Theorem eupthvdres 27213

Description: Formerly part of proof of eupth2 27217: The vertex degree remains the same for all vertices if the edges are restricted to the edges of an Eulerian path. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2015.) (Revised by AV, 26-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
eupthvdres.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
eupthvdres.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
eupthvdres.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
eupthvdres.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
eupthvdres.p	⊢ (𝜑 → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
eupthvdres.h	⊢ 𝐻 = ⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹))))⟩

Assertion

Ref	Expression
eupthvdres	⊢ (𝜑 → (VtxDeg‘𝐻) = (VtxDeg‘𝐺))

Proof of Theorem eupthvdres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eupthvdres.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
2		eupthvdres.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = ⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹))))⟩
3		opex 4962	. . . 4 ⊢ ⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹))))⟩ ∈ V
4	2, 3	eqeltri 2726	. . 3 ⊢ 𝐻 ∈ V
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ V)
6	2	fveq2i 6232	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐻) = (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹))))⟩)
7		eupthvdres.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
8		fvex 6239	. . . . . . . 8 ⊢ (Vtx‘𝐺) ∈ V
9	7, 8	eqeltri 2726	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 ∈ V
10		eupthvdres.i	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
11		fvex 6239	. . . . . . . . 9 ⊢ (iEdg‘𝐺) ∈ V
12	10, 11	eqeltri 2726	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 ∈ V
13	12	resex 5478	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹)))) ∈ V
14	9, 13	pm3.2i 470	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ V ∧ (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹)))) ∈ V)
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ V ∧ (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹)))) ∈ V))
16		opvtxfv 25929	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹)))) ∈ V) → (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹))))⟩) = 𝑉)
17	15, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹))))⟩) = 𝑉)
18	6, 17	syl5eq 2697	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐻) = 𝑉)
19	18, 7	syl6eq 2701	. 2 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐻) = (Vtx‘𝐺))
20	2	fveq2i 6232	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐻) = (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹))))⟩)
21		opiedgfv 25932	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹)))) ∈ V) → (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹))))⟩) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹)))))
22	15, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹))))⟩) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹)))))
23	20, 22	syl5eq 2697	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐻) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹)))))
24		eupthvdres.p	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
25	10	eupthf1o 27182	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 → 𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼)
26	24, 25	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼)
27		f1ofo 6182	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼 → 𝐹:(0..^(#‘𝐹))–onto→dom 𝐼)
28		foima 6158	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:(0..^(#‘𝐹))–onto→dom 𝐼 → (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹))) = dom 𝐼)
29	26, 27, 28	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹))) = dom 𝐼)
30	29	reseq2d 5428	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹)))) = (𝐼 ↾ dom 𝐼))
31		eupthvdres.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
32		funfn 5956	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝐼 ↔ 𝐼 Fn dom 𝐼)
33	31, 32	sylib 208	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 Fn dom 𝐼)
34		fnresdm 6038	. . . . 5 ⊢ (𝐼 Fn dom 𝐼 → (𝐼 ↾ dom 𝐼) = 𝐼)
35	33, 34	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ↾ dom 𝐼) = 𝐼)
36	23, 30, 35	3eqtrd 2689	. . 3 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐻) = 𝐼)
37	36, 10	syl6eq 2701	. 2 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐻) = (iEdg‘𝐺))
38	1, 5, 19, 37	vtxdeqd 26429	1 ⊢ (𝜑 → (VtxDeg‘𝐻) = (VtxDeg‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  Vcvv 3231  ⟨cop 4216   class class class wbr 4685  dom cdm 5143   ↾ cres 5145   “ cima 5146  Fun wfun 5920   Fn wfn 5921  –onto→wfo 5924  –1-1-onto→wf1o 5925  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  0cc0 9974  ..^cfzo 12504  #chash 13157  Vtxcvtx 25919  iEdgciedg 25920  VtxDegcvtxdg 26417  EulerPathsceupth 27175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1033  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-hash 13158  df-word 13331  df-vtx 25921  df-iedg 25922  df-vtxdg 26418  df-wlks 26551  df-trls 26645  df-eupth 27176

This theorem is referenced by:  eupth2  27217