Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eupthseg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eupthseg 27386
 Description: The 𝑁-th edge in an eulerian path is the edge having 𝑃(𝑁) and 𝑃(𝑁 + 1) as endpoints . (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by AV, 18-Feb-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
eupths.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
eupthseg ((𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → {(𝑃𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑁)))

Proof of Theorem eupthseg
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eupths.i . . . . 5 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
21eupthi 27383 . . . 4 (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼))
32simpld 482 . . 3 (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
41wlkvtxeledg 26754 . . 3 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘)))
5 fveq2 6332 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑁 → (𝑃𝑘) = (𝑃𝑁))
6 fvoveq1 6816 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑁 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘(𝑁 + 1)))
75, 6preq12d 4412 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑁 → {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))})
8 fveq2 6332 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑁 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑁))
98fveq2d 6336 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑁 → (𝐼‘(𝐹𝑘)) = (𝐼‘(𝐹𝑁)))
107, 9sseq12d 3783 . . . . 5 (𝑘 = 𝑁 → ({(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘)) ↔ {(𝑃𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑁))))
1110rspcva 3458 . . . 4 ((𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))) → {(𝑃𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑁)))
1211expcom 398 . . 3 (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘)) → (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → {(𝑃𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑁))))
133, 4, 123syl 18 . 2 (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 → (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → {(𝑃𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑁))))
1413imp 393 1 ((𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → {(𝑃𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑁)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ∀wral 3061   ⊆ wss 3723  {cpr 4318   class class class wbr 4786  dom cdm 5249  –1-1-onto→wf1o 6030  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141  ..^cfzo 12673  ♯chash 13321  iEdgciedg 26096  Walkscwlks 26727  EulerPathsceupth 27377 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-ifp 1050  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-hash 13322  df-word 13495  df-wlks 26730  df-trls 26824  df-eupth 27378 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator