Theorem eupthseg 27386

Description: The 𝑁-th edge in an eulerian path is the edge having 𝑃(𝑁) and 𝑃(𝑁 + 1) as endpoints . (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by AV, 18-Feb-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
eupths.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
eupthseg	⊢ ((𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)))

Proof of Theorem eupthseg

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eupths.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2	1	eupthi 27383	. . . 4 ⊢ (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼))
3	2	simpld 482	. . 3 ⊢ (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
4	1	wlkvtxeledg 26754	. . 3 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
5		fveq2 6332	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘𝑁))
6		fvoveq1 6816	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘(𝑁 + 1)))
7	5, 6	preq12d 4412	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))})
8		fveq2 6332	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑁))
9	8	fveq2d 6336	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = (𝐼‘(𝐹‘𝑁)))
10	7, 9	sseq12d 3783	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ↔ {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))))
11	10	rspcva 3458	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) → {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)))
12	11	expcom 398	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) → (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))))
13	3, 4, 12	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 → (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁))))
14	13	imp 393	1 ⊢ ((𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → {(𝑃‘𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ∀wral 3061   ⊆ wss 3723  {cpr 4318   class class class wbr 4786  dom cdm 5249  –1-1-onto→wf1o 6030  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141  ..^cfzo 12673  ♯chash 13321  iEdgciedg 26096  Walkscwlks 26727  EulerPathsceupth 27377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-ifp 1050  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-hash 13322  df-word 13495  df-wlks 26730  df-trls 26824  df-eupth 27378

This theorem is referenced by: (None)