MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eucrct2eupth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eucrct2eupth 27223
Description: Removing one edge (𝐼‘(𝐹𝐽)) from a graph 𝐺 with an Eulerian circuit 𝐹, 𝑃 results in a graph 𝑆 with an Eulerian path 𝐻, 𝑄. (Contributed by AV, 17-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
eucrct2eupth1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
eucrct2eupth1.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
eucrct2eupth1.d (𝜑𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
eucrct2eupth1.c (𝜑𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
eucrct2eupth1.s (Vtx‘𝑆) = 𝑉
eucrct2eupth.n (𝜑𝑁 = (#‘𝐹))
eucrct2eupth.j (𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁))
eucrct2eupth.e (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))))
eucrct2eupth.k 𝐾 = (𝐽 + 1)
eucrct2eupth.h 𝐻 = ((𝐹 cyclShift 𝐾) ↾ (0..^(𝑁 − 1)))
eucrct2eupth.q 𝑄 = (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − 𝑁))))
Assertion
Ref Expression
eucrct2eupth (𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐼   𝑥,𝐽   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑄(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem eucrct2eupth
StepHypRef Expression
1 eucrct2eupth1.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 eucrct2eupth1.i . . . 4 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3 eucrct2eupth1.d . . . . . 6 (𝜑𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
43adantl 481 . . . . 5 ((𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
5 eucrct2eupth.k . . . . . . . 8 𝐾 = (𝐽 + 1)
65eqcomi 2660 . . . . . . 7 (𝐽 + 1) = 𝐾
76oveq2i 6701 . . . . . 6 (𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) = (𝐹 cyclShift 𝐾)
8 oveq1 6697 . . . . . . . . 9 (𝐽 = (𝑁 − 1) → (𝐽 + 1) = ((𝑁 − 1) + 1))
9 eucrct2eupth.j . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁))
10 elfzo0 12548 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁))
11 nncn 11066 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
12113ad2ant2 1103 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
1310, 12sylbi 207 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
14 npcan1 10493 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
159, 13, 143syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
168, 15sylan9eq 2705 . . . . . . . 8 ((𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → (𝐽 + 1) = 𝑁)
1716oveq2d 6706 . . . . . . 7 ((𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → (𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) = (𝐹 cyclShift 𝑁))
18 eucrct2eupth.n . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 = (#‘𝐹))
1918oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 cyclShift 𝑁) = (𝐹 cyclShift (#‘𝐹)))
20 eucrct2eupth1.c . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
21 crctiswlk 26747 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
222wlkf 26566 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
2420, 23syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
25 cshwn 13589 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → (𝐹 cyclShift (#‘𝐹)) = 𝐹)
2624, 25syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 cyclShift (#‘𝐹)) = 𝐹)
2719, 26eqtrd 2685 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 cyclShift 𝑁) = 𝐹)
2827adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → (𝐹 cyclShift 𝑁) = 𝐹)
2917, 28eqtrd 2685 . . . . . 6 ((𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → (𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) = 𝐹)
307, 29syl5eqr 2699 . . . . 5 ((𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → (𝐹 cyclShift 𝐾) = 𝐹)
31 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . 14 (#‘𝐹) = (#‘𝐹)
321, 2, 20, 31crctcshlem1 26765 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
33 fz0sn0fz1 12495 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (0...(#‘𝐹)) = ({0} ∪ (1...(#‘𝐹))))
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0...(#‘𝐹)) = ({0} ∪ (1...(#‘𝐹))))
3534eleq2d 2716 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0...(#‘𝐹)) ↔ 𝑥 ∈ ({0} ∪ (1...(#‘𝐹)))))
36 elun 3786 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ({0} ∪ (1...(#‘𝐹))) ↔ (𝑥 ∈ {0} ∨ 𝑥 ∈ (1...(#‘𝐹))))
3735, 36syl6bb 276 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0...(#‘𝐹)) ↔ (𝑥 ∈ {0} ∨ 𝑥 ∈ (1...(#‘𝐹)))))
38 elsni 4227 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ {0} → 𝑥 = 0)
39 0le0 11148 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ≤ 0
4038, 39syl6eqbr 4724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ {0} → 𝑥 ≤ 0)
4140adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ {0}) → 𝑥 ≤ 0)
4241iftrued 4127 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ {0}) → if(𝑥 ≤ 0, (𝑃‘(𝑥 + 𝑁)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑁) − 𝑁))) = (𝑃‘(𝑥 + 𝑁)))
4318fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑃𝑁) = (𝑃‘(#‘𝐹)))
44 crctprop 26743 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃 → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))))
45 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))
4645eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → (𝑃‘(#‘𝐹)) = (𝑃‘0))
4720, 44, 463syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑃‘(#‘𝐹)) = (𝑃‘0))
4843, 47eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑃𝑁) = (𝑃‘0))
4948adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 = 0) → (𝑃𝑁) = (𝑃‘0))
50 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 0 → (𝑥 + 𝑁) = (0 + 𝑁))
519, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
5251addid2d 10275 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (0 + 𝑁) = 𝑁)
5350, 52sylan9eqr 2707 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 = 0) → (𝑥 + 𝑁) = 𝑁)
5453fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 = 0) → (𝑃‘(𝑥 + 𝑁)) = (𝑃𝑁))
55 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 0 → (𝑃𝑥) = (𝑃‘0))
5655adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 = 0) → (𝑃𝑥) = (𝑃‘0))
5749, 54, 563eqtr4d 2695 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 = 0) → (𝑃‘(𝑥 + 𝑁)) = (𝑃𝑥))
5838, 57sylan2 490 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ {0}) → (𝑃‘(𝑥 + 𝑁)) = (𝑃𝑥))
5942, 58eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ {0}) → if(𝑥 ≤ 0, (𝑃‘(𝑥 + 𝑁)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑁) − 𝑁))) = (𝑃𝑥))
6059ex 449 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ {0} → if(𝑥 ≤ 0, (𝑃‘(𝑥 + 𝑁)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑁) − 𝑁))) = (𝑃𝑥)))
61 elfznn 12408 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (1...(#‘𝐹)) → 𝑥 ∈ ℕ)
62 nnnle0 11089 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℕ → ¬ 𝑥 ≤ 0)
6361, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (1...(#‘𝐹)) → ¬ 𝑥 ≤ 0)
6463adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(#‘𝐹))) → ¬ 𝑥 ≤ 0)
6564iffalsed 4130 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(#‘𝐹))) → if(𝑥 ≤ 0, (𝑃‘(𝑥 + 𝑁)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑁) − 𝑁))) = (𝑃‘((𝑥 + 𝑁) − 𝑁)))
6661nncnd 11074 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (1...(#‘𝐹)) → 𝑥 ∈ ℂ)
6766adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(#‘𝐹))) → 𝑥 ∈ ℂ)
6851adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(#‘𝐹))) → 𝑁 ∈ ℂ)
6967, 68pncand 10431 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(#‘𝐹))) → ((𝑥 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑥)
7069fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(#‘𝐹))) → (𝑃‘((𝑥 + 𝑁) − 𝑁)) = (𝑃𝑥))
7165, 70eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(#‘𝐹))) → if(𝑥 ≤ 0, (𝑃‘(𝑥 + 𝑁)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑁) − 𝑁))) = (𝑃𝑥))
7271ex 449 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...(#‘𝐹)) → if(𝑥 ≤ 0, (𝑃‘(𝑥 + 𝑁)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑁) − 𝑁))) = (𝑃𝑥)))
7360, 72jaod 394 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑥 ∈ {0} ∨ 𝑥 ∈ (1...(#‘𝐹))) → if(𝑥 ≤ 0, (𝑃‘(𝑥 + 𝑁)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑁) − 𝑁))) = (𝑃𝑥)))
7437, 73sylbid 230 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0...(#‘𝐹)) → if(𝑥 ≤ 0, (𝑃‘(𝑥 + 𝑁)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑁) − 𝑁))) = (𝑃𝑥)))
7574imp 444 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0...(#‘𝐹))) → if(𝑥 ≤ 0, (𝑃‘(𝑥 + 𝑁)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑁) − 𝑁))) = (𝑃𝑥))
7675mpteq2dva 4777 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0...(#‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ 0, (𝑃‘(𝑥 + 𝑁)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑁) − 𝑁)))) = (𝑥 ∈ (0...(#‘𝐹)) ↦ (𝑃𝑥)))
7776adantl 481 . . . . . 6 ((𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → (𝑥 ∈ (0...(#‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ 0, (𝑃‘(𝑥 + 𝑁)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑁) − 𝑁)))) = (𝑥 ∈ (0...(#‘𝐹)) ↦ (𝑃𝑥)))
785oveq2i 6701 . . . . . . . . . 10 (𝑁𝐾) = (𝑁 − (𝐽 + 1))
798oveq2d 6706 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 = (𝑁 − 1) → (𝑁 − (𝐽 + 1)) = (𝑁 − ((𝑁 − 1) + 1)))
8015oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁 − ((𝑁 − 1) + 1)) = (𝑁𝑁))
8151subidd 10418 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁𝑁) = 0)
8280, 81eqtrd 2685 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 − ((𝑁 − 1) + 1)) = 0)
8379, 82sylan9eq 2705 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → (𝑁 − (𝐽 + 1)) = 0)
8478, 83syl5eq 2697 . . . . . . . . 9 ((𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → (𝑁𝐾) = 0)
8584breq2d 4697 . . . . . . . 8 ((𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → (𝑥 ≤ (𝑁𝐾) ↔ 𝑥 ≤ 0))
865oveq2i 6701 . . . . . . . . . 10 (𝑥 + 𝐾) = (𝑥 + (𝐽 + 1))
8786fveq2i 6232 . . . . . . . . 9 (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)) = (𝑃‘(𝑥 + (𝐽 + 1)))
888oveq2d 6706 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 = (𝑁 − 1) → (𝑥 + (𝐽 + 1)) = (𝑥 + ((𝑁 − 1) + 1)))
8915oveq2d 6706 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 + ((𝑁 − 1) + 1)) = (𝑥 + 𝑁))
9088, 89sylan9eq 2705 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → (𝑥 + (𝐽 + 1)) = (𝑥 + 𝑁))
9190fveq2d 6233 . . . . . . . . 9 ((𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → (𝑃‘(𝑥 + (𝐽 + 1))) = (𝑃‘(𝑥 + 𝑁)))
9287, 91syl5eq 2697 . . . . . . . 8 ((𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)) = (𝑃‘(𝑥 + 𝑁)))
9386oveq1i 6700 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 + 𝐾) − 𝑁) = ((𝑥 + (𝐽 + 1)) − 𝑁)
9493fveq2i 6232 . . . . . . . . 9 (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − 𝑁)) = (𝑃‘((𝑥 + (𝐽 + 1)) − 𝑁))
9588oveq1d 6705 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 = (𝑁 − 1) → ((𝑥 + (𝐽 + 1)) − 𝑁) = ((𝑥 + ((𝑁 − 1) + 1)) − 𝑁))
9689oveq1d 6705 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑥 + ((𝑁 − 1) + 1)) − 𝑁) = ((𝑥 + 𝑁) − 𝑁))
9795, 96sylan9eq 2705 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → ((𝑥 + (𝐽 + 1)) − 𝑁) = ((𝑥 + 𝑁) − 𝑁))
9897fveq2d 6233 . . . . . . . . 9 ((𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → (𝑃‘((𝑥 + (𝐽 + 1)) − 𝑁)) = (𝑃‘((𝑥 + 𝑁) − 𝑁)))
9994, 98syl5eq 2697 . . . . . . . 8 ((𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − 𝑁)) = (𝑃‘((𝑥 + 𝑁) − 𝑁)))
10085, 92, 99ifbieq12d 4146 . . . . . . 7 ((𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → if(𝑥 ≤ (𝑁𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − 𝑁))) = if(𝑥 ≤ 0, (𝑃‘(𝑥 + 𝑁)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑁) − 𝑁))))
101100mpteq2dv 4778 . . . . . 6 ((𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → (𝑥 ∈ (0...(#‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − 𝑁)))) = (𝑥 ∈ (0...(#‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ 0, (𝑃‘(𝑥 + 𝑁)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑁) − 𝑁)))))
10220, 21syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
1031wlkp 26568 . . . . . . . . 9 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉)
104 ffn 6083 . . . . . . . . 9 (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉𝑃 Fn (0...(#‘𝐹)))
105102, 103, 1043syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 Fn (0...(#‘𝐹)))
106105adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → 𝑃 Fn (0...(#‘𝐹)))
107 dffn5 6280 . . . . . . 7 (𝑃 Fn (0...(#‘𝐹)) ↔ 𝑃 = (𝑥 ∈ (0...(#‘𝐹)) ↦ (𝑃𝑥)))
108106, 107sylib 208 . . . . . 6 ((𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → 𝑃 = (𝑥 ∈ (0...(#‘𝐹)) ↦ (𝑃𝑥)))
10977, 101, 1083eqtr4d 2695 . . . . 5 ((𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → (𝑥 ∈ (0...(#‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − 𝑁)))) = 𝑃)
1104, 30, 1093brtr4d 4717 . . . 4 ((𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → (𝐹 cyclShift 𝐾)(EulerPaths‘𝐺)(𝑥 ∈ (0...(#‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − 𝑁)))))
11120adantl 481 . . . . 5 ((𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
112111, 30, 1093brtr4d 4717 . . . 4 ((𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → (𝐹 cyclShift 𝐾)(Circuits‘𝐺)(𝑥 ∈ (0...(#‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − 𝑁)))))
113 eucrct2eupth1.s . . . 4 (Vtx‘𝑆) = 𝑉
114 elfzolt3 12519 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 0 < 𝑁)
1159, 114syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < 𝑁)
116 elfzoelz 12509 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℤ)
1179, 116syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
118117peano2zd 11523 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ ℤ)
1195, 118syl5eqel 2734 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
120 cshwlen 13591 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝐾 ∈ ℤ) → (#‘(𝐹 cyclShift 𝐾)) = (#‘𝐹))
121120eqcomd 2657 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝐾 ∈ ℤ) → (#‘𝐹) = (#‘(𝐹 cyclShift 𝐾)))
12224, 119, 121syl2anc 694 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘𝐹) = (#‘(𝐹 cyclShift 𝐾)))
12318, 122eqtrd 2685 . . . . . 6 (𝜑𝑁 = (#‘(𝐹 cyclShift 𝐾)))
124115, 123breqtrd 4711 . . . . 5 (𝜑 → 0 < (#‘(𝐹 cyclShift 𝐾)))
125124adantl 481 . . . 4 ((𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → 0 < (#‘(𝐹 cyclShift 𝐾)))
126123adantl 481 . . . . 5 ((𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → 𝑁 = (#‘(𝐹 cyclShift 𝐾)))
127126oveq1d 6705 . . . 4 ((𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → (𝑁 − 1) = ((#‘(𝐹 cyclShift 𝐾)) − 1))
128 eucrct2eupth.e . . . . . 6 (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))))
129128adantl 481 . . . . 5 ((𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))))
13024, 18, 93jca 1261 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑁 = (#‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)))
131130adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → (𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑁 = (#‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)))
132 cshimadifsn0 13622 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑁 = (#‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 “ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) = ((𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) “ (0..^(𝑁 − 1))))
133131, 132syl 17 . . . . . . 7 ((𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → (𝐹 “ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) = ((𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) “ (0..^(𝑁 − 1))))
1347imaeq1i 5498 . . . . . . 7 ((𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) “ (0..^(𝑁 − 1))) = ((𝐹 cyclShift 𝐾) “ (0..^(𝑁 − 1)))
135133, 134syl6eq 2701 . . . . . 6 ((𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → (𝐹 “ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) = ((𝐹 cyclShift 𝐾) “ (0..^(𝑁 − 1))))
136135reseq2d 5428 . . . . 5 ((𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → (𝐼 ↾ (𝐹 “ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))) = (𝐼 ↾ ((𝐹 cyclShift 𝐾) “ (0..^(𝑁 − 1)))))
137129, 136eqtrd 2685 . . . 4 ((𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ↾ ((𝐹 cyclShift 𝐾) “ (0..^(𝑁 − 1)))))
138 eqid 2651 . . . 4 ((𝐹 cyclShift 𝐾) ↾ (0..^(𝑁 − 1))) = ((𝐹 cyclShift 𝐾) ↾ (0..^(𝑁 − 1)))
139 eqid 2651 . . . 4 ((𝑥 ∈ (0...(#‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − 𝑁)))) ↾ (0...(𝑁 − 1))) = ((𝑥 ∈ (0...(#‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − 𝑁)))) ↾ (0...(𝑁 − 1)))
1401, 2, 110, 112, 113, 125, 127, 137, 138, 139eucrct2eupth1 27222 . . 3 ((𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → ((𝐹 cyclShift 𝐾) ↾ (0..^(𝑁 − 1)))(EulerPaths‘𝑆)((𝑥 ∈ (0...(#‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − 𝑁)))) ↾ (0...(𝑁 − 1))))
