MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1val Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evl1val 19741
Description: Value of the simple/same ring evaluation map. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1fval.o 𝑂 = (eval1𝑅)
evl1fval.q 𝑄 = (1𝑜 eval 𝑅)
evl1fval.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1val.m 𝑀 = (1𝑜 mPoly 𝑅)
evl1val.k 𝐾 = (Base‘𝑀)
Assertion
Ref Expression
evl1val ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴𝐾) → (𝑂𝐴) = ((𝑄𝐴) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))))
Distinct variable group:   𝑦,𝐵
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝑄(𝑦)   𝑅(𝑦)   𝐾(𝑦)   𝑀(𝑦)   𝑂(𝑦)

Proof of Theorem evl1val
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evl1fval.o . . . . 5 𝑂 = (eval1𝑅)
2 evl1fval.q . . . . 5 𝑄 = (1𝑜 eval 𝑅)
3 evl1fval.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
41, 2, 3evl1fval 19740 . . . 4 𝑂 = ((𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1𝑜)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦})))) ∘ 𝑄)
54fveq1i 6230 . . 3 (𝑂𝐴) = (((𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1𝑜)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦})))) ∘ 𝑄)‘𝐴)
6 1on 7612 . . . . . 6 1𝑜 ∈ On
7 simpl 472 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴𝐾) → 𝑅 ∈ CRing)
8 evl1val.m . . . . . . 7 𝑀 = (1𝑜 mPoly 𝑅)
9 eqid 2651 . . . . . . 7 (𝑅s (𝐵𝑚 1𝑜)) = (𝑅s (𝐵𝑚 1𝑜))
102, 3, 8, 9evlrhm 19573 . . . . . 6 ((1𝑜 ∈ On ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑄 ∈ (𝑀 RingHom (𝑅s (𝐵𝑚 1𝑜))))
116, 7, 10sylancr 696 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴𝐾) → 𝑄 ∈ (𝑀 RingHom (𝑅s (𝐵𝑚 1𝑜))))
12 evl1val.k . . . . . 6 𝐾 = (Base‘𝑀)
13 eqid 2651 . . . . . 6 (Base‘(𝑅s (𝐵𝑚 1𝑜))) = (Base‘(𝑅s (𝐵𝑚 1𝑜)))
1412, 13rhmf 18774 . . . . 5 (𝑄 ∈ (𝑀 RingHom (𝑅s (𝐵𝑚 1𝑜))) → 𝑄:𝐾⟶(Base‘(𝑅s (𝐵𝑚 1𝑜))))
1511, 14syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴𝐾) → 𝑄:𝐾⟶(Base‘(𝑅s (𝐵𝑚 1𝑜))))
16 fvco3 6314 . . . 4 ((𝑄:𝐾⟶(Base‘(𝑅s (𝐵𝑚 1𝑜))) ∧ 𝐴𝐾) → (((𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1𝑜)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦})))) ∘ 𝑄)‘𝐴) = ((𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1𝑜)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))))‘(𝑄𝐴)))
1715, 16sylancom 702 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴𝐾) → (((𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1𝑜)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦})))) ∘ 𝑄)‘𝐴) = ((𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1𝑜)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))))‘(𝑄𝐴)))
185, 17syl5eq 2697 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴𝐾) → (𝑂𝐴) = ((𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1𝑜)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))))‘(𝑄𝐴)))
19 ffvelrn 6397 . . . . 5 ((𝑄:𝐾⟶(Base‘(𝑅s (𝐵𝑚 1𝑜))) ∧ 𝐴𝐾) → (𝑄𝐴) ∈ (Base‘(𝑅s (𝐵𝑚 1𝑜))))
2015, 19sylancom 702 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴𝐾) → (𝑄𝐴) ∈ (Base‘(𝑅s (𝐵𝑚 1𝑜))))
21 crngring 18604 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2221adantr 480 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴𝐾) → 𝑅 ∈ Ring)
23 ovex 6718 . . . . 5 (𝐵𝑚 1𝑜) ∈ V
249, 3pwsbas 16194 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐵𝑚 1𝑜) ∈ V) → (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1𝑜)) = (Base‘(𝑅s (𝐵𝑚 1𝑜))))
2522, 23, 24sylancl 695 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴𝐾) → (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1𝑜)) = (Base‘(𝑅s (𝐵𝑚 1𝑜))))
2620, 25eleqtrrd 2733 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴𝐾) → (𝑄𝐴) ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1𝑜)))
27 coeq1 5312 . . . 4 (𝑥 = (𝑄𝐴) → (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))) = ((𝑄𝐴) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))))
28 eqid 2651 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1𝑜)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦})))) = (𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1𝑜)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))))
29 fvex 6239 . . . . 5 (𝑄𝐴) ∈ V
30 fvex 6239 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) ∈ V
313, 30eqeltri 2726 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
3231mptex 6527 . . . . 5 (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦})) ∈ V
3329, 32coex 7160 . . . 4 ((𝑄𝐴) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))) ∈ V
3427, 28, 33fvmpt 6321 . . 3 ((𝑄𝐴) ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1𝑜)) → ((𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1𝑜)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))))‘(𝑄𝐴)) = ((𝑄𝐴) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))))
3526, 34syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴𝐾) → ((𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1𝑜)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))))‘(𝑄𝐴)) = ((𝑄𝐴) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))))
3618, 35eqtrd 2685 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴𝐾) → (𝑂𝐴) = ((𝑄𝐴) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  Vcvv 3231  {csn 4210  cmpt 4762   × cxp 5141  ccom 5147  Oncon0 5761  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  1𝑜c1o 7598  𝑚 cmap 7899  Basecbs 15904  s cpws 16154  Ringcrg 18593  CRingccrg 18594   RingHom crh 18760   mPoly cmpl 19401   eval cevl 19553  eval1ce1 19727
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-ofr 6940  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-sup 8389  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-hom 16013  df-cco 16014  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-prds 16155  df-pws 16157  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-ghm 17705  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-srg 18552  df-ring 18595  df-cring 18596  df-rnghom 18763  df-subrg 18826  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-lsp 19020  df-assa 19360  df-asp 19361  df-ascl 19362  df-psr 19404  df-mvr 19405  df-mpl 19406  df-evls 19554  df-evl 19555  df-evl1 19729
This theorem is referenced by:  evl1sca  19746  evl1var  19748  evls1var  19750  mpfpf1  19763  pf1mpf  19764  pf1ind  19767
  Copyright terms: Public domain W3C validator