MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eupth2lem3lem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eupth2lem3lem7 27307
Description: Lemma for eupth2lem3 27309: Combining trlsegvdeg 27300, eupth2lem3lem3 27303, eupth2lem3lem4 27304 and eupth2lem3lem6 27306. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2015.) (Revised by AV, 27-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
trlsegvdeg.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
trlsegvdeg.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
trlsegvdeg.f (𝜑 → Fun 𝐼)
trlsegvdeg.n (𝜑𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
trlsegvdeg.u (𝜑𝑈𝑉)
trlsegvdeg.w (𝜑𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
trlsegvdeg.vx (𝜑 → (Vtx‘𝑋) = 𝑉)
trlsegvdeg.vy (𝜑 → (Vtx‘𝑌) = 𝑉)
trlsegvdeg.vz (𝜑 → (Vtx‘𝑍) = 𝑉)
trlsegvdeg.ix (𝜑 → (iEdg‘𝑋) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
trlsegvdeg.iy (𝜑 → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹𝑁), (𝐼‘(𝐹𝑁))⟩})
trlsegvdeg.iz (𝜑 → (iEdg‘𝑍) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))))
eupth2lem3.o (𝜑 → {𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥)} = if((𝑃‘0) = (𝑃𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃𝑁)}))
eupth2lem3.e (𝜑 → (𝐼‘(𝐹𝑁)) = {(𝑃𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))})
Assertion
Ref Expression
eupth2lem3lem7 (𝜑 → (¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑍)‘𝑈) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑌(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem eupth2lem3lem7
StepHypRef Expression
1 trlsegvdeg.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 trlsegvdeg.i . . . . 5 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3 trlsegvdeg.f . . . . 5 (𝜑 → Fun 𝐼)
4 trlsegvdeg.n . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
5 trlsegvdeg.u . . . . 5 (𝜑𝑈𝑉)
6 trlsegvdeg.w . . . . 5 (𝜑𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
7 trlsegvdeg.vx . . . . 5 (𝜑 → (Vtx‘𝑋) = 𝑉)
8 trlsegvdeg.vy . . . . 5 (𝜑 → (Vtx‘𝑌) = 𝑉)
9 trlsegvdeg.vz . . . . 5 (𝜑 → (Vtx‘𝑍) = 𝑉)
10 trlsegvdeg.ix . . . . 5 (𝜑 → (iEdg‘𝑋) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
11 trlsegvdeg.iy . . . . 5 (𝜑 → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹𝑁), (𝐼‘(𝐹𝑁))⟩})
12 trlsegvdeg.iz . . . . 5 (𝜑 → (iEdg‘𝑍) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))))
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12trlsegvdeg 27300 . . . 4 (𝜑 → ((VtxDeg‘𝑍)‘𝑈) = (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)))
1413breq2d 4772 . . 3 (𝜑 → (2 ∥ ((VtxDeg‘𝑍)‘𝑈) ↔ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈))))
1514notbid 307 . 2 (𝜑 → (¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑍)‘𝑈) ↔ ¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈))))
16 eupth2lem3.o . . . 4 (𝜑 → {𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑥)} = if((𝑃‘0) = (𝑃𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃𝑁)}))
17 eupth2lem3.e . . . . 5 (𝜑 → (𝐼‘(𝐹𝑁)) = {(𝑃𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))})
18 ifpprsnss 4406 . . . . 5 ((𝐼‘(𝐹𝑁)) = {(𝑃𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} → if-((𝑃𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑁)) = {(𝑃𝑁)}, {(𝑃𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑁))))
1917, 18syl 17 . . . 4 (𝜑 → if-((𝑃𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑁)) = {(𝑃𝑁)}, {(𝑃𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑁))))
201, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 16, 19eupth2lem3lem3 27303 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑃𝑁) = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))
211, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 16, 17eupth2lem3lem5 27305 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐼‘(𝐹𝑁)) ∈ 𝒫 𝑉)
221, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 16, 19, 21eupth2lem3lem4 27304 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑃𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 = (𝑃𝑁) ∨ 𝑈 = (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))
23223expa 1111 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑃𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑈 = (𝑃𝑁) ∨ 𝑈 = (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))
2423expcom 450 . . . 4 ((𝑈 = (𝑃𝑁) ∨ 𝑈 = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → ((𝜑 ∧ (𝑃𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))}))))
25 neanior 2988 . . . . 5 ((𝑈 ≠ (𝑃𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ↔ ¬ (𝑈 = (𝑃𝑁) ∨ 𝑈 = (𝑃‘(𝑁 + 1))))
261, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 16, 17eupth2lem3lem6 27306 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑃𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))
27263expa 1111 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑃𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑈 ≠ (𝑃𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1)))) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))
2827expcom 450 . . . . 5 ((𝑈 ≠ (𝑃𝑁) ∧ 𝑈 ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → ((𝜑 ∧ (𝑃𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))}))))
2925, 28sylbir 225 . . . 4 (¬ (𝑈 = (𝑃𝑁) ∨ 𝑈 = (𝑃‘(𝑁 + 1))) → ((𝜑 ∧ (𝑃𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))}))))
3024, 29pm2.61i 176 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑃𝑁) ≠ (𝑃‘(𝑁 + 1))) → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))
3120, 30pm2.61dane 2983 . 2 (𝜑 → (¬ 2 ∥ (((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) + ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈)) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))
3215, 31bitrd 268 1 (𝜑 → (¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑍)‘𝑈) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  if-wif 1050   = wceq 1596  wcel 2103  wne 2896  {crab 3018  wss 3680  c0 4023  ifcif 4194  {csn 4285  {cpr 4287  cop 4291   class class class wbr 4760  cres 5220  cima 5221  Fun wfun 5995  cfv 6001  (class class class)co 6765  0cc0 10049  1c1 10050   + caddc 10052  2c2 11183  ...cfz 12440  ..^cfzo 12580  chash 13232  cdvds 15103  Vtxcvtx 25994  iEdgciedg 25995  VtxDegcvtxdg 26492  Trailsctrls 26718
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1051  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-oadd 7684  df-er 7862  df-map 7976  df-pm 7977  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-sup 8464  df-inf 8465  df-card 8878  df-cda 9103  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-n0 11406  df-xnn0 11477  df-z 11491  df-uz 11801  df-rp 11947  df-xadd 12061  df-fz 12441  df-fzo 12581  df-seq 12917  df-exp 12976  df-hash 13233  df-word 13406  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-abs 14096  df-dvds 15104  df-edg 26060  df-uhgr 26073  df-ushgr 26074  df-uspgr 26165  df-vtxdg 26493  df-wlks 26626  df-trls 26720
This theorem is referenced by:  eupth2lem3  27309
  Copyright terms: Public domain W3C validator