Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evls1gsummul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evls1gsummul 19912
 Description: Univariate polynomial evaluation maps (multiplicative) group sums to group sums. (Contributed by AV, 14-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evls1gsummul.q 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
evls1gsummul.k 𝐾 = (Base‘𝑆)
evls1gsummul.w 𝑊 = (Poly1𝑈)
evls1gsummul.g 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
evls1gsummul.1 1 = (1r𝑊)
evls1gsummul.u 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
evls1gsummul.p 𝑃 = (𝑆s 𝐾)
evls1gsummul.h 𝐻 = (mulGrp‘𝑃)
evls1gsummul.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
evls1gsummul.s (𝜑𝑆 ∈ CRing)
evls1gsummul.r (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evls1gsummul.y ((𝜑𝑥𝑁) → 𝑌𝐵)
evls1gsummul.n (𝜑𝑁 ⊆ ℕ0)
evls1gsummul.f (𝜑 → (𝑥𝑁𝑌) finSupp 1 )
Assertion
Ref Expression
evls1gsummul (𝜑 → (𝑄‘(𝐺 Σg (𝑥𝑁𝑌))) = (𝐻 Σg (𝑥𝑁 ↦ (𝑄𝑌))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑁   𝑥,𝑄   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑈(𝑥)   1 (𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem evls1gsummul
StepHypRef Expression
1 evls1gsummul.g . . . 4 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
2 evls1gsummul.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑊)
31, 2mgpbas 18715 . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
4 evls1gsummul.1 . . . 4 1 = (1r𝑊)
51, 4ringidval 18723 . . 3 1 = (0g𝐺)
6 evls1gsummul.s . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ CRing)
7 evls1gsummul.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
8 evls1gsummul.u . . . . . 6 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
98subrgcrng 19006 . . . . 5 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑈 ∈ CRing)
106, 7, 9syl2anc 696 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ CRing)
11 evls1gsummul.w . . . . 5 𝑊 = (Poly1𝑈)
1211ply1crng 19790 . . . 4 (𝑈 ∈ CRing → 𝑊 ∈ CRing)
131crngmgp 18775 . . . 4 (𝑊 ∈ CRing → 𝐺 ∈ CMnd)
1410, 12, 133syl 18 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
15 crngring 18778 . . . . . 6 (𝑆 ∈ CRing → 𝑆 ∈ Ring)
166, 15syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ Ring)
17 evls1gsummul.k . . . . . 6 𝐾 = (Base‘𝑆)
18 fvex 6363 . . . . . 6 (Base‘𝑆) ∈ V
1917, 18eqeltri 2835 . . . . 5 𝐾 ∈ V
2016, 19jctir 562 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ V))
21 evls1gsummul.p . . . . 5 𝑃 = (𝑆s 𝐾)
2221pwsring 18835 . . . 4 ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ V) → 𝑃 ∈ Ring)
23 evls1gsummul.h . . . . 5 𝐻 = (mulGrp‘𝑃)
2423ringmgp 18773 . . . 4 (𝑃 ∈ Ring → 𝐻 ∈ Mnd)
2520, 22, 243syl 18 . . 3 (𝜑𝐻 ∈ Mnd)
26 nn0ex 11510 . . . . 5 0 ∈ V
2726a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
28 evls1gsummul.n . . . 4 (𝜑𝑁 ⊆ ℕ0)
2927, 28ssexd 4957 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ V)
30 evls1gsummul.q . . . . . 6 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
3130, 17, 21, 8, 11evls1rhm 19909 . . . . 5 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑃))
326, 7, 31syl2anc 696 . . . 4 (𝜑𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑃))
331, 23rhmmhm 18944 . . . 4 (𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑃) → 𝑄 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
3432, 33syl 17 . . 3 (𝜑𝑄 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
35 evls1gsummul.y . . 3 ((𝜑𝑥𝑁) → 𝑌𝐵)
36 evls1gsummul.f . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑁𝑌) finSupp 1 )
373, 5, 14, 25, 29, 34, 35, 36gsummptmhm 18560 . 2 (𝜑 → (𝐻 Σg (𝑥𝑁 ↦ (𝑄𝑌))) = (𝑄‘(𝐺 Σg (𝑥𝑁𝑌))))
3837eqcomd 2766 1 (𝜑 → (𝑄‘(𝐺 Σg (𝑥𝑁𝑌))) = (𝐻 Σg (𝑥𝑁 ↦ (𝑄𝑌))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  Vcvv 3340   ⊆ wss 3715   class class class wbr 4804   ↦ cmpt 4881  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814   finSupp cfsupp 8442  ℕ0cn0 11504  Basecbs 16079   ↾s cress 16080   Σg cgsu 16323   ↑s cpws 16329  Mndcmnd 17515   MndHom cmhm 17554  CMndccmn 18413  mulGrpcmgp 18709  1rcur 18721  Ringcrg 18767  CRingccrg 18768   RingHom crh 18934  SubRingcsubrg 18998  Poly1cpl1 19769   evalSub1 ces1 19900 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-ofr 7064  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-supp 7465  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-ixp 8077  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fsupp 8443  df-sup 8515  df-oi 8582  df-card 8975  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-seq 13016  df-hash 13332  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-ip 16181  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-hom 16188  df-cco 16189  df-0g 16324  df-gsum 16325  df-prds 16330  df-pws 16332  df-mre 16468  df-mrc 16469  df-acs 16471  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-mhm 17556  df-submnd 17557  df-grp 17646  df-minusg 17647  df-sbg 17648  df-mulg 17762  df-subg 17812  df-ghm 17879  df-cntz 17970  df-cmn 18415  df-abl 18416  df-mgp 18710  df-ur 18722  df-srg 18726  df-ring 18769  df-cring 18770  df-rnghom 18937  df-subrg 19000  df-lmod 19087  df-lss 19155  df-lsp 19194  df-assa 19534  df-asp 19535  df-ascl 19536  df-psr 19578  df-mvr 19579  df-mpl 19580  df-opsr 19582  df-evls 19728  df-psr1 19772  df-ply1 19774  df-evls1 19902 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator