Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eulerpartlemd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eulerpartlemd 30737
Description: Lemma for eulerpart 30753: 𝐷 is the set of distinct part. of 𝑁. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Aug-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpart.p 𝑃 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 ℕ) ∣ ((𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓𝑘) · 𝑘) = 𝑁)}
eulerpart.o 𝑂 = {𝑔𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ (𝑔 “ ℕ) ¬ 2 ∥ 𝑛}
eulerpart.d 𝐷 = {𝑔𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ≤ 1}
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemd (𝐴𝐷 ↔ (𝐴𝑃 ∧ (𝐴 “ ℕ) ⊆ {0, 1}))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝐴   𝑓,𝑁   𝑃,𝑔,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓,𝑔,𝑘,𝑛)   𝑃(𝑓,𝑘)   𝑁(𝑔,𝑘,𝑛)   𝑂(𝑓,𝑔,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem eulerpartlemd
StepHypRef Expression
1 fveq1 6351 . . . . 5 (𝑔 = 𝐴 → (𝑔𝑛) = (𝐴𝑛))
21breq1d 4814 . . . 4 (𝑔 = 𝐴 → ((𝑔𝑛) ≤ 1 ↔ (𝐴𝑛) ≤ 1))
32ralbidv 3124 . . 3 (𝑔 = 𝐴 → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ≤ 1 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝑛) ≤ 1))
4 eulerpart.d . . 3 𝐷 = {𝑔𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ≤ 1}
53, 4elrab2 3507 . 2 (𝐴𝐷 ↔ (𝐴𝑃 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝑛) ≤ 1))
6 2z 11601 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℤ
7 fzoval 12665 . . . . . . . . 9 (2 ∈ ℤ → (0..^2) = (0...(2 − 1)))
86, 7ax-mp 5 . . . . . . . 8 (0..^2) = (0...(2 − 1))
9 fzo0to2pr 12747 . . . . . . . 8 (0..^2) = {0, 1}
10 2m1e1 11327 . . . . . . . . 9 (2 − 1) = 1
1110oveq2i 6824 . . . . . . . 8 (0...(2 − 1)) = (0...1)
128, 9, 113eqtr3i 2790 . . . . . . 7 {0, 1} = (0...1)
1312eleq2i 2831 . . . . . 6 ((𝐴𝑛) ∈ {0, 1} ↔ (𝐴𝑛) ∈ (0...1))
14 eulerpart.p . . . . . . . . . 10 𝑃 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 ℕ) ∣ ((𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓𝑘) · 𝑘) = 𝑁)}
1514eulerpartleme 30734 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑃 ↔ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴𝑘) · 𝑘) = 𝑁))
1615simp1bi 1140 . . . . . . . 8 (𝐴𝑃𝐴:ℕ⟶ℕ0)
1716ffvelrnda 6522 . . . . . . 7 ((𝐴𝑃𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴𝑛) ∈ ℕ0)
18 1nn0 11500 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
19 elfz2nn0 12624 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑛) ∈ (0...1) ↔ ((𝐴𝑛) ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑛) ≤ 1))
20 df-3an 1074 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑛) ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑛) ≤ 1) ↔ (((𝐴𝑛) ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴𝑛) ≤ 1))
2119, 20bitri 264 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑛) ∈ (0...1) ↔ (((𝐴𝑛) ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴𝑛) ≤ 1))
2221baib 982 . . . . . . 7 (((𝐴𝑛) ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑛) ∈ (0...1) ↔ (𝐴𝑛) ≤ 1))
2317, 18, 22sylancl 697 . . . . . 6 ((𝐴𝑃𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴𝑛) ∈ (0...1) ↔ (𝐴𝑛) ≤ 1))
2413, 23syl5rbb 273 . . . . 5 ((𝐴𝑃𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴𝑛) ≤ 1 ↔ (𝐴𝑛) ∈ {0, 1}))
2524ralbidva 3123 . . . 4 (𝐴𝑃 → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝑛) ≤ 1 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝑛) ∈ {0, 1}))
26 ffun 6209 . . . . . 6 (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → Fun 𝐴)
2716, 26syl 17 . . . . 5 (𝐴𝑃 → Fun 𝐴)
28 fdm 6212 . . . . . 6 (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → dom 𝐴 = ℕ)
29 eqimss2 3799 . . . . . 6 (dom 𝐴 = ℕ → ℕ ⊆ dom 𝐴)
3016, 28, 293syl 18 . . . . 5 (𝐴𝑃 → ℕ ⊆ dom 𝐴)
31 funimass4 6409 . . . . 5 ((Fun 𝐴 ∧ ℕ ⊆ dom 𝐴) → ((𝐴 “ ℕ) ⊆ {0, 1} ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝑛) ∈ {0, 1}))
3227, 30, 31syl2anc 696 . . . 4 (𝐴𝑃 → ((𝐴 “ ℕ) ⊆ {0, 1} ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝑛) ∈ {0, 1}))
3325, 32bitr4d 271 . . 3 (𝐴𝑃 → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝑛) ≤ 1 ↔ (𝐴 “ ℕ) ⊆ {0, 1}))
3433pm5.32i 672 . 2 ((𝐴𝑃 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴𝑛) ≤ 1) ↔ (𝐴𝑃 ∧ (𝐴 “ ℕ) ⊆ {0, 1}))
355, 34bitri 264 1 (𝐴𝐷 ↔ (𝐴𝑃 ∧ (𝐴 “ ℕ) ⊆ {0, 1}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  {crab 3054  wss 3715  {cpr 4323   class class class wbr 4804  ccnv 5265  dom cdm 5266  cima 5269  Fun wfun 6043  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  𝑚 cmap 8023  Fincfn 8121  0cc0 10128  1c1 10129   · cmul 10133  cle 10267  cmin 10458  cn 11212  2c2 11262  0cn0 11484  cz 11569  ...cfz 12519  ..^cfzo 12659  Σcsu 14615  cdvds 15182
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-seq 12996  df-sum 14616
This theorem is referenced by:  eulerpartlemn  30752
  Copyright terms: Public domain W3C validator