Theorem evl1sca 19746

Description: Polynomial evaluation maps scalars to constant functions. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1sca.o	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
evl1sca.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
evl1sca.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1sca.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
evl1sca	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑂‘(𝐴‘𝑋)) = (𝐵 × {𝑋}))

Proof of Theorem evl1sca

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 18604	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
3		evl1sca.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		evl1sca.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
5		evl1sca.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		eqid 2651	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
7	3, 4, 5, 6	ply1sclf 19703	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐴:𝐵⟶(Base‘𝑃))
8	2, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐴:𝐵⟶(Base‘𝑃))
9		ffvelrn 6397	. . . 4 ⊢ ((𝐴:𝐵⟶(Base‘𝑃) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐴‘𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
10	8, 9	sylancom 702	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐴‘𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
11		evl1sca.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
12		eqid 2651	. . . 4 ⊢ (1𝑜 eval 𝑅) = (1𝑜 eval 𝑅)
13		eqid 2651	. . . 4 ⊢ (1𝑜 mPoly 𝑅) = (1𝑜 mPoly 𝑅)
14		eqid 2651	. . . . 5 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
15	3, 14, 6	ply1bas 19613	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
16	11, 12, 5, 13, 15	evl1val 19741	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝐴‘𝑋) ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑂‘(𝐴‘𝑋)) = (((1𝑜 eval 𝑅)‘(𝐴‘𝑋)) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))))
17	10, 16	syldan 486	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑂‘(𝐴‘𝑋)) = (((1𝑜 eval 𝑅)‘(𝐴‘𝑋)) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))))
18	5	ressid 15982	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑅 ↾s 𝐵) = 𝑅)
19	18	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑅 ↾s 𝐵) = 𝑅)
20	19	oveq2d 6706	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (1𝑜 mPoly (𝑅 ↾s 𝐵)) = (1𝑜 mPoly 𝑅))
21	20	fveq2d 6233	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (algSc‘(1𝑜 mPoly (𝑅 ↾s 𝐵))) = (algSc‘(1𝑜 mPoly 𝑅)))
22	3, 4	ply1ascl 19676	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (algSc‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
23	21, 22	syl6reqr 2704	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐴 = (algSc‘(1𝑜 mPoly (𝑅 ↾s 𝐵))))
24	23	fveq1d 6231	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐴‘𝑋) = ((algSc‘(1𝑜 mPoly (𝑅 ↾s 𝐵)))‘𝑋))
25	24	fveq2d 6233	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((1𝑜 eval 𝑅)‘(𝐴‘𝑋)) = ((1𝑜 eval 𝑅)‘((algSc‘(1𝑜 mPoly (𝑅 ↾s 𝐵)))‘𝑋)))
26	12, 5	evlval 19572	. . . . 5 ⊢ (1𝑜 eval 𝑅) = ((1𝑜 evalSub 𝑅)‘𝐵)
27		eqid 2651	. . . . 5 ⊢ (1𝑜 mPoly (𝑅 ↾s 𝐵)) = (1𝑜 mPoly (𝑅 ↾s 𝐵))
28		eqid 2651	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ↾s 𝐵) = (𝑅 ↾s 𝐵)
29		eqid 2651	. . . . 5 ⊢ (algSc‘(1𝑜 mPoly (𝑅 ↾s 𝐵))) = (algSc‘(1𝑜 mPoly (𝑅 ↾s 𝐵)))
30		1on 7612	. . . . . 6 ⊢ 1𝑜 ∈ On
31	30	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 1𝑜 ∈ On)
32		simpl 472	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ CRing)
33	5	subrgid 18830	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅))
34	2, 33	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅))
35		simpr 476	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
36	26, 27, 28, 5, 29, 31, 32, 34, 35	evlssca 19570	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((1𝑜 eval 𝑅)‘((algSc‘(1𝑜 mPoly (𝑅 ↾s 𝐵)))‘𝑋)) = ((𝐵 ↑𝑚 1𝑜) × {𝑋}))
37	25, 36	eqtrd 2685	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((1𝑜 eval 𝑅)‘(𝐴‘𝑋)) = ((𝐵 ↑𝑚 1𝑜) × {𝑋}))
38	37	coeq1d 5316	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (((1𝑜 eval 𝑅)‘(𝐴‘𝑋)) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))) = (((𝐵 ↑𝑚 1𝑜) × {𝑋}) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))))
39		df1o2 7617	. . . . . . 7 ⊢ 1𝑜 = {∅}
40		fvex 6239	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
41	5, 40	eqeltri 2726	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ V
42		0ex 4823	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
43		eqid 2651	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦})) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))
44	39, 41, 42, 43	mapsnf1o3 7948	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦})):𝐵–1-1-onto→(𝐵 ↑𝑚 1𝑜)
45		f1of 6175	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦})):𝐵–1-1-onto→(𝐵 ↑𝑚 1𝑜) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦})):𝐵⟶(𝐵 ↑𝑚 1𝑜))
46	44, 45	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦})):𝐵⟶(𝐵 ↑𝑚 1𝑜))
47	43	fmpt 6421	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 (1𝑜 × {𝑦}) ∈ (𝐵 ↑𝑚 1𝑜) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦})):𝐵⟶(𝐵 ↑𝑚 1𝑜))
48	46, 47	sylibr 224	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 (1𝑜 × {𝑦}) ∈ (𝐵 ↑𝑚 1𝑜))
49		eqidd 2652	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦})) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦})))
50		fconstmpt 5197	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ↑𝑚 1𝑜) × {𝑋}) = (𝑥 ∈ (𝐵 ↑𝑚 1𝑜) ↦ 𝑋)
51	50	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝐵 ↑𝑚 1𝑜) × {𝑋}) = (𝑥 ∈ (𝐵 ↑𝑚 1𝑜) ↦ 𝑋))
52		eqidd 2652	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (1𝑜 × {𝑦}) → 𝑋 = 𝑋)
53	48, 49, 51, 52	fmptcof 6437	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (((𝐵 ↑𝑚 1𝑜) × {𝑋}) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋))
54		fconstmpt 5197	. . 3 ⊢ (𝐵 × {𝑋}) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)
55	53, 54	syl6eqr 2703	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (((𝐵 ↑𝑚 1𝑜) × {𝑋}) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))) = (𝐵 × {𝑋}))
56	17, 38, 55	3eqtrd 2689	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑂‘(𝐴‘𝑋)) = (𝐵 × {𝑋}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941  Vcvv 3231  ∅c0 3948  {csn 4210   ↦ cmpt 4762   × cxp 5141   ∘ ccom 5147  Oncon0 5761  ⟶wf 5922  –1-1-onto→wf1o 5925  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  1_𝑜c1o 7598   ↑_𝑚 cmap 7899  Basecbs 15904   ↾_s cress 15905  Ringcrg 18593  CRingccrg 18594  SubRingcsubrg 18824  algSccascl 19359   mPoly cmpl 19401   eval cevl 19553  PwSer₁cps1 19593  Poly₁cpl1 19595  eval₁ce1 19727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-ofr 6940  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-sup 8389  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-hom 16013  df-cco 16014  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-prds 16155  df-pws 16157  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-ghm 17705  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-srg 18552  df-ring 18595  df-cring 18596  df-rnghom 18763  df-subrg 18826  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-lsp 19020  df-assa 19360  df-asp 19361  df-ascl 19362  df-psr 19404  df-mvr 19405  df-mpl 19406  df-opsr 19408  df-evls 19554  df-evl 19555  df-psr1 19598  df-ply1 19600  df-evl1 19729

This theorem is referenced by:  evl1scad  19747  pf1const  19758  pf1ind  19767  evl1scvarpw  19775  ply1rem  23968  fta1g  23972  fta1blem  23973  plypf1  24013