MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evls1rhmlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evls1rhmlem 19908
Description: Lemma for evl1rhm 19918 and evls1rhm 19909 (formerly part of the proof of evl1rhm 19918): The first function of the composition forming the univariate polynomial evaluation map function for a (sub)ring is a ring homomorphism. (Contributed by AV, 11-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1rhmlem.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1rhmlem.t 𝑇 = (𝑅s 𝐵)
evl1rhmlem.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1𝑜)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))))
Assertion
Ref Expression
evls1rhmlem (𝑅 ∈ CRing → 𝐹 ∈ ((𝑅s (𝐵𝑚 1𝑜)) RingHom 𝑇))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑅   𝑥,𝑇
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑦)   𝑇(𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem evls1rhmlem
StepHypRef Expression
1 evl1rhmlem.f . . 3 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1𝑜)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))))
2 ovex 6842 . . . . 5 (𝐵𝑚 1𝑜) ∈ V
3 eqid 2760 . . . . . 6 (𝑅s (𝐵𝑚 1𝑜)) = (𝑅s (𝐵𝑚 1𝑜))
4 evl1rhmlem.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
53, 4pwsbas 16369 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝐵𝑚 1𝑜) ∈ V) → (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1𝑜)) = (Base‘(𝑅s (𝐵𝑚 1𝑜))))
62, 5mpan2 709 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1𝑜)) = (Base‘(𝑅s (𝐵𝑚 1𝑜))))
76mpteq1d 4890 . . 3 (𝑅 ∈ CRing → (𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1𝑜)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦})))) = (𝑥 ∈ (Base‘(𝑅s (𝐵𝑚 1𝑜))) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦})))))
81, 7syl5eq 2806 . 2 (𝑅 ∈ CRing → 𝐹 = (𝑥 ∈ (Base‘(𝑅s (𝐵𝑚 1𝑜))) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦})))))
9 evl1rhmlem.t . . 3 𝑇 = (𝑅s 𝐵)
10 eqid 2760 . . 3 (Base‘(𝑅s (𝐵𝑚 1𝑜))) = (Base‘(𝑅s (𝐵𝑚 1𝑜)))
11 crngring 18778 . . 3 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
12 fvex 6363 . . . . 5 (Base‘𝑅) ∈ V
134, 12eqeltri 2835 . . . 4 𝐵 ∈ V
1413a1i 11 . . 3 (𝑅 ∈ CRing → 𝐵 ∈ V)
152a1i 11 . . 3 (𝑅 ∈ CRing → (𝐵𝑚 1𝑜) ∈ V)
16 df1o2 7743 . . . . 5 1𝑜 = {∅}
17 0ex 4942 . . . . 5 ∅ ∈ V
18 eqid 2760 . . . . 5 (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦})) = (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))
1916, 13, 17, 18mapsnf1o3 8074 . . . 4 (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦})):𝐵1-1-onto→(𝐵𝑚 1𝑜)
20 f1of 6299 . . . 4 ((𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦})):𝐵1-1-onto→(𝐵𝑚 1𝑜) → (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦})):𝐵⟶(𝐵𝑚 1𝑜))
2119, 20mp1i 13 . . 3 (𝑅 ∈ CRing → (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦})):𝐵⟶(𝐵𝑚 1𝑜))
229, 3, 10, 11, 14, 15, 21pwsco1rhm 18960 . 2 (𝑅 ∈ CRing → (𝑥 ∈ (Base‘(𝑅s (𝐵𝑚 1𝑜))) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦})))) ∈ ((𝑅s (𝐵𝑚 1𝑜)) RingHom 𝑇))
238, 22eqeltrd 2839 1 (𝑅 ∈ CRing → 𝐹 ∈ ((𝑅s (𝐵𝑚 1𝑜)) RingHom 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1632  wcel 2139  Vcvv 3340  c0 4058  {csn 4321  cmpt 4881   × cxp 5264  ccom 5270  wf 6045  1-1-ontowf1o 6048  cfv 6049  (class class class)co 6814  1𝑜c1o 7723  𝑚 cmap 8025  Basecbs 16079  s cpws 16329  CRingccrg 18768   RingHom crh 18934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-ixp 8077  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-sup 8515  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-fz 12540  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-ip 16181  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-hom 16188  df-cco 16189  df-0g 16324  df-prds 16330  df-pws 16332  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-mhm 17556  df-grp 17646  df-minusg 17647  df-ghm 17879  df-mgp 18710  df-ur 18722  df-ring 18769  df-cring 18770  df-rnghom 18937
This theorem is referenced by:  evls1rhm  19909  evl1rhm  19918
  Copyright terms: Public domain W3C validator