Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1gsummul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evl1gsummul 19946
 Description: Univariate polynomial evaluation maps (multiplicative) group sums to group sums. (Contributed by AV, 15-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1gsummul.1 1 = (1r𝑊)
evl1gsummul.g 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
evl1gsummul.h 𝐻 = (mulGrp‘𝑃)
evl1gsummul.f (𝜑 → (𝑥𝑁𝑌) finSupp 1 )
Assertion
Ref Expression
evl1gsummul (𝜑 → (𝑄‘(𝐺 Σg (𝑥𝑁𝑌))) = (𝐻 Σg (𝑥𝑁 ↦ (𝑄𝑌))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁   𝑥,𝑄   𝑥,𝑅   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   1 (𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem evl1gsummul
StepHypRef Expression
1 evl1gsummul.g . . . 4 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
2 evl1gsumadd.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑊)
31, 2mgpbas 18715 . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
4 evl1gsummul.1 . . . 4 1 = (1r𝑊)
51, 4ringidval 18723 . . 3 1 = (0g𝐺)
6 evl1gsumadd.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
7 evl1gsumadd.w . . . . 5 𝑊 = (Poly1𝑅)
87ply1crng 19790 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → 𝑊 ∈ CRing)
91crngmgp 18775 . . . 4 (𝑊 ∈ CRing → 𝐺 ∈ CMnd)
106, 8, 93syl 18 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
11 crngring 18778 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
126, 11syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
13 evl1gsumadd.k . . . . . 6 𝐾 = (Base‘𝑅)
14 fvex 6363 . . . . . 6 (Base‘𝑅) ∈ V
1513, 14eqeltri 2835 . . . . 5 𝐾 ∈ V
1612, 15jctir 562 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ V))
17 evl1gsumadd.p . . . . 5 𝑃 = (𝑅s 𝐾)
1817pwsring 18835 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ V) → 𝑃 ∈ Ring)
19 evl1gsummul.h . . . . 5 𝐻 = (mulGrp‘𝑃)
2019ringmgp 18773 . . . 4 (𝑃 ∈ Ring → 𝐻 ∈ Mnd)
2116, 18, 203syl 18 . . 3 (𝜑𝐻 ∈ Mnd)
22 nn0ex 11510 . . . . 5 0 ∈ V
2322a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
24 evl1gsumadd.n . . . 4 (𝜑𝑁 ⊆ ℕ0)
2523, 24ssexd 4957 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ V)
26 evl1gsumadd.q . . . . 5 𝑄 = (eval1𝑅)
2726, 7, 17, 13evl1rhm 19918 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑃))
281, 19rhmmhm 18944 . . . 4 (𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑃) → 𝑄 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
296, 27, 283syl 18 . . 3 (𝜑𝑄 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
30 evl1gsumadd.y . . 3 ((𝜑𝑥𝑁) → 𝑌𝐵)
31 evl1gsummul.f . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑁𝑌) finSupp 1 )
323, 5, 10, 21, 25, 29, 30, 31gsummptmhm 18560 . 2 (𝜑 → (𝐻 Σg (𝑥𝑁 ↦ (𝑄𝑌))) = (𝑄‘(𝐺 Σg (𝑥𝑁𝑌))))
3332eqcomd 2766 1 (𝜑 → (𝑄‘(𝐺 Σg (𝑥𝑁𝑌))) = (𝐻 Σg (𝑥𝑁 ↦ (𝑄𝑌))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  Vcvv 3340   ⊆ wss 3715   class class class wbr 4804   ↦ cmpt 4881  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814   finSupp cfsupp 8442  ℕ0cn0 11504  Basecbs 16079   Σg cgsu 16323   ↑s cpws 16329  Mndcmnd 17515   MndHom cmhm 17554  CMndccmn 18413  mulGrpcmgp 18709  1rcur 18721  Ringcrg 18767  CRingccrg 18768   RingHom crh 18934  Poly1cpl1 19769  eval1ce1 19901 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-ofr 7064  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-supp 7465  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-ixp 8077  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fsupp 8443  df-sup 8515  df-oi 8582  df-card 8975  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-seq 13016  df-hash 13332  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-ip 16181  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-hom 16188  df-cco 16189  df-0g 16324  df-gsum 16325  df-prds 16330  df-pws 16332  df-mre 16468  df-mrc 16469  df-acs 16471  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-mhm 17556  df-submnd 17557  df-grp 17646  df-minusg 17647  df-sbg 17648  df-mulg 17762  df-subg 17812  df-ghm 17879  df-cntz 17970  df-cmn 18415  df-abl 18416  df-mgp 18710  df-ur 18722  df-srg 18726  df-ring 18769  df-cring 18770  df-rnghom 18937  df-subrg 19000  df-lmod 19087  df-lss 19155  df-lsp 19194  df-assa 19534  df-asp 19535  df-ascl 19536  df-psr 19578  df-mvr 19579  df-mpl 19580  df-opsr 19582  df-evls 19728  df-evl 19729  df-psr1 19772  df-ply1 19774  df-evl1 19903 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator