Theorem eulerpartlemsv3 30551

Description: Lemma for eulerpart 30572. Value of the sum of a finite partition 𝐴 (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Aug-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
eulerpartlems.r	⊢ 𝑅 = {𝑓 ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
eulerpartlems.s	⊢ 𝑆 = (𝑓 ∈ ((ℕ0 ↑𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘))

Assertion

Ref	Expression
eulerpartlemsv3	⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → (𝑆‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ (1...(𝑆‘𝐴))((𝐴‘𝑘) · 𝑘))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑘,𝐴   𝑅,𝑓,𝑘   𝑆,𝑘

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑓)

Proof of Theorem eulerpartlemsv3

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerpartlems.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = {𝑓 ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
2		eulerpartlems.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑓 ∈ ((ℕ0 ↑𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘))
3	1, 2	eulerpartlemsv1 30546	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → (𝑆‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘))
4		fzssuz 12420	. . . . 5 ⊢ (1...(𝑆‘𝐴)) ⊆ (ℤ≥‘1)
5		nnuz 11761	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
6	4, 5	sseqtr4i 3671	. . . 4 ⊢ (1...(𝑆‘𝐴)) ⊆ ℕ
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → (1...(𝑆‘𝐴)) ⊆ ℕ)
8	1, 2	eulerpartlemelr 30547	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → (𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin))
9	8	simpld 474	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → 𝐴:ℕ⟶ℕ0)
10	9	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑆‘𝐴))) → 𝐴:ℕ⟶ℕ0)
11	7	sselda 3636	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑆‘𝐴))) → 𝑘 ∈ ℕ)
12	10, 11	ffvelrnd 6400	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑆‘𝐴))) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℕ0)
13	12	nn0cnd 11391	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑆‘𝐴))) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
14	11	nncnd 11074	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑆‘𝐴))) → 𝑘 ∈ ℂ)
15	13, 14	mulcld 10098	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑆‘𝐴))) → ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) ∈ ℂ)
16	1, 2	eulerpartlems 30550	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (ℤ≥‘((𝑆‘𝐴) + 1))) → (𝐴‘𝑡) = 0)
17	16	ralrimiva 2995	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → ∀𝑡 ∈ (ℤ≥‘((𝑆‘𝐴) + 1))(𝐴‘𝑡) = 0)
18		fveq2 6229	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑡 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘𝑡))
19	18	eqeq1d 2653	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑡 → ((𝐴‘𝑘) = 0 ↔ (𝐴‘𝑡) = 0))
20	19	cbvralv 3201	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑆‘𝐴) + 1))(𝐴‘𝑘) = 0 ↔ ∀𝑡 ∈ (ℤ≥‘((𝑆‘𝐴) + 1))(𝐴‘𝑡) = 0)
21	17, 20	sylibr 224	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑆‘𝐴) + 1))(𝐴‘𝑘) = 0)
22	1, 2	eulerpartlemsf 30549	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆:((ℕ0 ↑𝑚 ℕ) ∩ 𝑅)⟶ℕ0
23	22	ffvelrni 6398	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → (𝑆‘𝐴) ∈ ℕ0)
24		nndiffz1 29676	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆‘𝐴) ∈ ℕ0 → (ℕ ∖ (1...(𝑆‘𝐴))) = (ℤ≥‘((𝑆‘𝐴) + 1)))
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → (ℕ ∖ (1...(𝑆‘𝐴))) = (ℤ≥‘((𝑆‘𝐴) + 1)))
26	25	raleqdv 3174	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → (∀𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆‘𝐴)))(𝐴‘𝑘) = 0 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑆‘𝐴) + 1))(𝐴‘𝑘) = 0))
27	21, 26	mpbird 247	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → ∀𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆‘𝐴)))(𝐴‘𝑘) = 0)
28	27	r19.21bi 2961	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆‘𝐴)))) → (𝐴‘𝑘) = 0)
29	28	oveq1d 6705	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆‘𝐴)))) → ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = (0 · 𝑘))
30		simpr 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆‘𝐴)))) → 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆‘𝐴))))
31	30	eldifad 3619	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆‘𝐴)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
32	31	nncnd 11074	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆‘𝐴)))) → 𝑘 ∈ ℂ)
33	32	mul02d 10272	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆‘𝐴)))) → (0 · 𝑘) = 0)
34	29, 33	eqtrd 2685	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆‘𝐴)))) → ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 0)
35	5	eqimssi 3692	. . . 4 ⊢ ℕ ⊆ (ℤ≥‘1)
36	35	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → ℕ ⊆ (ℤ≥‘1))
37	7, 15, 34, 36	sumss 14499	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑆‘𝐴))((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘))
38	3, 37	eqtr4d 2688	1 ⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → (𝑆‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ (1...(𝑆‘𝐴))((𝐴‘𝑘) · 𝑘))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  {cab 2637  ∀wral 2941   ∖ cdif 3604   ∩ cin 3606   ⊆ wss 3607   ↦ cmpt 4762  ^◡ccnv 5142   “ cima 5146  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ↑_𝑚 cmap 7899  Fincfn 7997  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  ℕcn 11058  ℕ₀cn0 11330  ℤ_≥cuz 11725  ...cfz 12364  Σcsu 14460

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461

This theorem is referenced by:  eulerpartlemgc  30552