Theorem evensumeven 42144

Description: If a summand is even, the other summand is even iff the sum is even. (Contributed by AV, 21-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
evensumeven	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ Even ) → (𝐴 ∈ Even ↔ (𝐴 + 𝐵) ∈ Even ))

Proof of Theorem evensumeven

Step	Hyp	Ref	Expression
1		epee 42142	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Even ∧ 𝐵 ∈ Even ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ Even )
2	1	expcom 398	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ Even → (𝐴 ∈ Even → (𝐴 + 𝐵) ∈ Even ))
3	2	adantl 467	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ Even ) → (𝐴 ∈ Even → (𝐴 + 𝐵) ∈ Even ))
4		zcn 11584	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
5		evenz 42071	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ Even → 𝐵 ∈ ℤ)
6	5	zcnd 11685	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Even → 𝐵 ∈ ℂ)
7		pncan 10489	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
8	4, 6, 7	syl2an 583	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ Even ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
9	8	adantr 466	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ Even ) ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ Even ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
10		simpr 471	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ Even ) → 𝐵 ∈ Even )
11	10	anim1i 602	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ Even ) ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ Even ) → (𝐵 ∈ Even ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ Even ))
12	11	ancomd 453	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ Even ) ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ Even ) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ Even ∧ 𝐵 ∈ Even ))
13		emee 42143	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ Even ∧ 𝐵 ∈ Even ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) ∈ Even )
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ Even ) ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ Even ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) ∈ Even )
15	9, 14	eqeltrrd 2851	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ Even ) ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ Even ) → 𝐴 ∈ Even )
16	15	ex 397	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ Even ) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ Even → 𝐴 ∈ Even ))
17	3, 16	impbid 202	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ Even ) → (𝐴 ∈ Even ↔ (𝐴 + 𝐵) ∈ Even ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  (class class class)co 6793  ℂcc 10136   + caddc 10141   − cmin 10468  ℤcz 11579   Even ceven 42065

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-n0 11495  df-z 11580  df-even 42067  df-odd 42068

This theorem is referenced by:  sbgoldbaltlem1  42195