Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evennn2n Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evennn2n 15122
 Description: A positive integer is even iff it is twice another positive integer. (Contributed by AV, 12-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
evennn2n (𝑁 ∈ ℕ → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (2 · 𝑛) = 𝑁))
Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Proof of Theorem evennn2n
StepHypRef Expression
1 eleq1 2718 . . . . . . . 8 ((2 · 𝑛) = 𝑁 → ((2 · 𝑛) ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ ℕ))
2 simpr 476 . . . . . . . . . 10 (((2 · 𝑛) ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℤ)
3 2re 11128 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
43a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((2 · 𝑛) ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℝ)
5 zre 11419 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℝ)
65adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((2 · 𝑛) ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℝ)
7 0le2 11149 . . . . . . . . . . . 12 0 ≤ 2
87a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((2 · 𝑛) ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 0 ≤ 2)
9 nngt0 11087 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · 𝑛) ∈ ℕ → 0 < (2 · 𝑛))
109adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((2 · 𝑛) ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 0 < (2 · 𝑛))
11 prodgt0 10906 . . . . . . . . . . 11 (((2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 0 < (2 · 𝑛))) → 0 < 𝑛)
124, 6, 8, 10, 11syl22anc 1367 . . . . . . . . . 10 (((2 · 𝑛) ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 0 < 𝑛)
13 elnnz 11425 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑛))
142, 12, 13sylanbrc 699 . . . . . . . . 9 (((2 · 𝑛) ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℕ)
1514ex 449 . . . . . . . 8 ((2 · 𝑛) ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℕ))
161, 15syl6bir 244 . . . . . . 7 ((2 · 𝑛) = 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℕ)))
1716com13 88 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) = 𝑁𝑛 ∈ ℕ)))
1817impcom 445 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑛) = 𝑁𝑛 ∈ ℕ))
1918pm4.71rd 668 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑛) = 𝑁 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (2 · 𝑛) = 𝑁)))
2019bicomd 213 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (2 · 𝑛) = 𝑁) ↔ (2 · 𝑛) = 𝑁))
2120rexbidva 3078 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (2 · 𝑛) = 𝑁) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (2 · 𝑛) = 𝑁))
22 nnssz 11435 . . 3 ℕ ⊆ ℤ
23 rexss 3702 . . 3 (ℕ ⊆ ℤ → (∃𝑛 ∈ ℕ (2 · 𝑛) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (2 · 𝑛) = 𝑁)))
2422, 23mp1i 13 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (∃𝑛 ∈ ℕ (2 · 𝑛) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (2 · 𝑛) = 𝑁)))
25 even2n 15113 . . 3 (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (2 · 𝑛) = 𝑁)
2625a1i 11 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (2 · 𝑛) = 𝑁))
2721, 24, 263bitr4rd 301 1 (𝑁 ∈ ℕ → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (2 · 𝑛) = 𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∃wrex 2942   ⊆ wss 3607   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  ℝcr 9973  0cc0 9974   · cmul 9979   < clt 10112   ≤ cle 10113  ℕcn 11058  2c2 11108  ℤcz 11415   ∥ cdvds 15027 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-dvds 15028 This theorem is referenced by:  lighneallem2  41848
 Copyright terms: Public domain W3C validator