Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem45 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem45 41018
 Description: 𝐾 is an integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem45.p (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
etransclem45.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem45.f 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃)))
etransclem45.a (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℤ)
etransclem45.k 𝐾 = (Σ𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1)))
Assertion
Ref Expression
etransclem45 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑀,𝑘,𝑥   𝑃,𝑗,𝑘,𝑥   𝑅,𝑗,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐹(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐾(𝑥,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem etransclem45
Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑛 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 etransclem45.k . 2 𝐾 = (Σ𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1)))
2 fzfi 12986 . . . . . 6 (0...𝑀) ∈ Fin
3 fzfi 12986 . . . . . 6 (0...𝑅) ∈ Fin
4 xpfi 8399 . . . . . 6 (((0...𝑀) ∈ Fin ∧ (0...𝑅) ∈ Fin) → ((0...𝑀) × (0...𝑅)) ∈ Fin)
52, 3, 4mp2an 710 . . . . 5 ((0...𝑀) × (0...𝑅)) ∈ Fin
65a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ((0...𝑀) × (0...𝑅)) ∈ Fin)
7 etransclem45.p . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
8 nnm1nn0 11547 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
97, 8syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
109faccld 13286 . . . . 5 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℕ)
1110nncnd 11249 . . . 4 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
12 etransclem45.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℤ)
1312adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → 𝐴:ℕ0⟶ℤ)
14 xp1st 7367 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅)) → (1st𝑘) ∈ (0...𝑀))
15 elfznn0 12647 . . . . . . . . 9 ((1st𝑘) ∈ (0...𝑀) → (1st𝑘) ∈ ℕ0)
1614, 15syl 17 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅)) → (1st𝑘) ∈ ℕ0)
1716adantl 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → (1st𝑘) ∈ ℕ0)
1813, 17ffvelrnd 6525 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → (𝐴‘(1st𝑘)) ∈ ℤ)
1918zcnd 11696 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → (𝐴‘(1st𝑘)) ∈ ℂ)
20 reelprrecn 10241 . . . . . . . 8 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
2120a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
22 reopn 40019 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ (topGen‘ran (,))
23 eqid 2761 . . . . . . . . . 10 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2423tgioo2 22828 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
2522, 24eleqtri 2838 . . . . . . . 8 ℝ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
2625a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → ℝ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
277adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → 𝑃 ∈ ℕ)
28 etransclem45.m . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
2928adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → 𝑀 ∈ ℕ0)
30 etransclem45.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃)))
31 xp2nd 7368 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅)) → (2nd𝑘) ∈ (0...𝑅))
32 elfznn0 12647 . . . . . . . . 9 ((2nd𝑘) ∈ (0...𝑅) → (2nd𝑘) ∈ ℕ0)
3331, 32syl 17 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅)) → (2nd𝑘) ∈ ℕ0)
3433adantl 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → (2nd𝑘) ∈ ℕ0)
3521, 26, 27, 29, 30, 34etransclem33 41006 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘)):ℝ⟶ℂ)
3617nn0red 11565 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → (1st𝑘) ∈ ℝ)
3735, 36ffvelrnd 6525 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)) ∈ ℂ)
3819, 37mulcld 10273 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → ((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) ∈ ℂ)
3910nnne0d 11278 . . . 4 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ≠ 0)
406, 11, 38, 39fsumdivc 14738 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))) = Σ𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))(((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))))
4111adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
4239adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → (!‘(𝑃 − 1)) ≠ 0)
4319, 37, 41, 42divassd 11049 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → (((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))) = ((𝐴‘(1st𝑘)) · ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)) / (!‘(𝑃 − 1)))))
44 etransclem5 40978 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦𝑘)↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))) = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
45 etransclem11 40984 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...𝑚) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑑𝑘) = 𝑚}) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑛})
4614adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → (1st𝑘) ∈ (0...𝑀))
4721, 26, 27, 29, 30, 34, 44, 45, 46, 36etransclem37 41010 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → (!‘(𝑃 − 1)) ∥ (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)))
4810nnzd 11694 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ)
4948adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ)
5017nn0zd 11693 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → (1st𝑘) ∈ ℤ)
5121, 26, 27, 29, 30, 34, 36, 50etransclem42 41015 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)) ∈ ℤ)
52 dvdsval2 15206 . . . . . . . 8 (((!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ ∧ (!‘(𝑃 − 1)) ≠ 0 ∧ (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)) ∈ ℤ) → ((!‘(𝑃 − 1)) ∥ (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)) ↔ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℤ))
5349, 42, 51, 52syl3anc 1477 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → ((!‘(𝑃 − 1)) ∥ (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)) ↔ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℤ))
5447, 53mpbid 222 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℤ)
5518, 54zmulcld 11701 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → ((𝐴‘(1st𝑘)) · ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)) / (!‘(𝑃 − 1)))) ∈ ℤ)
5643, 55eqeltrd 2840 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))) → (((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℤ)
576, 56fsumzcl 14686 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))(((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℤ)
5840, 57eqeltrd 2840 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...𝑅))((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℤ)
591, 58syl5eqel 2844 1 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2140   ≠ wne 2933  {crab 3055  ifcif 4231  {cpr 4324   class class class wbr 4805   ↦ cmpt 4882   × cxp 5265  ran crn 5268  ⟶wf 6046  ‘cfv 6050  (class class class)co 6815  1st c1st 7333  2nd c2nd 7334   ↑𝑚 cmap 8026  Fincfn 8124  ℂcc 10147  ℝcr 10148  0cc0 10149  1c1 10150   · cmul 10154   − cmin 10479   / cdiv 10897  ℕcn 11233  ℕ0cn0 11505  ℤcz 11590  (,)cioo 12389  ...cfz 12540  ↑cexp 13075  !cfa 13275  Σcsu 14636  ∏cprod 14855   ∥ cdvds 15203   ↾t crest 16304  TopOpenctopn 16305  topGenctg 16321  ℂfldccnfld 19969   D𝑛 cdvn 23848 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-inf2 8714  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-pre-sup 10227  ax-addf 10228  ax-mulf 10229 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-iin 4676  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-se 5227  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-isom 6059  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-of 7064  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-supp 7466  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-2o 7732  df-oadd 7735  df-er 7914  df-map 8028  df-pm 8029  df-ixp 8078  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-fsupp 8444  df-fi 8485  df-sup 8516  df-inf 8517  df-oi 8583  df-card 8976  df-cda 9203  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-4 11294  df-5 11295  df-6 11296  df-7 11297  df-8 11298  df-9 11299  df-n0 11506  df-z 11591  df-dec 11707  df-uz 11901  df-q 12003  df-rp 12047  df-xneg 12160  df-xadd 12161  df-xmul 12162  df-ioo 12393  df-ico 12395  df-icc 12396  df-fz 12541  df-fzo 12681  df-seq 13017  df-exp 13076  df-fac 13276  df-bc 13305  df-hash 13333  df-cj 14059  df-re 14060  df-im 14061  df-sqrt 14195  df-abs 14196  df-clim 14439  df-sum 14637  df-prod 14856  df-dvds 15204  df-struct 16082  df-ndx 16083  df-slot 16084  df-base 16086  df-sets 16087  df-ress 16088  df-plusg 16177  df-mulr 16178  df-starv 16179  df-sca 16180  df-vsca 16181  df-ip 16182  df-tset 16183  df-ple 16184  df-ds 16187  df-unif 16188  df-hom 16189  df-cco 16190  df-rest 16306  df-topn 16307  df-0g 16325  df-gsum 16326  df-topgen 16327  df-pt 16328  df-prds 16331  df-xrs 16385  df-qtop 16390  df-imas 16391  df-xps 16393  df-mre 16469  df-mrc 16470  df-acs 16472  df-mgm 17464  df-sgrp 17506  df-mnd 17517  df-submnd 17558  df-mulg 17763  df-cntz 17971  df-cmn 18416  df-psmet 19961  df-xmet 19962  df-met 19963  df-bl 19964  df-mopn 19965  df-fbas 19966  df-fg 19967  df-cnfld 19970  df-top 20922  df-topon 20939  df-topsp 20960  df-bases 20973  df-cld 21046  df-ntr 21047  df-cls 21048  df-nei 21125  df-lp 21163  df-perf 21164  df-cn 21254  df-cnp 21255  df-haus 21342  df-tx 21588  df-hmeo 21781  df-fil 21872  df-fm 21964  df-flim 21965  df-flf 21966  df-xms 22347  df-ms 22348  df-tms 22349  df-cncf 22903  df-limc 23850  df-dv 23851  df-dvn 23852 This theorem is referenced by:  etransclem47  41020
 Copyright terms: Public domain W3C validator