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Theorem eulerpartlems 30550
Description: Lemma for eulerpart 30572. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Aug-2018.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpartlems.r 𝑅 = {𝑓 ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
eulerpartlems.s 𝑆 = (𝑓 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓𝑘) · 𝑘))
Assertion
Ref Expression
eulerpartlems ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (ℤ‘((𝑆𝐴) + 1))) → (𝐴𝑡) = 0)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑘,𝐴   𝑅,𝑓,𝑘   𝑡,𝑘,𝐴   𝑡,𝑅   𝑡,𝑆
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑓,𝑘)

Proof of Theorem eulerpartlems
Dummy variables 𝑙 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eulerpartlems.r . . . . . 6 𝑅 = {𝑓 ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
2 eulerpartlems.s . . . . . 6 𝑆 = (𝑓 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓𝑘) · 𝑘))
31, 2eulerpartlemsf 30549 . . . . 5 𝑆:((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅)⟶ℕ0
43ffvelrni 6398 . . . 4 (𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → (𝑆𝐴) ∈ ℕ0)
5 nndiffz1 29676 . . . . 5 ((𝑆𝐴) ∈ ℕ0 → (ℕ ∖ (1...(𝑆𝐴))) = (ℤ‘((𝑆𝐴) + 1)))
65eleq2d 2716 . . . 4 ((𝑆𝐴) ∈ ℕ0 → (𝑡 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆𝐴))) ↔ 𝑡 ∈ (ℤ‘((𝑆𝐴) + 1))))
74, 6syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → (𝑡 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆𝐴))) ↔ 𝑡 ∈ (ℤ‘((𝑆𝐴) + 1))))
87pm5.32i 670 . 2 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆𝐴)))) ↔ (𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (ℤ‘((𝑆𝐴) + 1))))
9 simpr 476 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆𝐴)))) → 𝑡 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆𝐴))))
10 eldif 3617 . . . . . 6 (𝑡 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆𝐴))) ↔ (𝑡 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑡 ∈ (1...(𝑆𝐴))))
119, 10sylib 208 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆𝐴)))) → (𝑡 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑡 ∈ (1...(𝑆𝐴))))
1211simpld 474 . . . 4 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆𝐴)))) → 𝑡 ∈ ℕ)
131, 2eulerpartlemelr 30547 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → (𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin))
1413simpld 474 . . . . 5 (𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → 𝐴:ℕ⟶ℕ0)
1514ffvelrnda 6399 . . . 4 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → (𝐴𝑡) ∈ ℕ0)
1612, 15syldan 486 . . 3 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆𝐴)))) → (𝐴𝑡) ∈ ℕ0)
17 simpl 472 . . . 4 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆𝐴)))) → 𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅))
184adantr 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆𝐴)))) → (𝑆𝐴) ∈ ℕ0)
1911simprd 478 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆𝐴)))) → ¬ 𝑡 ∈ (1...(𝑆𝐴)))
20 simpl 472 . . . . . . . . . 10 ((𝑡 ∈ ℕ ∧ (𝑆𝐴) ∈ ℕ0) → 𝑡 ∈ ℕ)
21 nnuz 11761 . . . . . . . . . 10 ℕ = (ℤ‘1)
2220, 21syl6eleq 2740 . . . . . . . . 9 ((𝑡 ∈ ℕ ∧ (𝑆𝐴) ∈ ℕ0) → 𝑡 ∈ (ℤ‘1))
23 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((𝑡 ∈ ℕ ∧ (𝑆𝐴) ∈ ℕ0) → (𝑆𝐴) ∈ ℕ0)
2423nn0zd 11518 . . . . . . . . 9 ((𝑡 ∈ ℕ ∧ (𝑆𝐴) ∈ ℕ0) → (𝑆𝐴) ∈ ℤ)
25 elfz5 12372 . . . . . . . . 9 ((𝑡 ∈ (ℤ‘1) ∧ (𝑆𝐴) ∈ ℤ) → (𝑡 ∈ (1...(𝑆𝐴)) ↔ 𝑡 ≤ (𝑆𝐴)))
2622, 24, 25syl2anc 694 . . . . . . . 8 ((𝑡 ∈ ℕ ∧ (𝑆𝐴) ∈ ℕ0) → (𝑡 ∈ (1...(𝑆𝐴)) ↔ 𝑡 ≤ (𝑆𝐴)))
2726notbid 307 . . . . . . 7 ((𝑡 ∈ ℕ ∧ (𝑆𝐴) ∈ ℕ0) → (¬ 𝑡 ∈ (1...(𝑆𝐴)) ↔ ¬ 𝑡 ≤ (𝑆𝐴)))
2823nn0red 11390 . . . . . . . 8 ((𝑡 ∈ ℕ ∧ (𝑆𝐴) ∈ ℕ0) → (𝑆𝐴) ∈ ℝ)
2920nnred 11073 . . . . . . . 8 ((𝑡 ∈ ℕ ∧ (𝑆𝐴) ∈ ℕ0) → 𝑡 ∈ ℝ)
3028, 29ltnled 10222 . . . . . . 7 ((𝑡 ∈ ℕ ∧ (𝑆𝐴) ∈ ℕ0) → ((𝑆𝐴) < 𝑡 ↔ ¬ 𝑡 ≤ (𝑆𝐴)))
3127, 30bitr4d 271 . . . . . 6 ((𝑡 ∈ ℕ ∧ (𝑆𝐴) ∈ ℕ0) → (¬ 𝑡 ∈ (1...(𝑆𝐴)) ↔ (𝑆𝐴) < 𝑡))
3231biimpa 500 . . . . 5 (((𝑡 ∈ ℕ ∧ (𝑆𝐴) ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (1...(𝑆𝐴))) → (𝑆𝐴) < 𝑡)
3312, 18, 19, 32syl21anc 1365 . . . 4 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆𝐴)))) → (𝑆𝐴) < 𝑡)
341, 2eulerpartlemsv1 30546 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → (𝑆𝐴) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴𝑘) · 𝑘))
35 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑡 → (𝐴𝑘) = (𝐴𝑡))
36 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑡𝑘 = 𝑡)
3735, 36oveq12d 6708 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑡 → ((𝐴𝑘) · 𝑘) = ((𝐴𝑡) · 𝑡))
3837cbvsumv 14470 . . . . . . . . . 10 Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴𝑘) · 𝑘) = Σ𝑡 ∈ ℕ ((𝐴𝑡) · 𝑡)
3934, 38syl6req 2702 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → Σ𝑡 ∈ ℕ ((𝐴𝑡) · 𝑡) = (𝑆𝐴))
40 breq2 4689 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 = 𝑙 → ((𝑆𝐴) < 𝑡 ↔ (𝑆𝐴) < 𝑙))
41 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 = 𝑙 → (𝐴𝑡) = (𝐴𝑙))
4241breq2d 4697 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 = 𝑙 → (0 < (𝐴𝑡) ↔ 0 < (𝐴𝑙)))
4340, 42anbi12d 747 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = 𝑙 → (((𝑆𝐴) < 𝑡 ∧ 0 < (𝐴𝑡)) ↔ ((𝑆𝐴) < 𝑙 ∧ 0 < (𝐴𝑙))))
4443cbvrexv 3202 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑡 ∈ ℕ ((𝑆𝐴) < 𝑡 ∧ 0 < (𝐴𝑡)) ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ ((𝑆𝐴) < 𝑙 ∧ 0 < (𝐴𝑙)))
454adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ ∃𝑙 ∈ ℕ ((𝑆𝐴) < 𝑙 ∧ 0 < (𝐴𝑙))) → (𝑆𝐴) ∈ ℕ0)
4645nn0red 11390 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ ∃𝑙 ∈ ℕ ((𝑆𝐴) < 𝑙 ∧ 0 < (𝐴𝑙))) → (𝑆𝐴) ∈ ℝ)
474ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ ((𝑆𝐴) < 𝑙 ∧ 0 < (𝐴𝑙))) → (𝑆𝐴) ∈ ℕ0)
4847nn0red 11390 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ ((𝑆𝐴) < 𝑙 ∧ 0 < (𝐴𝑙))) → (𝑆𝐴) ∈ ℝ)
49 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → 𝑙 ∈ ℕ)
5049adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ ((𝑆𝐴) < 𝑙 ∧ 0 < (𝐴𝑙))) → 𝑙 ∈ ℕ)
5150nnred 11073 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ ((𝑆𝐴) < 𝑙 ∧ 0 < (𝐴𝑙))) → 𝑙 ∈ ℝ)
52 1zzd 11446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℤ)
5314ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → 𝐴:ℕ⟶ℕ0)
54 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → 𝑡 ∈ ℕ)
55 eqidd 2652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑡 ∈ ℕ) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑚) · 𝑚)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑚) · 𝑚)))
56 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑡 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 = 𝑡) → 𝑚 = 𝑡)
5756fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑡 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 = 𝑡) → (𝐴𝑚) = (𝐴𝑡))
5857, 56oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑡 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 = 𝑡) → ((𝐴𝑚) · 𝑚) = ((𝐴𝑡) · 𝑡))
59 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑡 ∈ ℕ) → 𝑡 ∈ ℕ)
60 ffvelrn 6397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑡 ∈ ℕ) → (𝐴𝑡) ∈ ℕ0)
6159nnnn0d 11389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑡 ∈ ℕ) → 𝑡 ∈ ℕ0)
6260, 61nn0mulcld 11394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑡 ∈ ℕ) → ((𝐴𝑡) · 𝑡) ∈ ℕ0)
6355, 58, 59, 62fvmptd 6327 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑡 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑚) · 𝑚))‘𝑡) = ((𝐴𝑡) · 𝑡))
6453, 54, 63syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑚) · 𝑚))‘𝑡) = ((𝐴𝑡) · 𝑡))
6514adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → 𝐴:ℕ⟶ℕ0)
6665ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → (𝐴𝑡) ∈ ℕ0)
6754nnnn0d 11389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → 𝑡 ∈ ℕ0)
6866, 67nn0mulcld 11394 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → ((𝐴𝑡) · 𝑡) ∈ ℕ0)
6968nn0red 11390 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → ((𝐴𝑡) · 𝑡) ∈ ℝ)
70 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑚 = 𝑡 → (𝐴𝑚) = (𝐴𝑡))
71 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑚 = 𝑡𝑚 = 𝑡)
7270, 71oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑚 = 𝑡 → ((𝐴𝑚) · 𝑚) = ((𝐴𝑡) · 𝑡))
7372cbvmptv 4783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑚) · 𝑚)) = (𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑡) · 𝑡))
7468, 73fmptd 6425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑚) · 𝑚)):ℕ⟶ℕ0)
75 nn0sscn 11335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ⊆ ℂ
76 fss 6094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑚) · 𝑚)):ℕ⟶ℕ0 ∧ ℕ0 ⊆ ℂ) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑚) · 𝑚)):ℕ⟶ℂ)
7774, 75, 76sylancl 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑚) · 𝑚)):ℕ⟶ℂ)
78 nnex 11064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ℕ ∈ V
79 0nn0 11345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 0 ∈ ℕ0
80 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (ℂ ∖ {0}) = (ℂ ∖ {0})
8180ffs2 29631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((ℕ ∈ V ∧ 0 ∈ ℕ0 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑚) · 𝑚)):ℕ⟶ℂ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑚) · 𝑚)) supp 0) = ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑚) · 𝑚)) “ (ℂ ∖ {0})))
8278, 79, 81mp3an12 1454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑚) · 𝑚)):ℕ⟶ℂ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑚) · 𝑚)) supp 0) = ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑚) · 𝑚)) “ (ℂ ∖ {0})))
8377, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑚) · 𝑚)) supp 0) = ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑚) · 𝑚)) “ (ℂ ∖ {0})))
84 frnnn0supp 11387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((ℕ ∈ V ∧ 𝐴:ℕ⟶ℕ0) → (𝐴 supp 0) = (𝐴 “ ℕ))
8578, 65, 84sylancr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (𝐴 supp 0) = (𝐴 “ ℕ))
8613simprd 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin)
8786adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin)
8885, 87eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (𝐴 supp 0) ∈ Fin)
8978a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → ℕ ∈ V)
9079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → 0 ∈ ℕ0)
91 ffn 6083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴:ℕ⟶ℕ0𝐴 Fn ℕ)
92 simp3 1083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑡 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑡) = 0) → (𝐴𝑡) = 0)
9392oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑡 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑡) = 0) → ((𝐴𝑡) · 𝑡) = (0 · 𝑡))
94 simp2 1082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑡 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑡) = 0) → 𝑡 ∈ ℕ)
9594nncnd 11074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑡 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑡) = 0) → 𝑡 ∈ ℂ)
9695mul02d 10272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑡 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑡) = 0) → (0 · 𝑡) = 0)
9793, 96eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑡 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑡) = 0) → ((𝐴𝑡) · 𝑡) = 0)
9873, 89, 90, 91, 97suppss3 29630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑚) · 𝑚)) supp 0) ⊆ (𝐴 supp 0))
9965, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑚) · 𝑚)) supp 0) ⊆ (𝐴 supp 0))
100 ssfi 8221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 supp 0) ∈ Fin ∧ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑚) · 𝑚)) supp 0) ⊆ (𝐴 supp 0)) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑚) · 𝑚)) supp 0) ∈ Fin)
10188, 99, 100syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑚) · 𝑚)) supp 0) ∈ Fin)
10283, 101eqeltrrd 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑚) · 𝑚)) “ (ℂ ∖ {0})) ∈ Fin)
10321, 52, 77, 102fsumcvg4 30124 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑚) · 𝑚))) ∈ dom ⇝ )
10421, 52, 64, 69, 103isumrecl 14540 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → Σ𝑡 ∈ ℕ ((𝐴𝑡) · 𝑡) ∈ ℝ)
105104adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ ((𝑆𝐴) < 𝑙 ∧ 0 < (𝐴𝑙))) → Σ𝑡 ∈ ℕ ((𝐴𝑡) · 𝑡) ∈ ℝ)
106 simprl 809 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ ((𝑆𝐴) < 𝑙 ∧ 0 < (𝐴𝑙))) → (𝑆𝐴) < 𝑙)
10714ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (𝐴𝑙) ∈ ℕ0)
108107adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ ((𝑆𝐴) < 𝑙 ∧ 0 < (𝐴𝑙))) → (𝐴𝑙) ∈ ℕ0)
109108nn0red 11390 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ ((𝑆𝐴) < 𝑙 ∧ 0 < (𝐴𝑙))) → (𝐴𝑙) ∈ ℝ)
110109, 51remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ ((𝑆𝐴) < 𝑙 ∧ 0 < (𝐴𝑙))) → ((𝐴𝑙) · 𝑙) ∈ ℝ)
11150nnnn0d 11389 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ ((𝑆𝐴) < 𝑙 ∧ 0 < (𝐴𝑙))) → 𝑙 ∈ ℕ0)
112111nn0ge0d 11392 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ ((𝑆𝐴) < 𝑙 ∧ 0 < (𝐴𝑙))) → 0 ≤ 𝑙)
113 simprr 811 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ ((𝑆𝐴) < 𝑙 ∧ 0 < (𝐴𝑙))) → 0 < (𝐴𝑙))
114 elnnnn0b 11375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴𝑙) ∈ ℕ ↔ ((𝐴𝑙) ∈ ℕ0 ∧ 0 < (𝐴𝑙)))
115 nnge1 11084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴𝑙) ∈ ℕ → 1 ≤ (𝐴𝑙))
116114, 115sylbir 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴𝑙) ∈ ℕ0 ∧ 0 < (𝐴𝑙)) → 1 ≤ (𝐴𝑙))
117108, 113, 116syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ ((𝑆𝐴) < 𝑙 ∧ 0 < (𝐴𝑙))) → 1 ≤ (𝐴𝑙))
11851, 109, 112, 117lemulge12d 11000 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ ((𝑆𝐴) < 𝑙 ∧ 0 < (𝐴𝑙))) → 𝑙 ≤ ((𝐴𝑙) · 𝑙))
119107nn0cnd 11391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (𝐴𝑙) ∈ ℂ)
12049nncnd 11074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → 𝑙 ∈ ℂ)
121119, 120mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → ((𝐴𝑙) · 𝑙) ∈ ℂ)
122 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑡 = 𝑙𝑡 = 𝑙)
12341, 122oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑡 = 𝑙 → ((𝐴𝑡) · 𝑡) = ((𝐴𝑙) · 𝑙))
124123sumsn 14519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑙 ∈ ℕ ∧ ((𝐴𝑙) · 𝑙) ∈ ℂ) → Σ𝑡 ∈ {𝑙} ((𝐴𝑡) · 𝑡) = ((𝐴𝑙) · 𝑙))
12549, 121, 124syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → Σ𝑡 ∈ {𝑙} ((𝐴𝑡) · 𝑡) = ((𝐴𝑙) · 𝑙))
126 snfi 8079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 {𝑙} ∈ Fin
127126a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → {𝑙} ∈ Fin)
12849snssd 4372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → {𝑙} ⊆ ℕ)
12968nn0ge0d 11392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐴𝑡) · 𝑡))
13021, 52, 127, 128, 64, 69, 129, 103isumless 14621 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → Σ𝑡 ∈ {𝑙} ((𝐴𝑡) · 𝑡) ≤ Σ𝑡 ∈ ℕ ((𝐴𝑡) · 𝑡))
131125, 130eqbrtrrd 4709 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → ((𝐴𝑙) · 𝑙) ≤ Σ𝑡 ∈ ℕ ((𝐴𝑡) · 𝑡))
132131adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ ((𝑆𝐴) < 𝑙 ∧ 0 < (𝐴𝑙))) → ((𝐴𝑙) · 𝑙) ≤ Σ𝑡 ∈ ℕ ((𝐴𝑡) · 𝑡))
13351, 110, 105, 118, 132letrd 10232 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ ((𝑆𝐴) < 𝑙 ∧ 0 < (𝐴𝑙))) → 𝑙 ≤ Σ𝑡 ∈ ℕ ((𝐴𝑡) · 𝑡))
13448, 51, 105, 106, 133ltletrd 10235 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ ((𝑆𝐴) < 𝑙 ∧ 0 < (𝐴𝑙))) → (𝑆𝐴) < Σ𝑡 ∈ ℕ ((𝐴𝑡) · 𝑡))
135134r19.29an 3106 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ ∃𝑙 ∈ ℕ ((𝑆𝐴) < 𝑙 ∧ 0 < (𝐴𝑙))) → (𝑆𝐴) < Σ𝑡 ∈ ℕ ((𝐴𝑡) · 𝑡))
13646, 135gtned 10210 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ ∃𝑙 ∈ ℕ ((𝑆𝐴) < 𝑙 ∧ 0 < (𝐴𝑙))) → Σ𝑡 ∈ ℕ ((𝐴𝑡) · 𝑡) ≠ (𝑆𝐴))
137136ex 449 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → (∃𝑙 ∈ ℕ ((𝑆𝐴) < 𝑙 ∧ 0 < (𝐴𝑙)) → Σ𝑡 ∈ ℕ ((𝐴𝑡) · 𝑡) ≠ (𝑆𝐴)))
13844, 137syl5bi 232 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → (∃𝑡 ∈ ℕ ((𝑆𝐴) < 𝑡 ∧ 0 < (𝐴𝑡)) → Σ𝑡 ∈ ℕ ((𝐴𝑡) · 𝑡) ≠ (𝑆𝐴)))
139138necon2bd 2839 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → (Σ𝑡 ∈ ℕ ((𝐴𝑡) · 𝑡) = (𝑆𝐴) → ¬ ∃𝑡 ∈ ℕ ((𝑆𝐴) < 𝑡 ∧ 0 < (𝐴𝑡))))
14039, 139mpd 15 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → ¬ ∃𝑡 ∈ ℕ ((𝑆𝐴) < 𝑡 ∧ 0 < (𝐴𝑡)))
141 ralnex 3021 . . . . . . . 8 (∀𝑡 ∈ ℕ ¬ ((𝑆𝐴) < 𝑡 ∧ 0 < (𝐴𝑡)) ↔ ¬ ∃𝑡 ∈ ℕ ((𝑆𝐴) < 𝑡 ∧ 0 < (𝐴𝑡)))
142140, 141sylibr 224 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → ∀𝑡 ∈ ℕ ¬ ((𝑆𝐴) < 𝑡 ∧ 0 < (𝐴𝑡)))
143 imnan 437 . . . . . . . 8 (((𝑆𝐴) < 𝑡 → ¬ 0 < (𝐴𝑡)) ↔ ¬ ((𝑆𝐴) < 𝑡 ∧ 0 < (𝐴𝑡)))
144143ralbii 3009 . . . . . . 7 (∀𝑡 ∈ ℕ ((𝑆𝐴) < 𝑡 → ¬ 0 < (𝐴𝑡)) ↔ ∀𝑡 ∈ ℕ ¬ ((𝑆𝐴) < 𝑡 ∧ 0 < (𝐴𝑡)))
145142, 144sylibr 224 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → ∀𝑡 ∈ ℕ ((𝑆𝐴) < 𝑡 → ¬ 0 < (𝐴𝑡)))
146145r19.21bi 2961 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → ((𝑆𝐴) < 𝑡 → ¬ 0 < (𝐴𝑡)))
147146imp 444 . . . 4 (((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ ℕ) ∧ (𝑆𝐴) < 𝑡) → ¬ 0 < (𝐴𝑡))
14817, 12, 33, 147syl21anc 1365 . . 3 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆𝐴)))) → ¬ 0 < (𝐴𝑡))
149 nn0re 11339 . . . . . 6 ((𝐴𝑡) ∈ ℕ0 → (𝐴𝑡) ∈ ℝ)
150 0red 10079 . . . . . 6 ((𝐴𝑡) ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℝ)
151149, 150lenltd 10221 . . . . 5 ((𝐴𝑡) ∈ ℕ0 → ((𝐴𝑡) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < (𝐴𝑡)))
152 nn0le0eq0 11359 . . . . 5 ((𝐴𝑡) ∈ ℕ0 → ((𝐴𝑡) ≤ 0 ↔ (𝐴𝑡) = 0))
153151, 152bitr3d 270 . . . 4 ((𝐴𝑡) ∈ ℕ0 → (¬ 0 < (𝐴𝑡) ↔ (𝐴𝑡) = 0))
154153biimpa 500 . . 3 (((𝐴𝑡) ∈ ℕ0 ∧ ¬ 0 < (𝐴𝑡)) → (𝐴𝑡) = 0)
15516, 148, 154syl2anc 694 . 2 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆𝐴)))) → (𝐴𝑡) = 0)
1568, 155sylbir 225 1 ((𝐴 ∈ ((ℕ0𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (ℤ‘((𝑆𝐴) + 1))) → (𝐴𝑡) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  {cab 2637  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  Vcvv 3231  cdif 3604  cin 3606  wss 3607  {csn 4210   class class class wbr 4685  cmpt 4762  ccnv 5142  cima 5146  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690   supp csupp 7340  𝑚 cmap 7899  Fincfn 7997  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112  cle 10113  cn 11058  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725  ...cfz 12364  Σcsu 14460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461
This theorem is referenced by:  eulerpartlemsv3  30551  eulerpartlemgc  30552
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