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Theorem eulerthlem2 15534
Description: Lemma for eulerth 15535. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerth.1 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
eulerth.2 𝑆 = {𝑦 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑦 gcd 𝑁) = 1}
eulerth.3 𝑇 = (1...(ϕ‘𝑁))
eulerth.4 (𝜑𝐹:𝑇1-1-onto𝑆)
eulerth.5 𝐺 = (𝑥𝑇 ↦ ((𝐴 · (𝐹𝑥)) mod 𝑁))
Assertion
Ref Expression
eulerthlem2 (𝜑 → ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑦)

Proof of Theorem eulerthlem2
Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eulerth.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
21simp1d 1093 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
32phicld 15524 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ)
43nnred 11073 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ϕ‘𝑁) ∈ ℝ)
54leidd 10632 . . . . . . 7 (𝜑 → (ϕ‘𝑁) ≤ (ϕ‘𝑁))
63adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (ϕ‘𝑁) ≤ (ϕ‘𝑁)) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ)
7 breq1 4688 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 1 → (𝑥 ≤ (ϕ‘𝑁) ↔ 1 ≤ (ϕ‘𝑁)))
87anbi2d 740 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 1 → ((𝜑𝑥 ≤ (ϕ‘𝑁)) ↔ (𝜑 ∧ 1 ≤ (ϕ‘𝑁))))
9 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 1 → (𝐴𝑥) = (𝐴↑1))
10 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 1 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑥) = (seq1( · , 𝐹)‘1))
119, 10oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 1 → ((𝐴𝑥) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) = ((𝐴↑1) · (seq1( · , 𝐹)‘1)))
1211oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 1 → (((𝐴𝑥) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) mod 𝑁) = (((𝐴↑1) · (seq1( · , 𝐹)‘1)) mod 𝑁))
13 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 1 → (seq1( · , 𝐺)‘𝑥) = (seq1( · , 𝐺)‘1))
1413oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 1 → ((seq1( · , 𝐺)‘𝑥) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘1) mod 𝑁))
1512, 14eqeq12d 2666 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 1 → ((((𝐴𝑥) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑥) mod 𝑁) ↔ (((𝐴↑1) · (seq1( · , 𝐹)‘1)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘1) mod 𝑁)))
1610oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 1 → (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) = (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘1)))
1716eqeq1d 2653 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 1 → ((𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) = 1 ↔ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘1)) = 1))
1815, 17anbi12d 747 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 1 → (((((𝐴𝑥) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑥) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) = 1) ↔ ((((𝐴↑1) · (seq1( · , 𝐹)‘1)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘1) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘1)) = 1)))
198, 18imbi12d 333 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 1 → (((𝜑𝑥 ≤ (ϕ‘𝑁)) → ((((𝐴𝑥) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑥) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) = 1)) ↔ ((𝜑 ∧ 1 ≤ (ϕ‘𝑁)) → ((((𝐴↑1) · (seq1( · , 𝐹)‘1)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘1) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘1)) = 1))))
20 breq1 4688 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ≤ (ϕ‘𝑁) ↔ 𝑧 ≤ (ϕ‘𝑁)))
2120anbi2d 740 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑧 → ((𝜑𝑥 ≤ (ϕ‘𝑁)) ↔ (𝜑𝑧 ≤ (ϕ‘𝑁))))
22 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑧 → (𝐴𝑥) = (𝐴𝑧))
23 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑧 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑥) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑧))
2422, 23oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐴𝑥) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) = ((𝐴𝑧) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)))
2524oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑧 → (((𝐴𝑥) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) mod 𝑁) = (((𝐴𝑧) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) mod 𝑁))
26 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑧 → (seq1( · , 𝐺)‘𝑥) = (seq1( · , 𝐺)‘𝑧))
2726oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑧 → ((seq1( · , 𝐺)‘𝑥) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) mod 𝑁))
2825, 27eqeq12d 2666 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑧 → ((((𝐴𝑥) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑥) mod 𝑁) ↔ (((𝐴𝑧) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) mod 𝑁)))
2923oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑧 → (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) = (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)))
3029eqeq1d 2653 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) = 1 ↔ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) = 1))
3128, 30anbi12d 747 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑧 → (((((𝐴𝑥) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑥) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) = 1) ↔ ((((𝐴𝑧) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) = 1)))
3221, 31imbi12d 333 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑧 → (((𝜑𝑥 ≤ (ϕ‘𝑁)) → ((((𝐴𝑥) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑥) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) = 1)) ↔ ((𝜑𝑧 ≤ (ϕ‘𝑁)) → ((((𝐴𝑧) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) = 1))))
33 breq1 4688 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑧 + 1) → (𝑥 ≤ (ϕ‘𝑁) ↔ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁)))
3433anbi2d 740 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑧 + 1) → ((𝜑𝑥 ≤ (ϕ‘𝑁)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))))
35 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑧 + 1) → (𝐴𝑥) = (𝐴↑(𝑧 + 1)))
36 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑧 + 1) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑥) = (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1)))
3735, 36oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑧 + 1) → ((𝐴𝑥) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) = ((𝐴↑(𝑧 + 1)) · (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1))))
3837oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑧 + 1) → (((𝐴𝑥) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) mod 𝑁) = (((𝐴↑(𝑧 + 1)) · (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁))
39 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑧 + 1) → (seq1( · , 𝐺)‘𝑥) = (seq1( · , 𝐺)‘(𝑧 + 1)))
4039oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑧 + 1) → ((seq1( · , 𝐺)‘𝑥) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘(𝑧 + 1)) mod 𝑁))
4138, 40eqeq12d 2666 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑧 + 1) → ((((𝐴𝑥) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑥) mod 𝑁) ↔ (((𝐴↑(𝑧 + 1)) · (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘(𝑧 + 1)) mod 𝑁)))
4236oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑧 + 1) → (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) = (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1))))
4342eqeq1d 2653 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑧 + 1) → ((𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) = 1 ↔ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1))) = 1))
4441, 43anbi12d 747 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑧 + 1) → (((((𝐴𝑥) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑥) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) = 1) ↔ ((((𝐴↑(𝑧 + 1)) · (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘(𝑧 + 1)) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1))) = 1)))
4534, 44imbi12d 333 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑧 + 1) → (((𝜑𝑥 ≤ (ϕ‘𝑁)) → ((((𝐴𝑥) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑥) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) = 1)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁)) → ((((𝐴↑(𝑧 + 1)) · (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘(𝑧 + 1)) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1))) = 1))))
46 breq1 4688 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (ϕ‘𝑁) → (𝑥 ≤ (ϕ‘𝑁) ↔ (ϕ‘𝑁) ≤ (ϕ‘𝑁)))
4746anbi2d 740 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (ϕ‘𝑁) → ((𝜑𝑥 ≤ (ϕ‘𝑁)) ↔ (𝜑 ∧ (ϕ‘𝑁) ≤ (ϕ‘𝑁))))
48 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (ϕ‘𝑁) → (𝐴𝑥) = (𝐴↑(ϕ‘𝑁)))
49 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (ϕ‘𝑁) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑥) = (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁)))
5048, 49oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (ϕ‘𝑁) → ((𝐴𝑥) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) = ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))))
5150oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (ϕ‘𝑁) → (((𝐴𝑥) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) mod 𝑁) = (((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) mod 𝑁))
52 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (ϕ‘𝑁) → (seq1( · , 𝐺)‘𝑥) = (seq1( · , 𝐺)‘(ϕ‘𝑁)))
5352oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (ϕ‘𝑁) → ((seq1( · , 𝐺)‘𝑥) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘(ϕ‘𝑁)) mod 𝑁))
5451, 53eqeq12d 2666 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (ϕ‘𝑁) → ((((𝐴𝑥) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑥) mod 𝑁) ↔ (((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘(ϕ‘𝑁)) mod 𝑁)))
5549oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (ϕ‘𝑁) → (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) = (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))))
5655eqeq1d 2653 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (ϕ‘𝑁) → ((𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) = 1 ↔ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) = 1))
5754, 56anbi12d 747 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (ϕ‘𝑁) → (((((𝐴𝑥) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑥) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) = 1) ↔ ((((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘(ϕ‘𝑁)) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) = 1)))
5847, 57imbi12d 333 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (ϕ‘𝑁) → (((𝜑𝑥 ≤ (ϕ‘𝑁)) → ((((𝐴𝑥) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑥) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) = 1)) ↔ ((𝜑 ∧ (ϕ‘𝑁) ≤ (ϕ‘𝑁)) → ((((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘(ϕ‘𝑁)) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) = 1))))
591simp2d 1094 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
60 eulerth.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐹:𝑇1-1-onto𝑆)
61 f1of 6175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐹:𝑇1-1-onto𝑆𝐹:𝑇𝑆)
6260, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐹:𝑇𝑆)
63 nnuz 11761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ℕ = (ℤ‘1)
643, 63syl6eleq 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (ϕ‘𝑁) ∈ (ℤ‘1))
65 eluzfz1 12386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((ϕ‘𝑁) ∈ (ℤ‘1) → 1 ∈ (1...(ϕ‘𝑁)))
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → 1 ∈ (1...(ϕ‘𝑁)))
67 eulerth.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑇 = (1...(ϕ‘𝑁))
6866, 67syl6eleqr 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 1 ∈ 𝑇)
6962, 68ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐹‘1) ∈ 𝑆)
70 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = (𝐹‘1) → (𝑦 gcd 𝑁) = ((𝐹‘1) gcd 𝑁))
7170eqeq1d 2653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = (𝐹‘1) → ((𝑦 gcd 𝑁) = 1 ↔ ((𝐹‘1) gcd 𝑁) = 1))
72 eulerth.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑆 = {𝑦 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑦 gcd 𝑁) = 1}
7371, 72elrab2 3399 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹‘1) ∈ 𝑆 ↔ ((𝐹‘1) ∈ (0..^𝑁) ∧ ((𝐹‘1) gcd 𝑁) = 1))
7469, 73sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝐹‘1) ∈ (0..^𝑁) ∧ ((𝐹‘1) gcd 𝑁) = 1))
7574simpld 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐹‘1) ∈ (0..^𝑁))
76 elfzoelz 12509 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹‘1) ∈ (0..^𝑁) → (𝐹‘1) ∈ ℤ)
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐹‘1) ∈ ℤ)
7859, 77zmulcld 11526 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴 · (𝐹‘1)) ∈ ℤ)
7978zred 11520 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 · (𝐹‘1)) ∈ ℝ)
802nnrpd 11908 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℝ+)
81 modabs2 12744 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 · (𝐹‘1)) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (((𝐴 · (𝐹‘1)) mod 𝑁) mod 𝑁) = ((𝐴 · (𝐹‘1)) mod 𝑁))
8279, 80, 81syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐴 · (𝐹‘1)) mod 𝑁) mod 𝑁) = ((𝐴 · (𝐹‘1)) mod 𝑁))
83 1z 11445 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℤ
84 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 1 → (𝐹𝑥) = (𝐹‘1))
8584oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 1 → (𝐴 · (𝐹𝑥)) = (𝐴 · (𝐹‘1)))
8685oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 1 → ((𝐴 · (𝐹𝑥)) mod 𝑁) = ((𝐴 · (𝐹‘1)) mod 𝑁))
87 eulerth.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐺 = (𝑥𝑇 ↦ ((𝐴 · (𝐹𝑥)) mod 𝑁))
88 ovex 6718 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 · (𝐹‘1)) mod 𝑁) ∈ V
8986, 87, 88fvmpt 6321 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 ∈ 𝑇 → (𝐺‘1) = ((𝐴 · (𝐹‘1)) mod 𝑁))
9068, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐺‘1) = ((𝐴 · (𝐹‘1)) mod 𝑁))
9183, 90seq1i 12855 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (seq1( · , 𝐺)‘1) = ((𝐴 · (𝐹‘1)) mod 𝑁))
9291oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((seq1( · , 𝐺)‘1) mod 𝑁) = (((𝐴 · (𝐹‘1)) mod 𝑁) mod 𝑁))
9359zcnd 11521 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
9493exp1d 13043 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴↑1) = 𝐴)
95 seq1 12854 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 ∈ ℤ → (seq1( · , 𝐹)‘1) = (𝐹‘1))
9683, 95ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (seq1( · , 𝐹)‘1) = (𝐹‘1)
9796a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘1) = (𝐹‘1))
9894, 97oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐴↑1) · (seq1( · , 𝐹)‘1)) = (𝐴 · (𝐹‘1)))
9998oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐴↑1) · (seq1( · , 𝐹)‘1)) mod 𝑁) = ((𝐴 · (𝐹‘1)) mod 𝑁))
10082, 92, 993eqtr4rd 2696 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐴↑1) · (seq1( · , 𝐹)‘1)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘1) mod 𝑁))
10196oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘1)) = (𝑁 gcd (𝐹‘1))
1022nnzd 11519 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
103 gcdcom 15282 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐹‘1) ∈ ℤ) → (𝑁 gcd (𝐹‘1)) = ((𝐹‘1) gcd 𝑁))
104102, 77, 103syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁 gcd (𝐹‘1)) = ((𝐹‘1) gcd 𝑁))
10574simprd 478 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐹‘1) gcd 𝑁) = 1)
106104, 105eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁 gcd (𝐹‘1)) = 1)
107101, 106syl5eq 2697 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘1)) = 1)
108100, 107jca 553 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝐴↑1) · (seq1( · , 𝐹)‘1)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘1) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘1)) = 1))
109108adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 1 ≤ (ϕ‘𝑁)) → ((((𝐴↑1) · (seq1( · , 𝐹)‘1)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘1) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘1)) = 1))
110 nnre 11065 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℝ)
111110adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → 𝑧 ∈ ℝ)
112111lep1d 10993 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → 𝑧 ≤ (𝑧 + 1))
113 peano2re 10247 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ ℝ → (𝑧 + 1) ∈ ℝ)
114111, 113syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → (𝑧 + 1) ∈ ℝ)
1154adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℝ)
116 letr 10169 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑧 + 1) ∈ ℝ ∧ (ϕ‘𝑁) ∈ ℝ) → ((𝑧 ≤ (𝑧 + 1) ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁)) → 𝑧 ≤ (ϕ‘𝑁)))
117111, 114, 115, 116syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → ((𝑧 ≤ (𝑧 + 1) ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁)) → 𝑧 ≤ (ϕ‘𝑁)))
118112, 117mpand 711 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝜑) → ((𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁) → 𝑧 ≤ (ϕ‘𝑁)))
119118imdistanda 729 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℕ → ((𝜑 ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁)) → (𝜑𝑧 ≤ (ϕ‘𝑁))))
120119imim1d 82 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℕ → (((𝜑𝑧 ≤ (ϕ‘𝑁)) → ((((𝐴𝑧) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) = 1)) → ((𝜑 ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁)) → ((((𝐴𝑧) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) = 1))))
12159adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → 𝐴 ∈ ℤ)
122 nnnn0 11337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℕ0)
123122ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → 𝑧 ∈ ℕ0)
124 zexpcl 12915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑧) ∈ ℤ)
125121, 123, 124syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (𝐴𝑧) ∈ ℤ)
126 simprl 809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → 𝑧 ∈ ℕ)
127126, 63syl6eleq 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → 𝑧 ∈ (ℤ‘1))
128110ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → 𝑧 ∈ ℝ)
129128, 113syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (𝑧 + 1) ∈ ℝ)
1304adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℝ)
131128lep1d 10993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → 𝑧 ≤ (𝑧 + 1))
132 simprr 811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))
133128, 129, 130, 131, 132letrd 10232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → 𝑧 ≤ (ϕ‘𝑁))
134 nnz 11437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℤ)
135134ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → 𝑧 ∈ ℤ)
1363nnzd 11519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (ϕ‘𝑁) ∈ ℤ)
137136adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℤ)
138 eluz 11739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (ϕ‘𝑁) ∈ ℤ) → ((ϕ‘𝑁) ∈ (ℤ𝑧) ↔ 𝑧 ≤ (ϕ‘𝑁)))
139135, 137, 138syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → ((ϕ‘𝑁) ∈ (ℤ𝑧) ↔ 𝑧 ≤ (ϕ‘𝑁)))
140133, 139mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (ϕ‘𝑁) ∈ (ℤ𝑧))
141 fzss2 12419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((ϕ‘𝑁) ∈ (ℤ𝑧) → (1...𝑧) ⊆ (1...(ϕ‘𝑁)))
142140, 141syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (1...𝑧) ⊆ (1...(ϕ‘𝑁)))
143142, 67syl6sseqr 3685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (1...𝑧) ⊆ 𝑇)
144143sselda 3636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑧)) → 𝑥𝑇)
14562ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑥𝑇) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
146 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 = (𝐹𝑥) → (𝑦 gcd 𝑁) = ((𝐹𝑥) gcd 𝑁))
147146eqeq1d 2653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 = (𝐹𝑥) → ((𝑦 gcd 𝑁) = 1 ↔ ((𝐹𝑥) gcd 𝑁) = 1))
148147, 72elrab2 3399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐹𝑥) ∈ 𝑆 ↔ ((𝐹𝑥) ∈ (0..^𝑁) ∧ ((𝐹𝑥) gcd 𝑁) = 1))
149145, 148sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑥𝑇) → ((𝐹𝑥) ∈ (0..^𝑁) ∧ ((𝐹𝑥) gcd 𝑁) = 1))
150149simpld 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥𝑇) → (𝐹𝑥) ∈ (0..^𝑁))
151 elfzoelz 12509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐹𝑥) ∈ (0..^𝑁) → (𝐹𝑥) ∈ ℤ)
152150, 151syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥𝑇) → (𝐹𝑥) ∈ ℤ)
153152adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) ∧ 𝑥𝑇) → (𝐹𝑥) ∈ ℤ)
154144, 153syldan 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑧)) → (𝐹𝑥) ∈ ℤ)
155 zmulcl 11464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
156155adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
157127, 154, 156seqcl 12861 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑧) ∈ ℤ)
158125, 157zmulcld 11526 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → ((𝐴𝑧) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) ∈ ℤ)
159158zred 11520 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → ((𝐴𝑧) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) ∈ ℝ)
160 ssrab2 3720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 {𝑦 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑦 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (0..^𝑁)
16172, 160eqsstri 3668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑆 ⊆ (0..^𝑁)
1621, 72, 67, 60, 87eulerthlem1 15533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝐺:𝑇𝑆)
163162ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥𝑇) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
164161, 163sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥𝑇) → (𝐺𝑥) ∈ (0..^𝑁))
165 elfzoelz 12509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐺𝑥) ∈ (0..^𝑁) → (𝐺𝑥) ∈ ℤ)
166164, 165syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝑇) → (𝐺𝑥) ∈ ℤ)
167166adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) ∧ 𝑥𝑇) → (𝐺𝑥) ∈ ℤ)
168144, 167syldan 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑧)) → (𝐺𝑥) ∈ ℤ)
169127, 168, 156seqcl 12861 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (seq1( · , 𝐺)‘𝑧) ∈ ℤ)
170169zred 11520 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (seq1( · , 𝐺)‘𝑧) ∈ ℝ)
17162adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → 𝐹:𝑇𝑆)
172 peano2nn 11070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 + 1) ∈ ℕ)
173172ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (𝑧 + 1) ∈ ℕ)
174173nnge1d 11101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → 1 ≤ (𝑧 + 1))
175173nnzd 11519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (𝑧 + 1) ∈ ℤ)
176 elfz 12370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑧 + 1) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ (ϕ‘𝑁) ∈ ℤ) → ((𝑧 + 1) ∈ (1...(ϕ‘𝑁)) ↔ (1 ≤ (𝑧 + 1) ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))))
17783, 176mp3an2 1452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑧 + 1) ∈ ℤ ∧ (ϕ‘𝑁) ∈ ℤ) → ((𝑧 + 1) ∈ (1...(ϕ‘𝑁)) ↔ (1 ≤ (𝑧 + 1) ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))))
178175, 137, 177syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → ((𝑧 + 1) ∈ (1...(ϕ‘𝑁)) ↔ (1 ≤ (𝑧 + 1) ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))))
179174, 132, 178mpbir2and 977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (𝑧 + 1) ∈ (1...(ϕ‘𝑁)))
180179, 67syl6eleqr 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (𝑧 + 1) ∈ 𝑇)
181171, 180ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (𝐹‘(𝑧 + 1)) ∈ 𝑆)
182 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = (𝐹‘(𝑧 + 1)) → (𝑦 gcd 𝑁) = ((𝐹‘(𝑧 + 1)) gcd 𝑁))
183182eqeq1d 2653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = (𝐹‘(𝑧 + 1)) → ((𝑦 gcd 𝑁) = 1 ↔ ((𝐹‘(𝑧 + 1)) gcd 𝑁) = 1))
184183, 72elrab2 3399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹‘(𝑧 + 1)) ∈ 𝑆 ↔ ((𝐹‘(𝑧 + 1)) ∈ (0..^𝑁) ∧ ((𝐹‘(𝑧 + 1)) gcd 𝑁) = 1))
185181, 184sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → ((𝐹‘(𝑧 + 1)) ∈ (0..^𝑁) ∧ ((𝐹‘(𝑧 + 1)) gcd 𝑁) = 1))
186185simpld 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (𝐹‘(𝑧 + 1)) ∈ (0..^𝑁))
187 elfzoelz 12509 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹‘(𝑧 + 1)) ∈ (0..^𝑁) → (𝐹‘(𝑧 + 1)) ∈ ℤ)
188186, 187syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (𝐹‘(𝑧 + 1)) ∈ ℤ)
189121, 188zmulcld 11526 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) ∈ ℤ)
19080adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℝ+)
191 modmul1 12763 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴𝑧) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) ∈ ℝ ∧ (seq1( · , 𝐺)‘𝑧) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (((𝐴𝑧) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) mod 𝑁)) → ((((𝐴𝑧) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) · (𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1)))) mod 𝑁) = (((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) · (𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1)))) mod 𝑁))
1921913expia 1286 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴𝑧) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) ∈ ℝ ∧ (seq1( · , 𝐺)‘𝑧) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+)) → ((((𝐴𝑧) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) mod 𝑁) → ((((𝐴𝑧) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) · (𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1)))) mod 𝑁) = (((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) · (𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1)))) mod 𝑁)))
193159, 170, 189, 190, 192syl22anc 1367 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → ((((𝐴𝑧) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) mod 𝑁) → ((((𝐴𝑧) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) · (𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1)))) mod 𝑁) = (((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) · (𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1)))) mod 𝑁)))
194125zcnd 11521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (𝐴𝑧) ∈ ℂ)
195157zcnd 11521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑧) ∈ ℂ)
19693adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → 𝐴 ∈ ℂ)
197188zcnd 11521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (𝐹‘(𝑧 + 1)) ∈ ℂ)
198194, 195, 196, 197mul4d 10286 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (((𝐴𝑧) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) · (𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1)))) = (((𝐴𝑧) · 𝐴) · ((seq1( · , 𝐹)‘𝑧) · (𝐹‘(𝑧 + 1)))))
199196, 123expp1d 13049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (𝐴↑(𝑧 + 1)) = ((𝐴𝑧) · 𝐴))
200 seqp1 12856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 ∈ (ℤ‘1) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1)) = ((seq1( · , 𝐹)‘𝑧) · (𝐹‘(𝑧 + 1))))
201127, 200syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1)) = ((seq1( · , 𝐹)‘𝑧) · (𝐹‘(𝑧 + 1))))
202199, 201oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → ((𝐴↑(𝑧 + 1)) · (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1))) = (((𝐴𝑧) · 𝐴) · ((seq1( · , 𝐹)‘𝑧) · (𝐹‘(𝑧 + 1)))))
203198, 202eqtr4d 2688 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (((𝐴𝑧) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) · (𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1)))) = ((𝐴↑(𝑧 + 1)) · (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1))))
204203oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → ((((𝐴𝑧) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) · (𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1)))) mod 𝑁) = (((𝐴↑(𝑧 + 1)) · (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁))
205189zred 11520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) ∈ ℝ)
206205, 190modcld 12714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → ((𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁) ∈ ℝ)
207 modabs2 12744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (((𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁) mod 𝑁) = ((𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁))
208205, 190, 207syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (((𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁) mod 𝑁) = ((𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁))
209 modmul1 12763 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) ∈ ℝ) ∧ ((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (((𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁) mod 𝑁) = ((𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁)) → ((((𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁) · (seq1( · , 𝐺)‘𝑧)) mod 𝑁) = (((𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) · (seq1( · , 𝐺)‘𝑧)) mod 𝑁))
210206, 205, 169, 190, 208, 209syl221anc 1377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → ((((𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁) · (seq1( · , 𝐺)‘𝑧)) mod 𝑁) = (((𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) · (seq1( · , 𝐺)‘𝑧)) mod 𝑁))
211 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = (𝑧 + 1) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝑧 + 1)))
212211oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = (𝑧 + 1) → (𝐴 · (𝐹𝑥)) = (𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))))
213212oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = (𝑧 + 1) → ((𝐴 · (𝐹𝑥)) mod 𝑁) = ((𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁))
214 ovex 6718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁) ∈ V
215213, 87, 214fvmpt 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑧 + 1) ∈ 𝑇 → (𝐺‘(𝑧 + 1)) = ((𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁))
216180, 215syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (𝐺‘(𝑧 + 1)) = ((𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁))
217216oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → ((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) · (𝐺‘(𝑧 + 1))) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) · ((𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁)))
218 seqp1 12856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 ∈ (ℤ‘1) → (seq1( · , 𝐺)‘(𝑧 + 1)) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) · (𝐺‘(𝑧 + 1))))
219127, 218syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (seq1( · , 𝐺)‘(𝑧 + 1)) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) · (𝐺‘(𝑧 + 1))))
220206recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → ((𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁) ∈ ℂ)
221169zcnd 11521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (seq1( · , 𝐺)‘𝑧) ∈ ℂ)
222220, 221mulcomd 10099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (((𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁) · (seq1( · , 𝐺)‘𝑧)) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) · ((𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁)))
223217, 219, 2223eqtr4d 2695 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (seq1( · , 𝐺)‘(𝑧 + 1)) = (((𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁) · (seq1( · , 𝐺)‘𝑧)))
224223oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → ((seq1( · , 𝐺)‘(𝑧 + 1)) mod 𝑁) = ((((𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁) · (seq1( · , 𝐺)‘𝑧)) mod 𝑁))
225189zcnd 11521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) ∈ ℂ)
226221, 225mulcomd 10099 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → ((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) · (𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1)))) = ((𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) · (seq1( · , 𝐺)‘𝑧)))
227226oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) · (𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1)))) mod 𝑁) = (((𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1))) · (seq1( · , 𝐺)‘𝑧)) mod 𝑁))
228210, 224, 2273eqtr4rd 2696 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) · (𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1)))) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘(𝑧 + 1)) mod 𝑁))
229204, 228eqeq12d 2666 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (((((𝐴𝑧) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) · (𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1)))) mod 𝑁) = (((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) · (𝐴 · (𝐹‘(𝑧 + 1)))) mod 𝑁) ↔ (((𝐴↑(𝑧 + 1)) · (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘(𝑧 + 1)) mod 𝑁)))
230193, 229sylibd 229 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → ((((𝐴𝑧) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) mod 𝑁) → (((𝐴↑(𝑧 + 1)) · (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘(𝑧 + 1)) mod 𝑁)))
231102adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℤ)
232 gcdcom 15282 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐹‘(𝑧 + 1)) ∈ ℤ) → (𝑁 gcd (𝐹‘(𝑧 + 1))) = ((𝐹‘(𝑧 + 1)) gcd 𝑁))
233231, 188, 232syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (𝑁 gcd (𝐹‘(𝑧 + 1))) = ((𝐹‘(𝑧 + 1)) gcd 𝑁))
234185simprd 478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → ((𝐹‘(𝑧 + 1)) gcd 𝑁) = 1)
235233, 234eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (𝑁 gcd (𝐹‘(𝑧 + 1))) = 1)
236 rpmul 15420 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (seq1( · , 𝐹)‘𝑧) ∈ ℤ ∧ (𝐹‘(𝑧 + 1)) ∈ ℤ) → (((𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) = 1 ∧ (𝑁 gcd (𝐹‘(𝑧 + 1))) = 1) → (𝑁 gcd ((seq1( · , 𝐹)‘𝑧) · (𝐹‘(𝑧 + 1)))) = 1))
237231, 157, 188, 236syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (((𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) = 1 ∧ (𝑁 gcd (𝐹‘(𝑧 + 1))) = 1) → (𝑁 gcd ((seq1( · , 𝐹)‘𝑧) · (𝐹‘(𝑧 + 1)))) = 1))
238235, 237mpan2d 710 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → ((𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) = 1 → (𝑁 gcd ((seq1( · , 𝐹)‘𝑧) · (𝐹‘(𝑧 + 1)))) = 1))
239201oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1))) = (𝑁 gcd ((seq1( · , 𝐹)‘𝑧) · (𝐹‘(𝑧 + 1)))))
240239eqeq1d 2653 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → ((𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1))) = 1 ↔ (𝑁 gcd ((seq1( · , 𝐹)‘𝑧) · (𝐹‘(𝑧 + 1)))) = 1))
241238, 240sylibrd 249 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → ((𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) = 1 → (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1))) = 1))
242230, 241anim12d 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (((((𝐴𝑧) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) = 1) → ((((𝐴↑(𝑧 + 1)) · (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘(𝑧 + 1)) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1))) = 1)))
243242an12s 860 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝜑 ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁))) → (((((𝐴𝑧) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) = 1) → ((((𝐴↑(𝑧 + 1)) · (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘(𝑧 + 1)) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1))) = 1)))
244243ex 449 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℕ → ((𝜑 ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁)) → (((((𝐴𝑧) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) = 1) → ((((𝐴↑(𝑧 + 1)) · (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘(𝑧 + 1)) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1))) = 1))))
245244a2d 29 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℕ → (((𝜑 ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁)) → ((((𝐴𝑧) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) = 1)) → ((𝜑 ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁)) → ((((𝐴↑(𝑧 + 1)) · (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘(𝑧 + 1)) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1))) = 1))))
246120, 245syld 47 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℕ → (((𝜑𝑧 ≤ (ϕ‘𝑁)) → ((((𝐴𝑧) · (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘𝑧) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘𝑧)) = 1)) → ((𝜑 ∧ (𝑧 + 1) ≤ (ϕ‘𝑁)) → ((((𝐴↑(𝑧 + 1)) · (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1))) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘(𝑧 + 1)) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘(𝑧 + 1))) = 1))))
24719, 32, 45, 58, 109, 246nnind 11076 . . . . . . . 8 ((ϕ‘𝑁) ∈ ℕ → ((𝜑 ∧ (ϕ‘𝑁) ≤ (ϕ‘𝑁)) → ((((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘(ϕ‘𝑁)) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) = 1)))
2486, 247mpcom 38 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (ϕ‘𝑁) ≤ (ϕ‘𝑁)) → ((((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘(ϕ‘𝑁)) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) = 1))
2495, 248mpdan 703 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘(ϕ‘𝑁)) mod 𝑁) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) = 1))
250249simpld 474 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘(ϕ‘𝑁)) mod 𝑁))
2513nnnn0d 11389 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ0)
252 zexpcl 12915 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(ϕ‘𝑁)) ∈ ℤ)
25359, 251, 252syl2anc 694 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴↑(ϕ‘𝑁)) ∈ ℤ)
25467eleq2i 2722 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑇𝑥 ∈ (1...(ϕ‘𝑁)))
255254, 152sylan2br 492 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(ϕ‘𝑁))) → (𝐹𝑥) ∈ ℤ)
256155adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
25764, 255, 256seqcl 12861 . . . . . . 7 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁)) ∈ ℤ)
258253, 257zmulcld 11526 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) ∈ ℤ)
259 mulcl 10058 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
260259adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
261 mulcom 10060 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))
262261adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))
263 mulass 10062 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
264263adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
265 ssid 3657 . . . . . . . . 9 ℂ ⊆ ℂ
266265a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
267 f1ocnv 6187 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝑇1-1-onto𝑆𝐹:𝑆1-1-onto𝑇)
26860, 267syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝑆1-1-onto𝑇)
2692adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑇)) → 𝑁 ∈ ℕ)
27059adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑇)) → 𝐴 ∈ ℤ)
27162ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑦𝑇) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
272271adantrr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑇)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
273161, 272sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑇)) → (𝐹𝑦) ∈ (0..^𝑁))
274 elfzoelz 12509 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝑦) ∈ (0..^𝑁) → (𝐹𝑦) ∈ ℤ)
275273, 274syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑇)) → (𝐹𝑦) ∈ ℤ)
276270, 275zmulcld 11526 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑇)) → (𝐴 · (𝐹𝑦)) ∈ ℤ)
27762ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑧𝑇) → (𝐹𝑧) ∈ 𝑆)
278277adantrl 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑇)) → (𝐹𝑧) ∈ 𝑆)
279161, 278sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑇)) → (𝐹𝑧) ∈ (0..^𝑁))
280 elfzoelz 12509 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝑧) ∈ (0..^𝑁) → (𝐹𝑧) ∈ ℤ)
281279, 280syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑇)) → (𝐹𝑧) ∈ ℤ)
282270, 281zmulcld 11526 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑇)) → (𝐴 · (𝐹𝑧)) ∈ ℤ)
283 moddvds 15038 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 · (𝐹𝑦)) ∈ ℤ ∧ (𝐴 · (𝐹𝑧)) ∈ ℤ) → (((𝐴 · (𝐹𝑦)) mod 𝑁) = ((𝐴 · (𝐹𝑧)) mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴 · (𝐹𝑦)) − (𝐴 · (𝐹𝑧)))))
284269, 276, 282, 283syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑇)) → (((𝐴 · (𝐹𝑦)) mod 𝑁) = ((𝐴 · (𝐹𝑧)) mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴 · (𝐹𝑦)) − (𝐴 · (𝐹𝑧)))))
285 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
286285oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 · (𝐹𝑥)) = (𝐴 · (𝐹𝑦)))
287286oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 · (𝐹𝑥)) mod 𝑁) = ((𝐴 · (𝐹𝑦)) mod 𝑁))
288 ovex 6718 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 · (𝐹𝑦)) mod 𝑁) ∈ V
289287, 87, 288fvmpt 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦𝑇 → (𝐺𝑦) = ((𝐴 · (𝐹𝑦)) mod 𝑁))
290 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑧))
291290oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑧 → (𝐴 · (𝐹𝑥)) = (𝐴 · (𝐹𝑧)))
292291oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐴 · (𝐹𝑥)) mod 𝑁) = ((𝐴 · (𝐹𝑧)) mod 𝑁))
293 ovex 6718 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 · (𝐹𝑧)) mod 𝑁) ∈ V
294292, 87, 293fvmpt 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧𝑇 → (𝐺𝑧) = ((𝐴 · (𝐹𝑧)) mod 𝑁))
295289, 294eqeqan12d 2667 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦𝑇𝑧𝑇) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) ↔ ((𝐴 · (𝐹𝑦)) mod 𝑁) = ((𝐴 · (𝐹𝑧)) mod 𝑁)))
296295adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑇)) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) ↔ ((𝐴 · (𝐹𝑦)) mod 𝑁) = ((𝐴 · (𝐹𝑧)) mod 𝑁)))
29793adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑇)) → 𝐴 ∈ ℂ)
298275zcnd 11521 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑇)) → (𝐹𝑦) ∈ ℂ)
299281zcnd 11521 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑇)) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
300297, 298, 299subdid 10524 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑇)) → (𝐴 · ((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))) = ((𝐴 · (𝐹𝑦)) − (𝐴 · (𝐹𝑧))))
301300breq2d 4697 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑇)) → (𝑁 ∥ (𝐴 · ((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴 · (𝐹𝑦)) − (𝐴 · (𝐹𝑧)))))
302284, 296, 3013bitr4d 300 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑇)) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 · ((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧)))))
303 gcdcom 15282 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑁 gcd 𝐴) = (𝐴 gcd 𝑁))
304102, 59, 303syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝐴) = (𝐴 gcd 𝑁))
3051simp3d 1095 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝑁) = 1)
306304, 305eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝐴) = 1)
307306adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑇)) → (𝑁 gcd 𝐴) = 1)
308102adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑇)) → 𝑁 ∈ ℤ)
309275, 281zsubcld 11525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑇)) → ((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧)) ∈ ℤ)
310 coprmdvds 15413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧)) ∈ ℤ) → ((𝑁 ∥ (𝐴 · ((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))) ∧ (𝑁 gcd 𝐴) = 1) → 𝑁 ∥ ((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))))
311308, 270, 309, 310syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑇)) → ((𝑁 ∥ (𝐴 · ((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))) ∧ (𝑁 gcd 𝐴) = 1) → 𝑁 ∥ ((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))))
312275zred 11520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑇)) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
31380adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑇)) → 𝑁 ∈ ℝ+)
314 elfzole1 12517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹𝑦) ∈ (0..^𝑁) → 0 ≤ (𝐹𝑦))
315273, 314syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑇)) → 0 ≤ (𝐹𝑦))
316 elfzolt2 12518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹𝑦) ∈ (0..^𝑁) → (𝐹𝑦) < 𝑁)
317273, 316syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑇)) → (𝐹𝑦) < 𝑁)
318 modid 12735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐹𝑦) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (𝐹𝑦) ∧ (𝐹𝑦) < 𝑁)) → ((𝐹𝑦) mod 𝑁) = (𝐹𝑦))
319312, 313, 315, 317, 318syl22anc 1367 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑇)) → ((𝐹𝑦) mod 𝑁) = (𝐹𝑦))
320281zred 11520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑇)) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ)
321 elfzole1 12517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹𝑧) ∈ (0..^𝑁) → 0 ≤ (𝐹𝑧))
322279, 321syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑇)) → 0 ≤ (𝐹𝑧))
323 elfzolt2 12518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹𝑧) ∈ (0..^𝑁) → (𝐹𝑧) < 𝑁)
324279, 323syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑇)) → (𝐹𝑧) < 𝑁)
325 modid 12735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (𝐹𝑧) ∧ (𝐹𝑧) < 𝑁)) → ((𝐹𝑧) mod 𝑁) = (𝐹𝑧))
326320, 313, 322, 324, 325syl22anc 1367 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑇)) → ((𝐹𝑧) mod 𝑁) = (𝐹𝑧))
327319, 326eqeq12d 2666 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑇)) → (((𝐹𝑦) mod 𝑁) = ((𝐹𝑧) mod 𝑁) ↔ (𝐹𝑦) = (𝐹𝑧)))
328 moddvds 15038 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐹𝑦) ∈ ℤ ∧ (𝐹𝑧) ∈ ℤ) → (((𝐹𝑦) mod 𝑁) = ((𝐹𝑧) mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))))
329269, 275, 281, 328syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑇)) → (((𝐹𝑦) mod 𝑁) = ((𝐹𝑧) mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))))
330 f1of1 6174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹:𝑇1-1-onto𝑆𝐹:𝑇1-1𝑆)
33160, 330syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐹:𝑇1-1𝑆)
332 f1fveq 6559 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹:𝑇1-1𝑆 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑇)) → ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) ↔ 𝑦 = 𝑧))
333331, 332sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑇)) → ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) ↔ 𝑦 = 𝑧))
334327, 329, 3333bitr3d 298 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑇)) → (𝑁 ∥ ((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧)) ↔ 𝑦 = 𝑧))
335311, 334sylibd 229 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑇)) → ((𝑁 ∥ (𝐴 · ((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))) ∧ (𝑁 gcd 𝐴) = 1) → 𝑦 = 𝑧))
336307, 335mpan2d 710 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑇)) → (𝑁 ∥ (𝐴 · ((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))) → 𝑦 = 𝑧))
337302, 336sylbid 230 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑇𝑧𝑇)) → ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
338337ralrimivva 3000 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑦𝑇𝑧𝑇 ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
339 dff13 6552 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺:𝑇1-1𝑆 ↔ (𝐺:𝑇𝑆 ∧ ∀𝑦𝑇𝑧𝑇 ((𝐺𝑦) = (𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
340162, 338, 339sylanbrc 699 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺:𝑇1-1𝑆)
341 ovex 6718 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1...(ϕ‘𝑁)) ∈ V
34267, 341eqeltri 2726 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑇 ∈ V
343342f1oen 8018 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:𝑇1-1-onto𝑆𝑇𝑆)
34460, 343syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇𝑆)
345 fzofi 12813 . . . . . . . . . . . . 13 (0..^𝑁) ∈ Fin
346 ssfi 8221 . . . . . . . . . . . . 13 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ 𝑆 ⊆ (0..^𝑁)) → 𝑆 ∈ Fin)
347345, 161, 346mp2an 708 . . . . . . . . . . . 12 𝑆 ∈ Fin
348 f1finf1o 8228 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇𝑆𝑆 ∈ Fin) → (𝐺:𝑇1-1𝑆𝐺:𝑇1-1-onto𝑆))
349344, 347, 348sylancl 695 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐺:𝑇1-1𝑆𝐺:𝑇1-1-onto𝑆))
350340, 349mpbid 222 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺:𝑇1-1-onto𝑆)
351 f1oco 6197 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝑆1-1-onto𝑇𝐺:𝑇1-1-onto𝑆) → (𝐹𝐺):𝑇1-1-onto𝑇)
352268, 350, 351syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝐺):𝑇1-1-onto𝑇)
353 f1oeq23 6168 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 = (1...(ϕ‘𝑁)) ∧ 𝑇 = (1...(ϕ‘𝑁))) → ((𝐹𝐺):𝑇1-1-onto𝑇 ↔ (𝐹𝐺):(1...(ϕ‘𝑁))–1-1-onto→(1...(ϕ‘𝑁))))
35467, 67, 353mp2an 708 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐺):𝑇1-1-onto𝑇 ↔ (𝐹𝐺):(1...(ϕ‘𝑁))–1-1-onto→(1...(ϕ‘𝑁)))
355352, 354sylib 208 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝐺):(1...(ϕ‘𝑁))–1-1-onto→(1...(ϕ‘𝑁)))
356255zcnd 11521 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(ϕ‘𝑁))) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
35767eleq2i 2722 . . . . . . . . 9 (𝑤𝑇𝑤 ∈ (1...(ϕ‘𝑁)))
358 fvco3 6314 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺:𝑇𝑆𝑤𝑇) → ((𝐹𝐺)‘𝑤) = (𝐹‘(𝐺𝑤)))
359162, 358sylan 487 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤𝑇) → ((𝐹𝐺)‘𝑤) = (𝐹‘(𝐺𝑤)))
360359fveq2d 6233 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤𝑇) → (𝐹‘((𝐹𝐺)‘𝑤)) = (𝐹‘(𝐹‘(𝐺𝑤))))
36160adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤𝑇) → 𝐹:𝑇1-1-onto𝑆)
362162ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤𝑇) → (𝐺𝑤) ∈ 𝑆)
363 f1ocnvfv2 6573 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝑇1-1-onto𝑆 ∧ (𝐺𝑤) ∈ 𝑆) → (𝐹‘(𝐹‘(𝐺𝑤))) = (𝐺𝑤))
364361, 362, 363syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤𝑇) → (𝐹‘(𝐹‘(𝐺𝑤))) = (𝐺𝑤))
365360, 364eqtr2d 2686 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤𝑇) → (𝐺𝑤) = (𝐹‘((𝐹𝐺)‘𝑤)))
366357, 365sylan2br 492 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ (1...(ϕ‘𝑁))) → (𝐺𝑤) = (𝐹‘((𝐹𝐺)‘𝑤)))
367260, 262, 264, 64, 266, 355, 356, 366seqf1o 12882 . . . . . . 7 (𝜑 → (seq1( · , 𝐺)‘(ϕ‘𝑁)) = (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁)))
368367, 257eqeltrd 2730 . . . . . 6 (𝜑 → (seq1( · , 𝐺)‘(ϕ‘𝑁)) ∈ ℤ)
369 moddvds 15038 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) ∈ ℤ ∧ (seq1( · , 𝐺)‘(ϕ‘𝑁)) ∈ ℤ) → ((((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘(ϕ‘𝑁)) mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) − (seq1( · , 𝐺)‘(ϕ‘𝑁)))))
3702, 258, 368, 369syl3anc 1366 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) mod 𝑁) = ((seq1( · , 𝐺)‘(ϕ‘𝑁)) mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) − (seq1( · , 𝐺)‘(ϕ‘𝑁)))))
371250, 370mpbid 222 . . . 4 (𝜑𝑁 ∥ (((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) − (seq1( · , 𝐺)‘(ϕ‘𝑁))))
372257zcnd 11521 . . . . . . . 8 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁)) ∈ ℂ)
373372mulid2d 10096 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) = (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁)))
374367, 373eqtr4d 2688 . . . . . 6 (𝜑 → (seq1( · , 𝐺)‘(ϕ‘𝑁)) = (1 · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))))
375374oveq2d 6706 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) − (seq1( · , 𝐺)‘(ϕ‘𝑁))) = (((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) − (1 · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁)))))
376253zcnd 11521 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴↑(ϕ‘𝑁)) ∈ ℂ)
377 ax-1cn 10032 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
378 subdir 10502 . . . . . . 7 (((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁)) ∈ ℂ) → (((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) = (((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) − (1 · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁)))))
379377, 378mp3an2 1452 . . . . . 6 (((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) ∈ ℂ ∧ (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁)) ∈ ℂ) → (((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) = (((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) − (1 · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁)))))
380376, 372, 379syl2anc 694 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) = (((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) − (1 · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁)))))
381 zsubcl 11457 . . . . . . . 8 (((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1) ∈ ℤ)
382253, 83, 381sylancl 695 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1) ∈ ℤ)
383382zcnd 11521 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1) ∈ ℂ)
384383, 372mulcomd 10099 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) = ((seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁)) · ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1)))
385375, 380, 3843eqtr2d 2691 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) · (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) − (seq1( · , 𝐺)‘(ϕ‘𝑁))) = ((seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁)) · ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1)))
386371, 385breqtrd 4711 . . 3 (𝜑𝑁 ∥ ((seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁)) · ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1)))
387249simprd 478 . . 3 (𝜑 → (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) = 1)
388 coprmdvds 15413 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁)) ∈ ℤ ∧ ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1) ∈ ℤ) → ((𝑁 ∥ ((seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁)) · ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1)) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) = 1) → 𝑁 ∥ ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1)))
389102, 257, 382, 388syl3anc 1366 . . 3 (𝜑 → ((𝑁 ∥ ((seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁)) · ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1)) ∧ (𝑁 gcd (seq1( · , 𝐹)‘(ϕ‘𝑁))) = 1) → 𝑁 ∥ ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1)))
390386, 387, 389mp2and 715 . 2 (𝜑𝑁 ∥ ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1))
391 moddvds 15038 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑(ϕ‘𝑁)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1)))
39283, 391mp3an3 1453 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑(ϕ‘𝑁)) ∈ ℤ) → (((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1)))
3932, 253, 392syl2anc 694 . 2 (𝜑 → (((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) − 1)))
394390, 393mpbird 247 1 (𝜑 → ((𝐴↑(ϕ‘𝑁)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  {crab 2945  Vcvv 3231  wss 3607   class class class wbr 4685  cmpt 4762  ccnv 5142  ccom 5147  wf 5922  1-1wf1 5923  1-1-ontowf1o 5925  cfv 5926  (class class class)co 6690  cen 7994  Fincfn 7997  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304  cn 11058  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725  +crp 11870  ...cfz 12364  ..^cfzo 12504   mod cmo 12708  seqcseq 12841  cexp 12900  cdvds 15027   gcd cgcd 15263  ϕcphi 15516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-dvds 15028  df-gcd 15264  df-phi 15518
This theorem is referenced by:  eulerth  15535
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