141 eucrct2eupth.h . . . 4 𝐻 = ((𝐹 cyclShift 𝐾) ↾ (0..^(𝑁 − 1)))
142141a1i 11 . . 3 ((𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → 𝐻 = ((𝐹 cyclShift 𝐾) ↾ (0..^(𝑁 − 1))))
143 eucrct2eupth.q . . . . 5 𝑄 = (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − 𝑁))))
144 fzossfz 12527 . . . . . . . 8 (0..^𝑁) ⊆ (0...𝑁)
14518oveq2d 6706 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0...𝑁) = (0...(#‘𝐹)))
146144, 145syl5sseq 3686 . . . . . . 7 (𝜑 → (0..^𝑁) ⊆ (0...(#‘𝐹)))
147146resmptd 5487 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (0...(#‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − 𝑁)))) ↾ (0..^𝑁)) = (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − 𝑁)))))
148 elfzoel2 12508 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
149 fzoval 12510 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (0..^𝑁) = (0...(𝑁 − 1)))
1509, 148, 1493syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (0..^𝑁) = (0...(𝑁 − 1)))
151150reseq2d 5428 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (0...(#‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − 𝑁)))) ↾ (0..^𝑁)) = ((𝑥 ∈ (0...(#‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − 𝑁)))) ↾ (0...(𝑁 − 1))))
152147, 151eqtr3d 2687 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − 𝑁)))) = ((𝑥 ∈ (0...(#‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − 𝑁)))) ↾ (0...(𝑁 − 1))))
153143, 152syl5eq 2697 . . . 4 (𝜑𝑄 = ((𝑥 ∈ (0...(#‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − 𝑁)))) ↾ (0...(𝑁 − 1))))
154153adantl 481 . . 3 ((𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → 𝑄 = ((𝑥 ∈ (0...(#‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − 𝑁)))) ↾ (0...(𝑁 − 1))))
155140, 142, 1543brtr4d 4717 . 2 ((𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄)
15620adantl 481 . . . 4 ((¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
157 peano2nn0 11371 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐽 ∈ ℕ0 → (𝐽 + 1) ∈ ℕ0)
1581573ad2ant1 1102 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝐽 + 1) ∈ ℕ0)
159158adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ ¬ 𝐽 = (𝑁 − 1)) → (𝐽 + 1) ∈ ℕ0)
160 simpl2 1085 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ ¬ 𝐽 = (𝑁 − 1)) → 𝑁 ∈ ℕ)
161 1cnd 10094 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 1 ∈ ℂ)
162 nn0cn 11340 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐽 ∈ ℕ0𝐽 ∈ ℂ)
1631623ad2ant1 1102 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝐽 ∈ ℂ)
16412, 161, 163subadd2d 10449 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → ((𝑁 − 1) = 𝐽 ↔ (𝐽 + 1) = 𝑁))
165 eqcom 2658 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐽 = (𝑁 − 1) ↔ (𝑁 − 1) = 𝐽)
166 eqcom 2658 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 = (𝐽 + 1) ↔ (𝐽 + 1) = 𝑁)
167164, 165, 1663bitr4g 303 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝐽 = (𝑁 − 1) ↔ 𝑁 = (𝐽 + 1)))
168167necon3bbid 2860 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) ↔ 𝑁 ≠ (𝐽 + 1)))
169157nn0red 11390 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐽 ∈ ℕ0 → (𝐽 + 1) ∈ ℝ)
1701693ad2ant1 1102 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝐽 + 1) ∈ ℝ)
171 nnre 11065 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
1721713ad2ant2 1103 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
173 nn0z 11438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐽 ∈ ℕ0𝐽 ∈ ℤ)
174 nnz 11437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
175 zltp1le 11465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐽 < 𝑁 ↔ (𝐽 + 1) ≤ 𝑁))
176173, 174, 175syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (𝐽 < 𝑁 ↔ (𝐽 + 1) ≤ 𝑁))
177176biimp3a 1472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝐽 + 1) ≤ 𝑁)
178170, 172, 177leltned 10228 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → ((𝐽 + 1) < 𝑁𝑁 ≠ (𝐽 + 1)))
179178biimprd 238 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝑁 ≠ (𝐽 + 1) → (𝐽 + 1) < 𝑁))
180168, 179sylbid 230 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) → (𝐽 + 1) < 𝑁))
181180imp 444 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ ¬ 𝐽 = (𝑁 − 1)) → (𝐽 + 1) < 𝑁)
182159, 160, 1813jca 1261 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ ¬ 𝐽 = (𝑁 − 1)) → ((𝐽 + 1) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐽 + 1) < 𝑁))
183182ex 449 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) → ((𝐽 + 1) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐽 + 1) < 𝑁)))
18410, 183sylbi 207 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) → ((𝐽 + 1) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐽 + 1) < 𝑁)))
185 elfzo0 12548 . . . . . . . 8 ((𝐽 + 1) ∈ (0..^𝑁) ↔ ((𝐽 + 1) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐽 + 1) < 𝑁))
186184, 185syl6ibr 242 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) → (𝐽 + 1) ∈ (0..^𝑁)))
1879, 186syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) → (𝐽 + 1) ∈ (0..^𝑁)))
188187impcom 445 . . . . 5 ((¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → (𝐽 + 1) ∈ (0..^𝑁))
1895a1i 11 . . . . 5 ((¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → 𝐾 = (𝐽 + 1))
19018eqcomd 2657 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘𝐹) = 𝑁)
191190oveq2d 6706 . . . . . 6 (𝜑 → (0..^(#‘𝐹)) = (0..^𝑁))
192191adantl 481 . . . . 5 ((¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → (0..^(#‘𝐹)) = (0..^𝑁))
193188, 189, 1923eltr4d 2745 . . . 4 ((¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → 𝐾 ∈ (0..^(#‘𝐹)))
194 eqid 2651 . . . 4 (𝐹 cyclShift 𝐾) = (𝐹 cyclShift 𝐾)
195 eqid 2651 . . . 4 (𝑥 ∈ (0...(#‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ ((#‘𝐹) − 𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − (#‘𝐹))))) = (𝑥 ∈ (0...(#‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ ((#‘𝐹) − 𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − (#‘𝐹)))))
1963adantl 481 . . . 4 ((¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
1971, 2, 156, 31, 193, 194, 195, 196eucrctshift 27221 . . 3 ((¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → ((𝐹 cyclShift 𝐾)(EulerPaths‘𝐺)(𝑥 ∈ (0...(#‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ ((#‘𝐹) − 𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − (#‘𝐹))))) ∧ (𝐹 cyclShift 𝐾)(Circuits‘𝐺)(𝑥 ∈ (0...(#‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ ((#‘𝐹) − 𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − (#‘𝐹)))))))
198 simprl 809 . . . . 5 (((¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) ∧ ((𝐹 cyclShift 𝐾)(EulerPaths‘𝐺)(𝑥 ∈ (0...(#‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ ((#‘𝐹) − 𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − (#‘𝐹))))) ∧ (𝐹 cyclShift 𝐾)(Circuits‘𝐺)(𝑥 ∈ (0...(#‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ ((#‘𝐹) − 𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − (#‘𝐹))))))) → (𝐹 cyclShift 𝐾)(EulerPaths‘𝐺)(𝑥 ∈ (0...(#‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ ((#‘𝐹) − 𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − (#‘𝐹))))))
199 simprr 811 . . . . 5 (((¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) ∧ ((𝐹 cyclShift 𝐾)(EulerPaths‘𝐺)(𝑥 ∈ (0...(#‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ ((#‘𝐹) − 𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − (#‘𝐹))))) ∧ (𝐹 cyclShift 𝐾)(Circuits‘𝐺)(𝑥 ∈ (0...(#‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ ((#‘𝐹) − 𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − (#‘𝐹))))))) → (𝐹 cyclShift 𝐾)(Circuits‘𝐺)(𝑥 ∈ (0...(#‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ ((#‘𝐹) − 𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − (#‘𝐹))))))
200124ad2antlr 763 . . . . 5 (((¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) ∧ ((𝐹 cyclShift 𝐾)(EulerPaths‘𝐺)(𝑥 ∈ (0...(#‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ ((#‘𝐹) − 𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − (#‘𝐹))))) ∧ (𝐹 cyclShift 𝐾)(Circuits‘𝐺)(𝑥 ∈ (0...(#‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ ((#‘𝐹) − 𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − (#‘𝐹))))))) → 0 < (#‘(𝐹 cyclShift 𝐾)))
201123oveq1d 6705 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 − 1) = ((#‘(𝐹 cyclShift 𝐾)) − 1))
