MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1scvarpw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evl1scvarpw 19929
Description: Univariate polynomial evaluation maps a multiple of an exponentiation of a variable to the multiple of an exponentiation of the evaluated variable. (Contributed by AV, 18-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1varpw.q 𝑄 = (eval1𝑅)
evl1varpw.w 𝑊 = (Poly1𝑅)
evl1varpw.g 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
evl1varpw.x 𝑋 = (var1𝑅)
evl1varpw.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1varpw.e = (.g𝐺)
evl1varpw.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
evl1varpw.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
evl1scvarpw.t1 × = ( ·𝑠𝑊)
evl1scvarpw.a (𝜑𝐴𝐵)
evl1scvarpw.s 𝑆 = (𝑅s 𝐵)
evl1scvarpw.t2 = (.r𝑆)
evl1scvarpw.m 𝑀 = (mulGrp‘𝑆)
evl1scvarpw.f 𝐹 = (.g𝑀)
Assertion
Ref Expression
evl1scvarpw (𝜑 → (𝑄‘(𝐴 × (𝑁 𝑋))) = ((𝐵 × {𝐴}) (𝑁𝐹(𝑄𝑋))))

Proof of Theorem evl1scvarpw
StepHypRef Expression
1 evl1varpw.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
2 evl1varpw.w . . . . . . 7 𝑊 = (Poly1𝑅)
32ply1assa 19771 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 𝑊 ∈ AssAlg)
41, 3syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ AssAlg)
5 evl1scvarpw.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐵)
6 evl1varpw.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
75, 6syl6eleq 2849 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
82ply1sca 19825 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 = (Scalar‘𝑊))
98eqcomd 2766 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ CRing → (Scalar‘𝑊) = 𝑅)
101, 9syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (Scalar‘𝑊) = 𝑅)
1110fveq2d 6356 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘𝑅))
127, 11eleqtrrd 2842 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
13 crngring 18758 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
141, 13syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
152ply1ring 19820 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Ring)
1614, 15syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ Ring)
17 evl1varpw.g . . . . . . . 8 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
1817ringmgp 18753 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Mnd)
1916, 18syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
20 evl1varpw.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
21 evl1varpw.x . . . . . . . 8 𝑋 = (var1𝑅)
22 eqid 2760 . . . . . . . 8 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2321, 2, 22vr1cl 19789 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
2414, 23syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
2517, 22mgpbas 18695 . . . . . . 7 (Base‘𝑊) = (Base‘𝐺)
26 evl1varpw.e . . . . . . 7 = (.g𝐺)
2725, 26mulgnn0cl 17759 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑁 𝑋) ∈ (Base‘𝑊))
2819, 20, 24, 27syl3anc 1477 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 𝑋) ∈ (Base‘𝑊))
29 eqid 2760 . . . . . 6 (algSc‘𝑊) = (algSc‘𝑊)
30 eqid 2760 . . . . . 6 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
31 eqid 2760 . . . . . 6 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
32 eqid 2760 . . . . . 6 (.r𝑊) = (.r𝑊)
33 evl1scvarpw.t1 . . . . . 6 × = ( ·𝑠𝑊)
3429, 30, 31, 22, 32, 33asclmul1 19541 . . . . 5 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑁 𝑋) ∈ (Base‘𝑊)) → (((algSc‘𝑊)‘𝐴)(.r𝑊)(𝑁 𝑋)) = (𝐴 × (𝑁 𝑋)))
354, 12, 28, 34syl3anc 1477 . . . 4 (𝜑 → (((algSc‘𝑊)‘𝐴)(.r𝑊)(𝑁 𝑋)) = (𝐴 × (𝑁 𝑋)))
3635eqcomd 2766 . . 3 (𝜑 → (𝐴 × (𝑁 𝑋)) = (((algSc‘𝑊)‘𝐴)(.r𝑊)(𝑁 𝑋)))
3736fveq2d 6356 . 2 (𝜑 → (𝑄‘(𝐴 × (𝑁 𝑋))) = (𝑄‘(((algSc‘𝑊)‘𝐴)(.r𝑊)(𝑁 𝑋))))
38 evl1varpw.q . . . . 5 𝑄 = (eval1𝑅)
39 evl1scvarpw.s . . . . 5 𝑆 = (𝑅s 𝐵)
4038, 2, 39, 6evl1rhm 19898 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑆))
411, 40syl 17 . . 3 (𝜑𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑆))
422ply1lmod 19824 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑊 ∈ LMod)
4314, 42syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
4429, 30, 16, 43, 31, 22asclf 19539 . . . 4 (𝜑 → (algSc‘𝑊):(Base‘(Scalar‘𝑊))⟶(Base‘𝑊))
4544, 12ffvelrnd 6523 . . 3 (𝜑 → ((algSc‘𝑊)‘𝐴) ∈ (Base‘𝑊))
46 evl1scvarpw.t2 . . . 4 = (.r𝑆)
4722, 32, 46rhmmul 18929 . . 3 ((𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑆) ∧ ((algSc‘𝑊)‘𝐴) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑁 𝑋) ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑄‘(((algSc‘𝑊)‘𝐴)(.r𝑊)(𝑁 𝑋))) = ((𝑄‘((algSc‘𝑊)‘𝐴)) (𝑄‘(𝑁 𝑋))))
4841, 45, 28, 47syl3anc 1477 . 2 (𝜑 → (𝑄‘(((algSc‘𝑊)‘𝐴)(.r𝑊)(𝑁 𝑋))) = ((𝑄‘((algSc‘𝑊)‘𝐴)) (𝑄‘(𝑁 𝑋))))
4938, 2, 6, 29evl1sca 19900 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴𝐵) → (𝑄‘((algSc‘𝑊)‘𝐴)) = (𝐵 × {𝐴}))
501, 5, 49syl2anc 696 . . 3 (𝜑 → (𝑄‘((algSc‘𝑊)‘𝐴)) = (𝐵 × {𝐴}))
5138, 2, 17, 21, 6, 26, 1, 20evl1varpw 19927 . . . 4 (𝜑 → (𝑄‘(𝑁 𝑋)) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵)))(𝑄𝑋)))
52 evl1scvarpw.f . . . . . . . 8 𝐹 = (.g𝑀)
53 evl1scvarpw.m . . . . . . . . . 10 𝑀 = (mulGrp‘𝑆)
5439fveq2i 6355 . . . . . . . . . 10 (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘(𝑅s 𝐵))
5553, 54eqtri 2782 . . . . . . . . 9 𝑀 = (mulGrp‘(𝑅s 𝐵))
5655fveq2i 6355 . . . . . . . 8 (.g𝑀) = (.g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵)))
5752, 56eqtri 2782 . . . . . . 7 𝐹 = (.g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵)))
5857a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝐹 = (.g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵))))
5958eqcomd 2766 . . . . 5 (𝜑 → (.g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵))) = 𝐹)
6059oveqd 6830 . . . 4 (𝜑 → (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵)))(𝑄𝑋)) = (𝑁𝐹(𝑄𝑋)))
6151, 60eqtrd 2794 . . 3 (𝜑 → (𝑄‘(𝑁 𝑋)) = (𝑁𝐹(𝑄𝑋)))
6250, 61oveq12d 6831 . 2 (𝜑 → ((𝑄‘((algSc‘𝑊)‘𝐴)) (𝑄‘(𝑁 𝑋))) = ((𝐵 × {𝐴}) (𝑁𝐹(𝑄𝑋))))
6337, 48, 623eqtrd 2798 1 (𝜑 → (𝑄‘(𝐴 × (𝑁 𝑋))) = ((𝐵 × {𝐴}) (𝑁𝐹(𝑄𝑋))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1632  wcel 2139  {csn 4321   × cxp 5264  cfv 6049  (class class class)co 6813  0cn0 11484  Basecbs 16059  .rcmulr 16144  Scalarcsca 16146   ·𝑠 cvsca 16147  s cpws 16309  Mndcmnd 17495  .gcmg 17741  mulGrpcmgp 18689  Ringcrg 18747  CRingccrg 18748   RingHom crh 18914  LModclmod 19065  AssAlgcasa 19511  algSccascl 19513  var1cv1 19748  Poly1cpl1 19749  eval1ce1 19881
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-ofr 7063  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-sup 8513  df-oi 8580  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-seq 12996  df-hash 13312  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-hom 16168  df-cco 16169  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-prds 16310  df-pws 16312  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-mhm 17536  df-submnd 17537  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-sbg 17628  df-mulg 17742  df-subg 17792  df-ghm 17859  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-abl 18396  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-srg 18706  df-ring 18749  df-cring 18750  df-rnghom 18917  df-subrg 18980  df-lmod 19067  df-lss 19135  df-lsp 19174  df-assa 19514  df-asp 19515  df-ascl 19516  df-psr 19558  df-mvr 19559  df-mpl 19560  df-opsr 19562  df-evls 19708  df-evl 19709  df-psr1 19752  df-vr1 19753  df-ply1 19754  df-evls1 19882  df-evl1 19883
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator