Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem44 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem44 40813
Description: The given finite sum is nonzero. This is the claim proved after equation (7) in [Juillerat] p. 12 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem44.a (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℤ)
etransclem44.a0 (𝜑 → (𝐴‘0) ≠ 0)
etransclem44.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem44.p (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
etransclem44.ap (𝜑 → (abs‘(𝐴‘0)) < 𝑃)
etransclem44.mp (𝜑 → (!‘𝑀) < 𝑃)
etransclem44.f 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃)))
etransclem44.k 𝐾 = (Σ𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1)))
Assertion
Ref Expression
etransclem44 (𝜑𝐾 ≠ 0)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑗,𝑀,𝑘,𝑥   𝑃,𝑗,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑗)   𝐹(𝑥,𝑗)   𝐾(𝑥,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem etransclem44
Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑛 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 etransclem44.k . . . 4 𝐾 = (Σ𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1)))
21a1i 11 . . 3 (𝜑𝐾 = (Σ𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))))
3 nfv 1883 . . . . 5 𝑘𝜑
4 nfcv 2793 . . . . 5 𝑘((𝐴‘0) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0))
5 fzfi 12811 . . . . . . 7 (0...𝑀) ∈ Fin
6 fzfi 12811 . . . . . . 7 (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))) ∈ Fin
7 xpfi 8272 . . . . . . 7 (((0...𝑀) ∈ Fin ∧ (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))) ∈ Fin) → ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∈ Fin)
85, 6, 7mp2an 708 . . . . . 6 ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∈ Fin
98a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∈ Fin)
10 etransclem44.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℤ)
1110adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))) → 𝐴:ℕ0⟶ℤ)
12 fzssnn0 39846 . . . . . . . . . 10 (0...𝑀) ⊆ ℕ0
13 xp1st 7242 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) → (1st𝑘) ∈ (0...𝑀))
1412, 13sseldi 3634 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) → (1st𝑘) ∈ ℕ0)
1514adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))) → (1st𝑘) ∈ ℕ0)
1611, 15ffvelrnd 6400 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))) → (𝐴‘(1st𝑘)) ∈ ℤ)
17 reelprrecn 10066 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
1817a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))) → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
19 reopn 39815 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ (topGen‘ran (,))
20 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2120tgioo2 22653 . . . . . . . . . 10 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
2219, 21eleqtri 2728 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
2322a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))) → ℝ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
24 etransclem44.p . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
25 prmnn 15435 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2624, 25syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
2726adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))) → 𝑃 ∈ ℕ)
28 etransclem44.m . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
2928adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))) → 𝑀 ∈ ℕ0)
30 etransclem44.f . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃)))
31 xp2nd 7243 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) → (2nd𝑘) ∈ (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))
32 elfznn0 12471 . . . . . . . . . 10 ((2nd𝑘) ∈ (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))) → (2nd𝑘) ∈ ℕ0)
3331, 32syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) → (2nd𝑘) ∈ ℕ0)
3433adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))) → (2nd𝑘) ∈ ℕ0)
3515nn0red 11390 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))) → (1st𝑘) ∈ ℝ)
3615nn0zd 11518 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))) → (1st𝑘) ∈ ℤ)
3718, 23, 27, 29, 30, 34, 35, 36etransclem42 40811 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))) → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)) ∈ ℤ)
3816, 37zmulcld 11526 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))) → ((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) ∈ ℤ)
3938zcnd 11521 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))) → ((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) ∈ ℂ)
40 nn0uz 11760 . . . . . . . 8 0 = (ℤ‘0)
4128, 40syl6eleq 2740 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘0))
42 eluzfz1 12386 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...𝑀))
4341, 42syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
44 0zd 11427 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
4528nn0zd 11518 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4626nnzd 11519 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
4745, 46zmulcld 11526 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) ∈ ℤ)
48 nnm1nn0 11372 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
4926, 48syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
5049nn0zd 11518 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
5147, 50zaddcld 11524 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)) ∈ ℤ)
5244, 51, 503jca 1261 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ))
5349nn0ge0d 11392 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ (𝑃 − 1))
5426nnnn0d 11389 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∈ ℕ0)
5528, 54nn0mulcld 11394 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) ∈ ℕ0)
5655nn0ge0d 11392 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (𝑀 · 𝑃))
5749nn0red 11390 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
5847zred 11520 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) ∈ ℝ)
5957, 58addge02d 10654 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 ≤ (𝑀 · 𝑃) ↔ (𝑃 − 1) ≤ ((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))
6056, 59mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 − 1) ≤ ((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))
6152, 53, 60jca32 557 . . . . . . 7 (𝜑 → ((0 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ (𝑃 − 1) ∧ (𝑃 − 1) ≤ ((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))))
62 elfz2 12371 . . . . . . 7 ((𝑃 − 1) ∈ (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ (𝑃 − 1) ∧ (𝑃 − 1) ≤ ((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))))
6361, 62sylibr 224 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))
64 opelxp 5180 . . . . . 6 (⟨0, (𝑃 − 1)⟩ ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ↔ (0 ∈ (0...𝑀) ∧ (𝑃 − 1) ∈ (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))))
6543, 63, 64sylanbrc 699 . . . . 5 (𝜑 → ⟨0, (𝑃 − 1)⟩ ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))))
66 fveq2 6229 . . . . . . . 8 (𝑘 = ⟨0, (𝑃 − 1)⟩ → (1st𝑘) = (1st ‘⟨0, (𝑃 − 1)⟩))
67 0re 10078 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
68 ovex 6718 . . . . . . . . 9 (𝑃 − 1) ∈ V
69 op1stg 7222 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑃 − 1) ∈ V) → (1st ‘⟨0, (𝑃 − 1)⟩) = 0)
7067, 68, 69mp2an 708 . . . . . . . 8 (1st ‘⟨0, (𝑃 − 1)⟩) = 0
7166, 70syl6eq 2701 . . . . . . 7 (𝑘 = ⟨0, (𝑃 − 1)⟩ → (1st𝑘) = 0)
7271fveq2d 6233 . . . . . 6 (𝑘 = ⟨0, (𝑃 − 1)⟩ → (𝐴‘(1st𝑘)) = (𝐴‘0))
73 fveq2 6229 . . . . . . . . 9 (𝑘 = ⟨0, (𝑃 − 1)⟩ → (2nd𝑘) = (2nd ‘⟨0, (𝑃 − 1)⟩))
74 op2ndg 7223 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑃 − 1) ∈ V) → (2nd ‘⟨0, (𝑃 − 1)⟩) = (𝑃 − 1))
7567, 68, 74mp2an 708 . . . . . . . . 9 (2nd ‘⟨0, (𝑃 − 1)⟩) = (𝑃 − 1)
7673, 75syl6eq 2701 . . . . . . . 8 (𝑘 = ⟨0, (𝑃 − 1)⟩ → (2nd𝑘) = (𝑃 − 1))
7776fveq2d 6233 . . . . . . 7 (𝑘 = ⟨0, (𝑃 − 1)⟩ → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘)) = ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1)))
7877, 71fveq12d 6235 . . . . . 6 (𝑘 = ⟨0, (𝑃 − 1)⟩ → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)) = (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0))
7972, 78oveq12d 6708 . . . . 5 (𝑘 = ⟨0, (𝑃 − 1)⟩ → ((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) = ((𝐴‘0) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0)))
803, 4, 9, 39, 65, 79fsumsplit1 40122 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) = (((𝐴‘0) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0)) + Σ𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)))))
8180oveq1d 6705 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))) = ((((𝐴‘0) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0)) + Σ𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)))) / (!‘(𝑃 − 1))))
8212, 43sseldi 3634 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
8310, 82ffvelrnd 6400 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴‘0) ∈ ℤ)
8417a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
8522a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
8667a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
8784, 85, 26, 28, 30, 49, 86, 44etransclem42 40811 . . . . . 6 (𝜑 → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) ∈ ℤ)
8883, 87zmulcld 11526 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴‘0) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0)) ∈ ℤ)
8988zcnd 11521 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴‘0) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0)) ∈ ℂ)
90 difss 3770 . . . . . . . 8 (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩}) ⊆ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))
91 ssfi 8221 . . . . . . . 8 ((((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∈ Fin ∧ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩}) ⊆ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))) → (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩}) ∈ Fin)
928, 90, 91mp2an 708 . . . . . . 7 (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩}) ∈ Fin
9392a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩}) ∈ Fin)
94 eldifi 3765 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩}) → 𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))))
9594, 38sylan2 490 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})) → ((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) ∈ ℤ)
9693, 95fsumzcl 14510 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) ∈ ℤ)
9796zcnd 11521 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) ∈ ℂ)
9849faccld 13111 . . . . 5 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℕ)
9998nncnd 11074 . . . 4 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
10098nnne0d 11103 . . . 4 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ≠ 0)
10189, 97, 99, 100divdird 10877 . . 3 (𝜑 → ((((𝐴‘0) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0)) + Σ𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)))) / (!‘(𝑃 − 1))) = ((((𝐴‘0) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0)) / (!‘(𝑃 − 1))) + (Σ𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1)))))
1022, 81, 1013eqtrd 2689 . 2 (𝜑𝐾 = ((((𝐴‘0) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0)) / (!‘(𝑃 − 1))) + (Σ𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1)))))
10326nnne0d 11103 . . 3 (𝜑𝑃 ≠ 0)
10483zcnd 11521 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴‘0) ∈ ℂ)
10587zcnd 11521 . . . . 5 (𝜑 → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) ∈ ℂ)
106104, 105, 99, 100divassd 10874 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴‘0) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0)) / (!‘(𝑃 − 1))) = ((𝐴‘0) · ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) / (!‘(𝑃 − 1)))))
107 etransclem5 40774 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦𝑘)↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))) = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
108 etransclem11 40780 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...𝑚) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑑𝑘) = 𝑚}) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑛})
10984, 85, 26, 28, 30, 49, 107, 108, 43, 86etransclem37 40806 . . . . . 6 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∥ (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0))
11098nnzd 11519 . . . . . . 7 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ)
111 dvdsval2 15030 . . . . . . 7 (((!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ ∧ (!‘(𝑃 − 1)) ≠ 0 ∧ (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) ∈ ℤ) → ((!‘(𝑃 − 1)) ∥ (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) ↔ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℤ))
112110, 100, 87, 111syl3anc 1366 . . . . . 6 (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) ∥ (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) ↔ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℤ))
113109, 112mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℤ)
11483, 113zmulcld 11526 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴‘0) · ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) / (!‘(𝑃 − 1)))) ∈ ℤ)
115106, 114eqeltrd 2730 . . 3 (𝜑 → (((𝐴‘0) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0)) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℤ)
11694, 39sylan2 490 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})) → ((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) ∈ ℂ)
11793, 99, 116, 100fsumdivc 14562 . . . 4 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))) = Σ𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})(((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))))
11816zcnd 11521 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1))))) → (𝐴‘(1st𝑘)) ∈ ℂ)
11994, 118sylan2 490 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})) → (𝐴‘(1st𝑘)) ∈ ℂ)
12094, 37sylan2 490 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})) → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)) ∈ ℤ)
121120zcnd 11521 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})) → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)) ∈ ℂ)
12299adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})) → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
123100adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})) → (!‘(𝑃 − 1)) ≠ 0)
124119, 121, 122, 123divassd 10874 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})) → (((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))) = ((𝐴‘(1st𝑘)) · ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)) / (!‘(𝑃 − 1)))))
12594, 16sylan2 490 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})) → (𝐴‘(1st𝑘)) ∈ ℤ)
12617a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})) → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
12722a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})) → ℝ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
12826adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})) → 𝑃 ∈ ℕ)
12928adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})) → 𝑀 ∈ ℕ0)
13094adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})) → 𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))))
131130, 33syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})) → (2nd𝑘) ∈ ℕ0)
132130, 13syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})) → (1st𝑘) ∈ (0...𝑀))
13394, 35sylan2 490 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})) → (1st𝑘) ∈ ℝ)
134126, 127, 128, 129, 30, 131, 107, 108, 132, 133etransclem37 40806 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})) → (!‘(𝑃 − 1)) ∥ (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)))
135110adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})) → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ)
136 dvdsval2 15030 . . . . . . . . 9 (((!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ ∧ (!‘(𝑃 − 1)) ≠ 0 ∧ (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)) ∈ ℤ) → ((!‘(𝑃 − 1)) ∥ (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)) ↔ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℤ))
137135, 123, 120, 136syl3anc 1366 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})) → ((!‘(𝑃 − 1)) ∥ (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)) ↔ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℤ))
138134, 137mpbid 222 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})) → ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℤ)
139125, 138zmulcld 11526 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})) → ((𝐴‘(1st𝑘)) · ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)) / (!‘(𝑃 − 1)))) ∈ ℤ)
140124, 139eqeltrd 2730 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})) → (((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℤ)
14193, 140fsumzcl 14510 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})(((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℤ)
142117, 141eqeltrd 2730 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℤ)
143 1zzd 11446 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
144 zabscl 14097 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴‘0) ∈ ℤ → (abs‘(𝐴‘0)) ∈ ℤ)
14583, 144syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘(𝐴‘0)) ∈ ℤ)
146143, 50, 1453jca 1261 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ (abs‘(𝐴‘0)) ∈ ℤ))
147 nn0abscl 14096 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴‘0) ∈ ℤ → (abs‘(𝐴‘0)) ∈ ℕ0)
14883, 147syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (abs‘(𝐴‘0)) ∈ ℕ0)
149 etransclem44.a0 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴‘0) ≠ 0)
150104, 149absne0d 14230 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (abs‘(𝐴‘0)) ≠ 0)
151 elnnne0 11344 . . . . . . . . . . . . 13 ((abs‘(𝐴‘0)) ∈ ℕ ↔ ((abs‘(𝐴‘0)) ∈ ℕ0 ∧ (abs‘(𝐴‘0)) ≠ 0))
152148, 150, 151sylanbrc 699 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘(𝐴‘0)) ∈ ℕ)
153152nnge1d 11101 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ≤ (abs‘(𝐴‘0)))
154 etransclem44.ap . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘(𝐴‘0)) < 𝑃)
155 zltlem1 11468 . . . . . . . . . . . . 13 (((abs‘(𝐴‘0)) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((abs‘(𝐴‘0)) < 𝑃 ↔ (abs‘(𝐴‘0)) ≤ (𝑃 − 1)))
156145, 46, 155syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((abs‘(𝐴‘0)) < 𝑃 ↔ (abs‘(𝐴‘0)) ≤ (𝑃 − 1)))
157154, 156mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘(𝐴‘0)) ≤ (𝑃 − 1))
158146, 153, 157jca32 557 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ (abs‘(𝐴‘0)) ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (abs‘(𝐴‘0)) ∧ (abs‘(𝐴‘0)) ≤ (𝑃 − 1))))
159 elfz2 12371 . . . . . . . . . 10 ((abs‘(𝐴‘0)) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↔ ((1 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ (abs‘(𝐴‘0)) ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (abs‘(𝐴‘0)) ∧ (abs‘(𝐴‘0)) ≤ (𝑃 − 1))))
160158, 159sylibr 224 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘(𝐴‘0)) ∈ (1...(𝑃 − 1)))
161 fzm1ndvds 15091 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (abs‘(𝐴‘0)) ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑃 ∥ (abs‘(𝐴‘0)))
16226, 160, 161syl2anc 694 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ (abs‘(𝐴‘0)))
163 dvdsabsb 15048 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝐴‘0) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴‘0) ↔ 𝑃 ∥ (abs‘(𝐴‘0))))
16446, 83, 163syl2anc 694 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 ∥ (𝐴‘0) ↔ 𝑃 ∥ (abs‘(𝐴‘0))))
165162, 164mtbird 314 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ (𝐴‘0))
166 etransclem44.mp . . . . . . . 8 (𝜑 → (!‘𝑀) < 𝑃)
16728, 24, 166, 30etransclem41 40810 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) / (!‘(𝑃 − 1))))
168165, 167jca 553 . . . . . 6 (𝜑 → (¬ 𝑃 ∥ (𝐴‘0) ∧ ¬ 𝑃 ∥ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) / (!‘(𝑃 − 1)))))
169 pm4.56 515 . . . . . 6 ((¬ 𝑃 ∥ (𝐴‘0) ∧ ¬ 𝑃 ∥ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) / (!‘(𝑃 − 1)))) ↔ ¬ (𝑃 ∥ (𝐴‘0) ∨ 𝑃 ∥ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) / (!‘(𝑃 − 1)))))
170168, 169sylib 208 . . . . 5 (𝜑 → ¬ (𝑃 ∥ (𝐴‘0) ∨ 𝑃 ∥ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) / (!‘(𝑃 − 1)))))
171 euclemma 15472 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴‘0) ∈ ℤ ∧ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝐴‘0) · ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) / (!‘(𝑃 − 1)))) ↔ (𝑃 ∥ (𝐴‘0) ∨ 𝑃 ∥ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) / (!‘(𝑃 − 1))))))
17224, 83, 113, 171syl3anc 1366 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐴‘0) · ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) / (!‘(𝑃 − 1)))) ↔ (𝑃 ∥ (𝐴‘0) ∨ 𝑃 ∥ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) / (!‘(𝑃 − 1))))))
173170, 172mtbird 314 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ ((𝐴‘0) · ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) / (!‘(𝑃 − 1)))))
174106breq2d 4697 . . . 4 (𝜑 → (𝑃 ∥ (((𝐴‘0) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0)) / (!‘(𝑃 − 1))) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴‘0) · ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) / (!‘(𝑃 − 1))))))
175173, 174mtbird 314 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ (((𝐴‘0) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0)) / (!‘(𝑃 − 1))))
17646adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})) → 𝑃 ∈ ℤ)
177176, 125, 1383jca 1261 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝐴‘(1st𝑘)) ∈ ℤ ∧ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℤ))
178 eldifn 3766 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩}) → ¬ 𝑘 ∈ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})
17994adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩}) ∧ ((2nd𝑘) = (𝑃 − 1) ∧ (1st𝑘) = 0)) → 𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))))
180 1st2nd2 7249 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) → 𝑘 = ⟨(1st𝑘), (2nd𝑘)⟩)
181179, 180syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩}) ∧ ((2nd𝑘) = (𝑃 − 1) ∧ (1st𝑘) = 0)) → 𝑘 = ⟨(1st𝑘), (2nd𝑘)⟩)
182 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2nd𝑘) = (𝑃 − 1) ∧ (1st𝑘) = 0) → (1st𝑘) = 0)
183 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2nd𝑘) = (𝑃 − 1) ∧ (1st𝑘) = 0) → (2nd𝑘) = (𝑃 − 1))
184182, 183opeq12d 4441 . . . . . . . . . . . . 13 (((2nd𝑘) = (𝑃 − 1) ∧ (1st𝑘) = 0) → ⟨(1st𝑘), (2nd𝑘)⟩ = ⟨0, (𝑃 − 1)⟩)
185184adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩}) ∧ ((2nd𝑘) = (𝑃 − 1) ∧ (1st𝑘) = 0)) → ⟨(1st𝑘), (2nd𝑘)⟩ = ⟨0, (𝑃 − 1)⟩)
186181, 185eqtrd 2685 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩}) ∧ ((2nd𝑘) = (𝑃 − 1) ∧ (1st𝑘) = 0)) → 𝑘 = ⟨0, (𝑃 − 1)⟩)
187 velsn 4226 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩} ↔ 𝑘 = ⟨0, (𝑃 − 1)⟩)
188186, 187sylibr 224 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩}) ∧ ((2nd𝑘) = (𝑃 − 1) ∧ (1st𝑘) = 0)) → 𝑘 ∈ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})
189178, 188mtand 692 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩}) → ¬ ((2nd𝑘) = (𝑃 − 1) ∧ (1st𝑘) = 0))
190189adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})) → ¬ ((2nd𝑘) = (𝑃 − 1) ∧ (1st𝑘) = 0))
191128, 129, 30, 131, 132, 190, 108etransclem38 40807 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})) → 𝑃 ∥ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)) / (!‘(𝑃 − 1))))
192 dvdsmultr2 15068 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝐴‘(1st𝑘)) ∈ ℤ ∧ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)) / (!‘(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∥ ((𝐴‘(1st𝑘)) · ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)) / (!‘(𝑃 − 1))))))
193177, 191, 192sylc 65 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})) → 𝑃 ∥ ((𝐴‘(1st𝑘)) · ((((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘)) / (!‘(𝑃 − 1)))))
194193, 124breqtrrd 4713 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})) → 𝑃 ∥ (((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))))
19593, 46, 140, 194fsumdvds 15077 . . . 4 (𝜑𝑃 ∥ Σ𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})(((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))))
196195, 117breqtrrd 4713 . . 3 (𝜑𝑃 ∥ (Σ𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1))))
19746, 103, 115, 142, 175, 196etransclem9 40778 . 2 (𝜑 → ((((𝐴‘0) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0)) / (!‘(𝑃 − 1))) + (Σ𝑘 ∈ (((0...𝑀) × (0...((𝑀 · 𝑃) + (𝑃 − 1)))) ∖ {⟨0, (𝑃 − 1)⟩})((𝐴‘(1st𝑘)) · (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(2nd𝑘))‘(1st𝑘))) / (!‘(𝑃 − 1)))) ≠ 0)
198102, 197eqnetrd 2890 1 (𝜑𝐾 ≠ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  {crab 2945  Vcvv 3231  cdif 3604  wss 3607  ifcif 4119  {csn 4210  {cpr 4212  cop 4216   class class class wbr 4685  cmpt 4762   × cxp 5141  ran crn 5144  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  1st c1st 7208  2nd c2nd 7209  𝑚 cmap 7899  Fincfn 7997  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304   / cdiv 10722  cn 11058  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725  (,)cioo 12213  ...cfz 12364  cexp 12900  !cfa 13100  abscabs 14018  Σcsu 14460  cprod 14679  cdvds 15027  cprime 15432  t crest 16128  TopOpenctopn 16129  topGenctg 16145  fldccnfld 19794   D𝑛 cdvn 23673
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461  df-prod 14680  df-dvds 15028  df-gcd 15264  df-prm 15433  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-dvn 23677
This theorem is referenced by:  etransclem47  40816
  Copyright terms: Public domain W3C validator