MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  even2n Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem even2n 15274
Description: An integer is even iff it is twice another integer. (Contributed by AV, 25-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
even2n (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (2 · 𝑛) = 𝑁)
Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Proof of Theorem even2n
StepHypRef Expression
1 evenelz 15268 . 2 (2 ∥ 𝑁𝑁 ∈ ℤ)
2 2z 11616 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
32a1i 11 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
4 id 22 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℤ)
53, 4zmulcld 11695 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
65adantr 466 . . . 4 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑛) = 𝑁) → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
7 eleq1 2838 . . . . 5 ((2 · 𝑛) = 𝑁 → ((2 · 𝑛) ∈ ℤ ↔ 𝑁 ∈ ℤ))
87adantl 467 . . . 4 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑛) = 𝑁) → ((2 · 𝑛) ∈ ℤ ↔ 𝑁 ∈ ℤ))
96, 8mpbid 222 . . 3 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑛) = 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
109rexlimiva 3176 . 2 (∃𝑛 ∈ ℤ (2 · 𝑛) = 𝑁𝑁 ∈ ℤ)
11 divides 15191 . . . 4 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝑁))
12 zcn 11589 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
13 2cnd 11299 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
1412, 13mulcomd 10267 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 · 2) = (2 · 𝑛))
1514eqeq1d 2773 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℤ → ((𝑛 · 2) = 𝑁 ↔ (2 · 𝑛) = 𝑁))
1615rexbiia 3188 . . . 4 (∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (2 · 𝑛) = 𝑁)
1711, 16syl6bb 276 . . 3 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (2 · 𝑛) = 𝑁))
182, 17mpan 670 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (2 · 𝑛) = 𝑁))
191, 10, 18pm5.21nii 367 1 (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (2 · 𝑛) = 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wrex 3062   class class class wbr 4787  (class class class)co 6796   · cmul 10147  2c2 11276  cz 11584  cdvds 15189
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-n0 11500  df-z 11585  df-dvds 15190
This theorem is referenced by:  evennn02n  15282  evennn2n  15283  m1expe  15299
  Copyright terms: Public domain W3C validator