Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eupths Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eupths 27178
 Description: The Eulerian paths on the graph 𝐺. (Contributed by AV, 18-Feb-2021.) (Revised by AV, 29-Oct-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
eupths.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
eupths (EulerPaths‘𝐺) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Trails‘𝐺)𝑝𝑓:(0..^(#‘𝑓))–onto→dom 𝐼)}
Distinct variable group:   𝑓,𝐺,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐼(𝑓,𝑝)

Proof of Theorem eupths
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝐺 → (iEdg‘𝑔) = (iEdg‘𝐺))
2 eupths.i . . . . . . 7 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
31, 2syl6eqr 2703 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐺 → (iEdg‘𝑔) = 𝐼)
43dmeqd 5358 . . . . 5 (𝑔 = 𝐺 → dom (iEdg‘𝑔) = dom 𝐼)
5 foeq3 6151 . . . . 5 (dom (iEdg‘𝑔) = dom 𝐼 → (𝑓:(0..^(#‘𝑓))–onto→dom (iEdg‘𝑔) ↔ 𝑓:(0..^(#‘𝑓))–onto→dom 𝐼))
64, 5syl 17 . . . 4 (𝑔 = 𝐺 → (𝑓:(0..^(#‘𝑓))–onto→dom (iEdg‘𝑔) ↔ 𝑓:(0..^(#‘𝑓))–onto→dom 𝐼))
76adantl 481 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑔 = 𝐺) → (𝑓:(0..^(#‘𝑓))–onto→dom (iEdg‘𝑔) ↔ 𝑓:(0..^(#‘𝑓))–onto→dom 𝐼))
8 wksv 26571 . . . . 5 {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ 𝑓(Walks‘𝐺)𝑝} ∈ V
9 trliswlk 26650 . . . . . 6 (𝑓(Trails‘𝐺)𝑝𝑓(Walks‘𝐺)𝑝)
109ssopab2i 5032 . . . . 5 {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ 𝑓(Trails‘𝐺)𝑝} ⊆ {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ 𝑓(Walks‘𝐺)𝑝}
118, 10ssexi 4836 . . . 4 {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ 𝑓(Trails‘𝐺)𝑝} ∈ V
1211a1i 11 . . 3 (⊤ → {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ 𝑓(Trails‘𝐺)𝑝} ∈ V)
13 df-eupth 27176 . . 3 EulerPaths = (𝑔 ∈ V ↦ {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Trails‘𝑔)𝑝𝑓:(0..^(#‘𝑓))–onto→dom (iEdg‘𝑔))})
147, 12, 13fvmptopab 6739 . 2 (⊤ → (EulerPaths‘𝐺) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Trails‘𝐺)𝑝𝑓:(0..^(#‘𝑓))–onto→dom 𝐼)})
1514trud 1533 1 (EulerPaths‘𝐺) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Trails‘𝐺)𝑝𝑓:(0..^(#‘𝑓))–onto→dom 𝐼)}
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523  ⊤wtru 1524   ∈ wcel 2030  Vcvv 3231   class class class wbr 4685  {copab 4745  dom cdm 5143  –onto→wfo 5924  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  0cc0 9974  ..^cfzo 12504  #chash 13157  iEdgciedg 25920  Walkscwlks 26548  Trailsctrls 26643  EulerPathsceupth 27175 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1033  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-hash 13158  df-word 13331  df-wlks 26551  df-trls 26645  df-eupth 27176 This theorem is referenced by:  iseupth  27179
 Copyright terms: Public domain W3C validator