202201ad2antlr 763 . . . . 5 (((¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) ∧ ((𝐹 cyclShift 𝐾)(EulerPaths‘𝐺)(𝑥 ∈ (0...(#‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ ((#‘𝐹) − 𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − (#‘𝐹))))) ∧ (𝐹 cyclShift 𝐾)(Circuits‘𝐺)(𝑥 ∈ (0...(#‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ ((#‘𝐹) − 𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − (#‘𝐹))))))) → (𝑁 − 1) = ((#‘(𝐹 cyclShift 𝐾)) − 1))
203128adantl 481 . . . . . . 7 ((¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))))
204130adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → (𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑁 = (#‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)))
205204, 132syl 17 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → (𝐹 “ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) = ((𝐹 cyclShift (𝐽 + 1)) “ (0..^(𝑁 − 1))))
206205, 134syl6eq 2701 . . . . . . . 8 ((¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → (𝐹 “ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) = ((𝐹 cyclShift 𝐾) “ (0..^(𝑁 − 1))))
207206reseq2d 5428 . . . . . . 7 ((¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → (𝐼 ↾ (𝐹 “ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))) = (𝐼 ↾ ((𝐹 cyclShift 𝐾) “ (0..^(𝑁 − 1)))))
208203, 207eqtrd 2685 . . . . . 6 ((¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ↾ ((𝐹 cyclShift 𝐾) “ (0..^(𝑁 − 1)))))
209208adantr 480 . . . . 5 (((¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) ∧ ((𝐹 cyclShift 𝐾)(EulerPaths‘𝐺)(𝑥 ∈ (0...(#‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ ((#‘𝐹) − 𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − (#‘𝐹))))) ∧ (𝐹 cyclShift 𝐾)(Circuits‘𝐺)(𝑥 ∈ (0...(#‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ ((#‘𝐹) − 𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − (#‘𝐹))))))) → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ↾ ((𝐹 cyclShift 𝐾) “ (0..^(𝑁 − 1)))))
210 eqid 2651 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (0...(#‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ ((#‘𝐹) − 𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − (#‘𝐹))))) ↾ (0...(𝑁 − 1))) = ((𝑥 ∈ (0...(#‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ ((#‘𝐹) − 𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − (#‘𝐹))))) ↾ (0...(𝑁 − 1)))
2111, 2, 198, 199, 113, 200, 202, 209, 138, 210eucrct2eupth1 27222 . . . 4 (((¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) ∧ ((𝐹 cyclShift 𝐾)(EulerPaths‘𝐺)(𝑥 ∈ (0...(#‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ ((#‘𝐹) − 𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − (#‘𝐹))))) ∧ (𝐹 cyclShift 𝐾)(Circuits‘𝐺)(𝑥 ∈ (0...(#‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ ((#‘𝐹) − 𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − (#‘𝐹))))))) → ((𝐹 cyclShift 𝐾) ↾ (0..^(𝑁 − 1)))(EulerPaths‘𝑆)((𝑥 ∈ (0...(#‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ ((#‘𝐹) − 𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − (#‘𝐹))))) ↾ (0...(𝑁 − 1))))
212141a1i 11 . . . 4 (((¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) ∧ ((𝐹 cyclShift 𝐾)(EulerPaths‘𝐺)(𝑥 ∈ (0...(#‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ ((#‘𝐹) − 𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − (#‘𝐹))))) ∧ (𝐹 cyclShift 𝐾)(Circuits‘𝐺)(𝑥 ∈ (0...(#‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ ((#‘𝐹) − 𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − (#‘𝐹))))))) → 𝐻 = ((𝐹 cyclShift 𝐾) ↾ (0..^(𝑁 − 1))))
213190oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((#‘𝐹) − 𝐾) = (𝑁𝐾))
214213breq2d 4697 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ≤ ((#‘𝐹) − 𝐾) ↔ 𝑥 ≤ (𝑁𝐾)))
215214adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → (𝑥 ≤ ((#‘𝐹) − 𝐾) ↔ 𝑥 ≤ (𝑁𝐾)))
216190oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑥 + 𝐾) − (#‘𝐹)) = ((𝑥 + 𝐾) − 𝑁))
217216fveq2d 6233 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − (#‘𝐹))) = (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − 𝑁)))
218217adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − (#‘𝐹))) = (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − 𝑁)))
219215, 218ifbieq2d 4144 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → if(𝑥 ≤ ((#‘𝐹) − 𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − (#‘𝐹)))) = if(𝑥 ≤ (𝑁𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − 𝑁))))
220219mpteq2dv 4778 . . . . . . . 8 ((¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → (𝑥 ∈ (0...(#‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ ((#‘𝐹) − 𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − (#‘𝐹))))) = (𝑥 ∈ (0...(#‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − 𝑁)))))
221150eqcomd 2657 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0...(𝑁 − 1)) = (0..^𝑁))
222221adantl 481 . . . . . . . 8 ((¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → (0...(𝑁 − 1)) = (0..^𝑁))
223220, 222reseq12d 5429 . . . . . . 7 ((¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → ((𝑥 ∈ (0...(#‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ ((#‘𝐹) − 𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − (#‘𝐹))))) ↾ (0...(𝑁 − 1))) = ((𝑥 ∈ (0...(#‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − 𝑁)))) ↾ (0..^𝑁)))
22418adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → 𝑁 = (#‘𝐹))
225224oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → (0...𝑁) = (0...(#‘𝐹)))
226144, 225syl5sseq 3686 . . . . . . . 8 ((¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → (0..^𝑁) ⊆ (0...(#‘𝐹)))
227226resmptd 5487 . . . . . . 7 ((¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → ((𝑥 ∈ (0...(#‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − 𝑁)))) ↾ (0..^𝑁)) = (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − 𝑁)))))
228223, 227eqtrd 2685 . . . . . 6 ((¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → ((𝑥 ∈ (0...(#‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ ((#‘𝐹) − 𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − (#‘𝐹))))) ↾ (0...(𝑁 − 1))) = (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − 𝑁)))))
229228, 143syl6reqr 2704 . . . . 5 ((¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → 𝑄 = ((𝑥 ∈ (0...(#‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ ((#‘𝐹) − 𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − (#‘𝐹))))) ↾ (0...(𝑁 − 1))))
230229adantr 480 . . . 4 (((¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) ∧ ((𝐹 cyclShift 𝐾)(EulerPaths‘𝐺)(𝑥 ∈ (0...(#‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ ((#‘𝐹) − 𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − (#‘𝐹))))) ∧ (𝐹 cyclShift 𝐾)(Circuits‘𝐺)(𝑥 ∈ (0...(#‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ ((#‘𝐹) − 𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − (#‘𝐹))))))) → 𝑄 = ((𝑥 ∈ (0...(#‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ ((#‘𝐹) − 𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − (#‘𝐹))))) ↾ (0...(𝑁 − 1))))
231211, 212, 2303brtr4d 4717 . . 3 (((¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) ∧ ((𝐹 cyclShift 𝐾)(EulerPaths‘𝐺)(𝑥 ∈ (0...(#‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ ((#‘𝐹) − 𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − (#‘𝐹))))) ∧ (𝐹 cyclShift 𝐾)(Circuits‘𝐺)(𝑥 ∈ (0...(#‘𝐹)) ↦ if(𝑥 ≤ ((#‘𝐹) − 𝐾), (𝑃‘(𝑥 + 𝐾)), (𝑃‘((𝑥 + 𝐾) − (#‘𝐹))))))) → 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄)
232197, 231mpdan 703 . 2 ((¬ 𝐽 = (𝑁 − 1) ∧ 𝜑) → 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄)
233155, 232pm2.61ian 848 1 (𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  cdif 3604  cun 3605  ifcif 4119  {csn 4210   class class class wbr 4685  cmpt 4762  dom cdm 5143  cres 5145  cima 5146   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304  cn 11058  0cn0 11330  cz 11415  ...cfz 12364  ..^cfzo 12504  #chash 13157  Word cword 13323   cyclShift ccsh 13580  Vtxcvtx 25919  iEdgciedg 25920  Walkscwlks 26548  Trailsctrls 26643  Circuitsccrcts 26735  EulerPathsceupth 27175
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1033  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-ico 12219  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-hash 13158  df-word 13331  df-concat 13333  df-substr 13335  df-csh 13581  df-wlks 26551  df-trls 26645  df-crcts 26737  df-eupth 27176
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator