MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eupthvdres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eupthvdres 27213
Description: Formerly part of proof of eupth2 27217: The vertex degree remains the same for all vertices if the edges are restricted to the edges of an Eulerian path. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2015.) (Revised by AV, 26-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
eupthvdres.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
eupthvdres.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
eupthvdres.g (𝜑𝐺𝑊)
eupthvdres.f (𝜑 → Fun 𝐼)
eupthvdres.p (𝜑𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
eupthvdres.h 𝐻 = ⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹))))⟩
Assertion
Ref Expression
eupthvdres (𝜑 → (VtxDeg‘𝐻) = (VtxDeg‘𝐺))

Proof of Theorem eupthvdres
StepHypRef Expression
1 eupthvdres.g . 2 (𝜑𝐺𝑊)
2 eupthvdres.h . . . 4 𝐻 = ⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹))))⟩
3 opex 4962 . . . 4 𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹))))⟩ ∈ V
42, 3eqeltri 2726 . . 3 𝐻 ∈ V
54a1i 11 . 2 (𝜑𝐻 ∈ V)
62fveq2i 6232 . . . 4 (Vtx‘𝐻) = (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹))))⟩)
7 eupthvdres.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
8 fvex 6239 . . . . . . . 8 (Vtx‘𝐺) ∈ V
97, 8eqeltri 2726 . . . . . . 7 𝑉 ∈ V
10 eupthvdres.i . . . . . . . . 9 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
11 fvex 6239 . . . . . . . . 9 (iEdg‘𝐺) ∈ V
1210, 11eqeltri 2726 . . . . . . . 8 𝐼 ∈ V
1312resex 5478 . . . . . . 7 (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹)))) ∈ V
149, 13pm3.2i 470 . . . . . 6 (𝑉 ∈ V ∧ (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹)))) ∈ V)
1514a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑉 ∈ V ∧ (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹)))) ∈ V))
16 opvtxfv 25929 . . . . 5 ((𝑉 ∈ V ∧ (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹)))) ∈ V) → (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹))))⟩) = 𝑉)
1715, 16syl 17 . . . 4 (𝜑 → (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹))))⟩) = 𝑉)
186, 17syl5eq 2697 . . 3 (𝜑 → (Vtx‘𝐻) = 𝑉)
1918, 7syl6eq 2701 . 2 (𝜑 → (Vtx‘𝐻) = (Vtx‘𝐺))
202fveq2i 6232 . . . . 5 (iEdg‘𝐻) = (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹))))⟩)
21 opiedgfv 25932 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ V ∧ (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹)))) ∈ V) → (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹))))⟩) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹)))))
2215, 21syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹))))⟩) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹)))))
2320, 22syl5eq 2697 . . . 4 (𝜑 → (iEdg‘𝐻) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹)))))
24 eupthvdres.p . . . . . . 7 (𝜑𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
2510eupthf1o 27182 . . . . . . 7 (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼)
2624, 25syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼)
27 f1ofo 6182 . . . . . 6 (𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼𝐹:(0..^(#‘𝐹))–onto→dom 𝐼)
28 foima 6158 . . . . . 6 (𝐹:(0..^(#‘𝐹))–onto→dom 𝐼 → (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹))) = dom 𝐼)
2926, 27, 283syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹))) = dom 𝐼)
3029reseq2d 5428 . . . 4 (𝜑 → (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹)))) = (𝐼 ↾ dom 𝐼))
31 eupthvdres.f . . . . . 6 (𝜑 → Fun 𝐼)
32 funfn 5956 . . . . . 6 (Fun 𝐼𝐼 Fn dom 𝐼)
3331, 32sylib 208 . . . . 5 (𝜑𝐼 Fn dom 𝐼)
34 fnresdm 6038 . . . . 5 (𝐼 Fn dom 𝐼 → (𝐼 ↾ dom 𝐼) = 𝐼)
3533, 34syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐼 ↾ dom 𝐼) = 𝐼)
3623, 30, 353eqtrd 2689 . . 3 (𝜑 → (iEdg‘𝐻) = 𝐼)
3736, 10syl6eq 2701 . 2 (𝜑 → (iEdg‘𝐻) = (iEdg‘𝐺))
381, 5, 19, 37vtxdeqd 26429 1 (𝜑 → (VtxDeg‘𝐻) = (VtxDeg‘𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  Vcvv 3231  cop 4216   class class class wbr 4685  dom cdm 5143  cres 5145  cima 5146  Fun wfun 5920   Fn wfn 5921  ontowfo 5924  1-1-ontowf1o 5925  cfv 5926  (class class class)co 6690  0cc0 9974  ..^cfzo 12504  #chash 13157  Vtxcvtx 25919  iEdgciedg 25920  VtxDegcvtxdg 26417  EulerPathsceupth 27175
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1033  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-hash 13158  df-word 13331  df-vtx 25921  df-iedg 25922  df-vtxdg 26418  df-wlks 26551  df-trls 26645  df-eupth 27176
This theorem is referenced by:  eupth2  27217
  Copyright terms: Public domain W3C validator