MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eupthp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eupthp1 27366
Description: Append one path segment to an Eulerian path 𝐹, 𝑃 to become an Eulerian path 𝐻, 𝑄 of the supergraph 𝑆 obtained by adding the new edge to the graph 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.) (Revised by AV, 7-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
eupthp1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
eupthp1.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
eupthp1.f (𝜑 → Fun 𝐼)
eupthp1.a (𝜑𝐼 ∈ Fin)
eupthp1.b (𝜑𝐵 ∈ V)
eupthp1.c (𝜑𝐶𝑉)
eupthp1.d (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
eupthp1.p (𝜑𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
eupthp1.n 𝑁 = (♯‘𝐹)
eupthp1.e (𝜑𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))
eupthp1.x (𝜑 → {(𝑃𝑁), 𝐶} ⊆ 𝐸)
eupthp1.u (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})
eupthp1.h 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
eupthp1.q 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
eupthp1.s (Vtx‘𝑆) = 𝑉
eupthp1.l ((𝜑𝐶 = (𝑃𝑁)) → 𝐸 = {𝐶})
Assertion
Ref Expression
eupthp1 (𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄)

Proof of Theorem eupthp1
StepHypRef Expression
1 eupthp1.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 eupthp1.i . . 3 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3 eupthp1.f . . 3 (𝜑 → Fun 𝐼)
4 eupthp1.a . . 3 (𝜑𝐼 ∈ Fin)
5 eupthp1.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ V)
6 eupthp1.c . . 3 (𝜑𝐶𝑉)
7 eupthp1.d . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
8 eupthp1.p . . . 4 (𝜑𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
9 eupthiswlk 27362 . . . 4 (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
108, 9syl 17 . . 3 (𝜑𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
11 eupthp1.n . . 3 𝑁 = (♯‘𝐹)
12 eupthp1.e . . 3 (𝜑𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))
13 eupthp1.x . . 3 (𝜑 → {(𝑃𝑁), 𝐶} ⊆ 𝐸)
14 eupthp1.u . . . 4 (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})
1514a1i 11 . . 3 (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
16 eupthp1.h . . 3 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
17 eupthp1.q . . 3 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
18 eupthp1.s . . . 4 (Vtx‘𝑆) = 𝑉
1918a1i 11 . . 3 (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)
20 eupthp1.l . . 3 ((𝜑𝐶 = (𝑃𝑁)) → 𝐸 = {𝐶})
211, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20wlkp1 26786 . 2 (𝜑𝐻(Walks‘𝑆)𝑄)
222eupthi 27353 . . . . 5 (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼))
2311eqcomi 2767 . . . . . . . . 9 (♯‘𝐹) = 𝑁
2423oveq2i 6822 . . . . . . . 8 (0..^(♯‘𝐹)) = (0..^𝑁)
25 f1oeq2 6287 . . . . . . . 8 ((0..^(♯‘𝐹)) = (0..^𝑁) → (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼𝐹:(0..^𝑁)–1-1-onto→dom 𝐼))
2624, 25ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼𝐹:(0..^𝑁)–1-1-onto→dom 𝐼)
2726biimpi 206 . . . . . 6 (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼𝐹:(0..^𝑁)–1-1-onto→dom 𝐼)
2827adantl 473 . . . . 5 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼) → 𝐹:(0..^𝑁)–1-1-onto→dom 𝐼)
298, 22, 283syl 18 . . . 4 (𝜑𝐹:(0..^𝑁)–1-1-onto→dom 𝐼)
30 fvex 6360 . . . . . . 7 (♯‘𝐹) ∈ V
3111, 30eqeltri 2833 . . . . . 6 𝑁 ∈ V
32 f1osng 6336 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → {⟨𝑁, 𝐵⟩}:{𝑁}–1-1-onto→{𝐵})
3331, 5, 32sylancr 698 . . . . 5 (𝜑 → {⟨𝑁, 𝐵⟩}:{𝑁}–1-1-onto→{𝐵})
34 dmsnopg 5763 . . . . . . 7 (𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) → dom {⟨𝐵, 𝐸⟩} = {𝐵})
3512, 34syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → dom {⟨𝐵, 𝐸⟩} = {𝐵})
3635f1oeq3d 6293 . . . . 5 (𝜑 → ({⟨𝑁, 𝐵⟩}:{𝑁}–1-1-onto→dom {⟨𝐵, 𝐸⟩} ↔ {⟨𝑁, 𝐵⟩}:{𝑁}–1-1-onto→{𝐵}))
3733, 36mpbird 247 . . . 4 (𝜑 → {⟨𝑁, 𝐵⟩}:{𝑁}–1-1-onto→dom {⟨𝐵, 𝐸⟩})
38 fzodisjsn 12698 . . . . 5 ((0..^𝑁) ∩ {𝑁}) = ∅
3938a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ((0..^𝑁) ∩ {𝑁}) = ∅)
4035ineq2d 3955 . . . . 5 (𝜑 → (dom 𝐼 ∩ dom {⟨𝐵, 𝐸⟩}) = (dom 𝐼 ∩ {𝐵}))
41 disjsn 4388 . . . . . 6 ((dom 𝐼 ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
427, 41sylibr 224 . . . . 5 (𝜑 → (dom 𝐼 ∩ {𝐵}) = ∅)
4340, 42eqtrd 2792 . . . 4 (𝜑 → (dom 𝐼 ∩ dom {⟨𝐵, 𝐸⟩}) = ∅)
44 f1oun 6315 . . . 4 (((𝐹:(0..^𝑁)–1-1-onto→dom 𝐼 ∧ {⟨𝑁, 𝐵⟩}:{𝑁}–1-1-onto→dom {⟨𝐵, 𝐸⟩}) ∧ (((0..^𝑁) ∩ {𝑁}) = ∅ ∧ (dom 𝐼 ∩ dom {⟨𝐵, 𝐸⟩}) = ∅)) → (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩}):((0..^𝑁) ∪ {𝑁})–1-1-onto→(dom 𝐼 ∪ dom {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
4529, 37, 39, 43, 44syl22anc 1478 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩}):((0..^𝑁) ∪ {𝑁})–1-1-onto→(dom 𝐼 ∪ dom {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
4616a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩}))
471, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 15, 16wlkp1lem2 26779 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐻) = (𝑁 + 1))
4847oveq2d 6827 . . . . 5 (𝜑 → (0..^(♯‘𝐻)) = (0..^(𝑁 + 1)))
49 wlkcl 26719 . . . . . . . 8 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
5011eleq1i 2828 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
51 elnn0uz 11916 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘0))
5250, 51sylbb1 227 . . . . . . . 8 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘0))
5349, 52syl 17 . . . . . . 7 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑁 ∈ (ℤ‘0))
548, 9, 533syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘0))
55 fzosplitsn 12768 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘0) → (0..^(𝑁 + 1)) = ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}))
5654, 55syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (0..^(𝑁 + 1)) = ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}))
5748, 56eqtrd 2792 . . . 4 (𝜑 → (0..^(♯‘𝐻)) = ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}))
58 dmun 5484 . . . . 5 dom (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}) = (dom 𝐼 ∪ dom {⟨𝐵, 𝐸⟩})
5958a1i 11 . . . 4 (𝜑 → dom (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}) = (dom 𝐼 ∪ dom {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
6046, 57, 59f1oeq123d 6292 . . 3 (𝜑 → (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}) ↔ (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩}):((0..^𝑁) ∪ {𝑁})–1-1-onto→(dom 𝐼 ∪ dom {⟨𝐵, 𝐸⟩})))
6145, 60mpbird 247 . 2 (𝜑𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
6214eqcomi 2767 . . 3 (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}) = (iEdg‘𝑆)
6362iseupthf1o 27352 . 2 (𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄 ↔ (𝐻(Walks‘𝑆)𝑄𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})))
6421, 61, 63sylanbrc 701 1 (𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1630  wcel 2137  Vcvv 3338  cun 3711  cin 3712  wss 3713  c0 4056  {csn 4319  {cpr 4321  cop 4325   class class class wbr 4802  dom cdm 5264  Fun wfun 6041  1-1-ontowf1o 6046  cfv 6047  (class class class)co 6811  Fincfn 8119  0cc0 10126  1c1 10127   + caddc 10129  0cn0 11482  cuz 11877  ..^cfzo 12657  chash 13309  Vtxcvtx 26071  iEdgciedg 26072  Edgcedg 26136  Walkscwlks 26700  EulerPathsceupth 27347
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-rep 4921  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202  ax-pre-mulgt0 10203
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1051  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rmo 3056  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-int 4626  df-iun 4672  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-om 7229  df-1st 7331  df-2nd 7332  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-1o 7727  df-oadd 7731  df-er 7909  df-map 8023  df-pm 8024  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-fin 8123  df-card 8953  df-cda 9180  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-sub 10458  df-neg 10459  df-nn 11211  df-n0 11483  df-z 11568  df-uz 11878  df-fz 12518  df-fzo 12658  df-hash 13310  df-word 13483  df-wlks 26703  df-trls 26797  df-eupth 27348
This theorem is referenced by:  eupth2eucrct  27367
  Copyright terms: Public domain W3C validator