Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eulerpath Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eulerpath 27219
 Description: A pseudograph with an Eulerian path has either zero or two vertices of odd degree. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.) (Revised by AV, 26-Feb-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
eulerpathpr.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
eulerpath ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (EulerPaths‘𝐺) ≠ ∅) → (#‘{𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ∈ {0, 2})
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑉

Proof of Theorem eulerpath
Dummy variables 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 releupth 27177 . . . . . 6 Rel (EulerPaths‘𝐺)
2 reldm0 5375 . . . . . 6 (Rel (EulerPaths‘𝐺) → ((EulerPaths‘𝐺) = ∅ ↔ dom (EulerPaths‘𝐺) = ∅))
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 ((EulerPaths‘𝐺) = ∅ ↔ dom (EulerPaths‘𝐺) = ∅)
43necon3bii 2875 . . . 4 ((EulerPaths‘𝐺) ≠ ∅ ↔ dom (EulerPaths‘𝐺) ≠ ∅)
5 n0 3964 . . . 4 (dom (EulerPaths‘𝐺) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ dom (EulerPaths‘𝐺))
64, 5bitri 264 . . 3 ((EulerPaths‘𝐺) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ dom (EulerPaths‘𝐺))
7 vex 3234 . . . . . 6 𝑓 ∈ V
87eldm 5353 . . . . 5 (𝑓 ∈ dom (EulerPaths‘𝐺) ↔ ∃𝑝 𝑓(EulerPaths‘𝐺)𝑝)
9 eulerpathpr.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
109eulerpathpr 27218 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑓(EulerPaths‘𝐺)𝑝) → (#‘{𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ∈ {0, 2})
1110expcom 450 . . . . . 6 (𝑓(EulerPaths‘𝐺)𝑝 → (𝐺 ∈ UPGraph → (#‘{𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ∈ {0, 2}))
1211exlimiv 1898 . . . . 5 (∃𝑝 𝑓(EulerPaths‘𝐺)𝑝 → (𝐺 ∈ UPGraph → (#‘{𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ∈ {0, 2}))
138, 12sylbi 207 . . . 4 (𝑓 ∈ dom (EulerPaths‘𝐺) → (𝐺 ∈ UPGraph → (#‘{𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ∈ {0, 2}))
1413exlimiv 1898 . . 3 (∃𝑓 𝑓 ∈ dom (EulerPaths‘𝐺) → (𝐺 ∈ UPGraph → (#‘{𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ∈ {0, 2}))
156, 14sylbi 207 . 2 ((EulerPaths‘𝐺) ≠ ∅ → (𝐺 ∈ UPGraph → (#‘{𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ∈ {0, 2}))
1615impcom 445 1 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (EulerPaths‘𝐺) ≠ ∅) → (#‘{𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ∈ {0, 2})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523  ∃wex 1744   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  {crab 2945  ∅c0 3948  {cpr 4212   class class class wbr 4685  dom cdm 5143  Rel wrel 5148  ‘cfv 5926  0cc0 9974  2c2 11108  #chash 13157   ∥ cdvds 15027  Vtxcvtx 25919  UPGraphcupgr 26020  VtxDegcvtxdg 26417  EulerPathsceupth 27175 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1033  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-xadd 11985  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-word 13331  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-dvds 15028  df-vtx 25921  df-iedg 25922  df-edg 25985  df-uhgr 25998  df-ushgr 25999  df-upgr 26022  df-uspgr 26090  df-vtxdg 26418  df-wlks 26551  df-trls 26645  df-eupth 27176 This theorem is referenced by:  konigsberg  27235
 Copyright terms: Public domain W3C validator