228, 91mpbird 247 . . . . 5 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ∈ 𝒫 𝐵)
934, 92syl 17 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ 𝒫 𝐵)
94 evls1sca.q . . . . 5 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
95 eqid 2651 . . . . 5 (1𝑜 evalSub 𝑆) = (1𝑜 evalSub 𝑆)
9694, 95, 9evls1fval 19732 . . . 4 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑄 = ((𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1𝑜)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦})))) ∘ ((1𝑜 evalSub 𝑆)‘𝑅)))
973, 93, 96syl2anc 694 . . 3 (𝜑𝑄 = ((𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1𝑜)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦})))) ∘ ((1𝑜 evalSub 𝑆)‘𝑅)))
9897fveq1d 6231 . 2 (𝜑 → (𝑄‘(𝐴𝑋)) = (((𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1𝑜)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦})))) ∘ ((1𝑜 evalSub 𝑆)‘𝑅))‘(𝐴𝑋)))
99 fconstmpt 5197 . . 3 (𝐵 × {𝑋}) = (𝑦𝐵𝑋)
10099a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝐵 × {𝑋}) = (𝑦𝐵𝑋))
10190, 98, 1003eqtr4d 2695 1 (𝜑 → (𝑄‘(𝐴𝑋)) = (𝐵 × {𝑋}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  Vcvv 3231  wss 3607  𝒫 cpw 4191  {csn 4210  cmpt 4762   × cxp 5141  ccom 5147  Oncon0 5761  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  1𝑜c1o 7598  𝑚 cmap 7899  Basecbs 15904  s cress 15905  Scalarcsca 15991  s cpws 16154  Ringcrg 18593  CRingccrg 18594   RingHom crh 18760  SubRingcsubrg 18824  LModclmod 18911  algSccascl 19359   mPoly cmpl 19401   evalSub ces 19552  PwSer1cps1 19593  Poly1cpl1 19595   evalSub1 ces1 19726
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-ofr 6940  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-sup 8389  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-hom 16013  df-cco 16014  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-prds 16155  df-pws 16157  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-ghm 17705  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-srg 18552  df-ring 18595  df-cring 18596  df-rnghom 18763  df-subrg 18826  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-lsp 19020  df-assa 19360  df-asp 19361  df-ascl 19362  df-psr 19404  df-mvr 19405  df-mpl 19406  df-opsr 19408  df-evls 19554  df-psr1 19598  df-ply1 19600  df-evls1 19728
This theorem is referenced by:  evls1scasrng  19751
  Copyright terms: Public domain W3C validator