Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem31 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem31 40985
Description: The 𝑁-th derivative of 𝐻 applied to 𝑌. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem31.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
etransclem31.x (𝜑𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
etransclem31.p (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
etransclem31.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem31.f 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃)))
etransclem31.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
etransclem31.h 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
etransclem31.c 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑛})
etransclem31.y (𝜑𝑌𝑋)
Assertion
Ref Expression
etransclem31 (𝜑 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝑌) = Σ𝑐 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝑌↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝑌𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑐,𝑗,𝑥   𝐻,𝑐,𝑗,𝑛,𝑥   𝑀,𝑐,𝑗,𝑥,𝑛   𝑁,𝑐,𝑗,𝑥,𝑛   𝑃,𝑗,𝑥   𝑆,𝑐,𝑗,𝑛,𝑥   𝑗,𝑋,𝑥,𝑛   𝑌,𝑐,𝑗,𝑥   𝜑,𝑐,𝑗,𝑥,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑛)   𝑃(𝑛,𝑐)   𝐹(𝑥,𝑗,𝑛,𝑐)   𝑋(𝑐)   𝑌(𝑛)

Proof of Theorem etransclem31
Dummy variables 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 etransclem31.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2 etransclem31.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
3 etransclem31.p . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
4 etransclem31.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
5 etransclem31.f . . . 4 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃)))
6 etransclem31.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
7 etransclem31.h . . . 4 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
8 etransclem31.c . . . 4 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑛})
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8etransclem30 40984 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑐 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑗))‘(𝑐𝑗))‘𝑥))))
10 fveq2 6352 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑌 → (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑗))‘(𝑐𝑗))‘𝑥) = (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑗))‘(𝑐𝑗))‘𝑌))
1110prodeq2ad 40327 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑌 → ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑗))‘(𝑐𝑗))‘𝑥) = ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑗))‘(𝑐𝑗))‘𝑌))
1211oveq2d 6829 . . . . 5 (𝑥 = 𝑌 → (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑗))‘(𝑐𝑗))‘𝑥)) = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑗))‘(𝑐𝑗))‘𝑌)))
1312sumeq2ad 14633 . . . 4 (𝑥 = 𝑌 → Σ𝑐 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑗))‘(𝑐𝑗))‘𝑥)) = Σ𝑐 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑗))‘(𝑐𝑗))‘𝑌)))
1413adantl 473 . . 3 ((𝜑𝑥 = 𝑌) → Σ𝑐 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑗))‘(𝑐𝑗))‘𝑥)) = Σ𝑐 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑗))‘(𝑐𝑗))‘𝑌)))
15 etransclem31.y . . 3 (𝜑𝑌𝑋)
168, 6etransclem16 40970 . . . 4 (𝜑 → (𝐶𝑁) ∈ Fin)
176faccld 13265 . . . . . . . 8 (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
1817nncnd 11228 . . . . . . 7 (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
1918adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
20 fzfid 12966 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → (0...𝑀) ∈ Fin)
21 fzssnn0 40031 . . . . . . . . . 10 (0...𝑁) ⊆ ℕ0
22 ssrab2 3828 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁} ⊆ ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀))
23 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → 𝑐 ∈ (𝐶𝑁))
248, 6etransclem12 40966 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐶𝑁) = {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁})
2524adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → (𝐶𝑁) = {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁})
2623, 25eleqtrd 2841 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁})
2722, 26sseldi 3742 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → 𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)))
2827adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)))
29 elmapi 8045 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)) → 𝑐:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑐:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
31 simpr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
3230, 31ffvelrnd 6523 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑐𝑗) ∈ (0...𝑁))
3321, 32sseldi 3742 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑐𝑗) ∈ ℕ0)
3433faccld 13265 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (!‘(𝑐𝑗)) ∈ ℕ)
3534nncnd 11228 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (!‘(𝑐𝑗)) ∈ ℂ)
3620, 35fprodcl 14881 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗)) ∈ ℂ)
3734nnne0d 11257 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (!‘(𝑐𝑗)) ≠ 0)
3820, 35, 37fprodn0 14908 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗)) ≠ 0)
3919, 36, 38divcld 10993 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → ((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) ∈ ℂ)
401ad2antrr 764 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
412ad2antrr 764 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
423ad2antrr 764 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℕ)
43 etransclem5 40959 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))) = (𝑘 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑦𝑋 ↦ ((𝑦𝑘)↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
447, 43eqtri 2782 . . . . . . . 8 𝐻 = (𝑘 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑦𝑋 ↦ ((𝑦𝑘)↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
4540, 41, 42, 44, 31, 33etransclem20 40974 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑗))‘(𝑐𝑗)):𝑋⟶ℂ)
4615ad2antrr 764 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑌𝑋)
4745, 46ffvelrnd 6523 . . . . . 6 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑗))‘(𝑐𝑗))‘𝑌) ∈ ℂ)
4820, 47fprodcl 14881 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑗))‘(𝑐𝑗))‘𝑌) ∈ ℂ)
4939, 48mulcld 10252 . . . 4 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑗))‘(𝑐𝑗))‘𝑌)) ∈ ℂ)
5016, 49fsumcl 14663 . . 3 (𝜑 → Σ𝑐 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑗))‘(𝑐𝑗))‘𝑌)) ∈ ℂ)
519, 14, 15, 50fvmptd 6450 . 2 (𝜑 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝑌) = Σ𝑐 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑗))‘(𝑐𝑗))‘𝑌)))
5240, 41, 42, 44, 31, 33, 46etransclem21 40975 . . . . . 6 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑗))‘(𝑐𝑗))‘𝑌) = if(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < (𝑐𝑗), 0, (((!‘if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − (𝑐𝑗)))) · ((𝑌𝑗)↑(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − (𝑐𝑗))))))
5352prodeq2dv 14852 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑗))‘(𝑐𝑗))‘𝑌) = ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)if(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < (𝑐𝑗), 0, (((!‘if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − (𝑐𝑗)))) · ((𝑌𝑗)↑(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − (𝑐𝑗))))))
54 nn0uz 11915 . . . . . . . 8 0 = (ℤ‘0)
554, 54syl6eleq 2849 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘0))
5655adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ‘0))
5752, 47eqeltrrd 2840 . . . . . 6 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → if(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < (𝑐𝑗), 0, (((!‘if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − (𝑐𝑗)))) · ((𝑌𝑗)↑(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − (𝑐𝑗))))) ∈ ℂ)
58 iftrue 4236 . . . . . . . 8 (𝑗 = 0 → if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) = (𝑃 − 1))
59 fveq2 6352 . . . . . . . 8 (𝑗 = 0 → (𝑐𝑗) = (𝑐‘0))
6058, 59breq12d 4817 . . . . . . 7 (𝑗 = 0 → (if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < (𝑐𝑗) ↔ (𝑃 − 1) < (𝑐‘0)))
6158fveq2d 6356 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 0 → (!‘if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = (!‘(𝑃 − 1)))
6258, 59oveq12d 6831 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 0 → (if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − (𝑐𝑗)) = ((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))
6362fveq2d 6356 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 0 → (!‘(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − (𝑐𝑗))) = (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))
6461, 63oveq12d 6831 . . . . . . . 8 (𝑗 = 0 → ((!‘if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − (𝑐𝑗)))) = ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))))
65 oveq2 6821 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 0 → (𝑌𝑗) = (𝑌 − 0))
6665, 62oveq12d 6831 . . . . . . . 8 (𝑗 = 0 → ((𝑌𝑗)↑(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − (𝑐𝑗))) = ((𝑌 − 0)↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))
6764, 66oveq12d 6831 . . . . . . 7 (𝑗 = 0 → (((!‘if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − (𝑐𝑗)))) · ((𝑌𝑗)↑(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − (𝑐𝑗)))) = (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · ((𝑌 − 0)↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))))
6860, 67ifbieq2d 4255 . . . . . 6 (𝑗 = 0 → if(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < (𝑐𝑗), 0, (((!‘if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − (𝑐𝑗)))) · ((𝑌𝑗)↑(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − (𝑐𝑗))))) = if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · ((𝑌 − 0)↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))))
6956, 57, 68fprod1p 14897 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)if(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < (𝑐𝑗), 0, (((!‘if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − (𝑐𝑗)))) · ((𝑌𝑗)↑(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − (𝑐𝑗))))) = (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · ((𝑌 − 0)↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)if(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < (𝑐𝑗), 0, (((!‘if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − (𝑐𝑗)))) · ((𝑌𝑗)↑(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − (𝑐𝑗)))))))
701, 2dvdmsscn 40654 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
7170, 15sseldd 3745 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
7271subid1d 10573 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑌 − 0) = 𝑌)
7372oveq1d 6828 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑌 − 0)↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))) = (𝑌↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))
7473oveq2d 6829 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · ((𝑌 − 0)↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) = (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝑌↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))))
7574ifeq2d 4249 . . . . . . 7 (𝜑 → if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · ((𝑌 − 0)↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) = if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝑌↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))))
76 0p1e1 11324 . . . . . . . . . . 11 (0 + 1) = 1
7776oveq1i 6823 . . . . . . . . . 10 ((0 + 1)...𝑀) = (1...𝑀)
7877prodeq1i 14847 . . . . . . . . 9 𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)if(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < (𝑐𝑗), 0, (((!‘if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − (𝑐𝑗)))) · ((𝑌𝑗)↑(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − (𝑐𝑗))))) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < (𝑐𝑗), 0, (((!‘if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − (𝑐𝑗)))) · ((𝑌𝑗)↑(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − (𝑐𝑗)))))
79 0red 10233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 0 ∈ ℝ)
80 1red 10247 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 1 ∈ ℝ)
81 elfzelz 12535 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
8281zred 11674 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ)
83 0lt1 10742 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 < 1
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 0 < 1)
85 elfzle1 12537 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 1 ≤ 𝑗)
8679, 80, 82, 84, 85ltletrd 10389 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 0 < 𝑗)
8786gt0ne0d 10784 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ≠ 0)
8887neneqd 2937 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → ¬ 𝑗 = 0)
8988iffalsed 4241 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) = 𝑃)
9089breq1d 4814 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → (if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < (𝑐𝑗) ↔ 𝑃 < (𝑐𝑗)))
9189fveq2d 6356 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → (!‘if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) = (!‘𝑃))
9289oveq1d 6828 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → (if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − (𝑐𝑗)) = (𝑃 − (𝑐𝑗)))
9392fveq2d 6356 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → (!‘(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − (𝑐𝑗))) = (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗))))
9491, 93oveq12d 6831 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → ((!‘if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − (𝑐𝑗)))) = ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))))
9592oveq2d 6829 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → ((𝑌𝑗)↑(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − (𝑐𝑗))) = ((𝑌𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))
9694, 95oveq12d 6831 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → (((!‘if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − (𝑐𝑗)))) · ((𝑌𝑗)↑(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − (𝑐𝑗)))) = (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝑌𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗)))))
9790, 96ifbieq2d 4255 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → if(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < (𝑐𝑗), 0, (((!‘if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − (𝑐𝑗)))) · ((𝑌𝑗)↑(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − (𝑐𝑗))))) = if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝑌𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))
9897prodeq2i 14848 . . . . . . . . 9 𝑗 ∈ (1...𝑀)if(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < (𝑐𝑗), 0, (((!‘if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − (𝑐𝑗)))) · ((𝑌𝑗)↑(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − (𝑐𝑗))))) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝑌𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗)))))
9978, 98eqtri 2782 . . . . . . . 8 𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)if(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < (𝑐𝑗), 0, (((!‘if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − (𝑐𝑗)))) · ((𝑌𝑗)↑(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − (𝑐𝑗))))) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝑌𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗)))))
10099a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)if(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < (𝑐𝑗), 0, (((!‘if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − (𝑐𝑗)))) · ((𝑌𝑗)↑(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − (𝑐𝑗))))) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝑌𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))
10175, 100oveq12d 6831 . . . . . 6 (𝜑 → (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · ((𝑌 − 0)↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)if(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < (𝑐𝑗), 0, (((!‘if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − (𝑐𝑗)))) · ((𝑌𝑗)↑(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − (𝑐𝑗)))))) = (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝑌↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝑌𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗)))))))
102101adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · ((𝑌 − 0)↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)if(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) < (𝑐𝑗), 0, (((!‘if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) / (!‘(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − (𝑐𝑗)))) · ((𝑌𝑗)↑(if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) − (𝑐𝑗)))))) = (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝑌↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝑌𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗)))))))
10353, 69, 1023eqtrd 2798 . . . 4 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑗))‘(𝑐𝑗))‘𝑌) = (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝑌↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝑌𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗)))))))
104103oveq2d 6829 . . 3 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑗))‘(𝑐𝑗))‘𝑌)) = (((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝑌↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝑌𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))))
105104sumeq2dv 14632 . 2 (𝜑 → Σ𝑐 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑗))‘(𝑐𝑗))‘𝑌)) = Σ𝑐 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝑌↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝑌𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))))
10651, 105eqtrd 2794 1 (𝜑 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝑌) = Σ𝑐 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (𝑌↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((𝑌𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  {crab 3054  ifcif 4230  {cpr 4323   class class class wbr 4804  cmpt 4881  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  𝑚 cmap 8023  cc 10126  cr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133   < clt 10266  cmin 10458   / cdiv 10876  cn 11212  0cn0 11484  cuz 11879  ...cfz 12519  cexp 13054  !cfa 13254  Σcsu 14615  cprod 14834  t crest 16283  TopOpenctopn 16284  fldccnfld 19948   D𝑛 cdvn 23827
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207  ax-mulf 10208
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-seq 12996  df-exp 13055  df-fac 13255  df-bc 13284  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-clim 14418  df-sum 14616  df-prod 14835  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-hom 16168  df-cco 16169  df-rest 16285  df-topn 16286  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-topgen 16306  df-pt 16307  df-prds 16310  df-xrs 16364  df-qtop 16369  df-imas 16370  df-xps 16372  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-fbas 19945  df-fg 19946  df-cnfld 19949  df-top 20901  df-topon 20918  df-topsp 20939  df-bases 20952  df-cld 21025  df-ntr 21026  df-cls 21027  df-nei 21104  df-lp 21142  df-perf 21143  df-cn 21233  df-cnp 21234  df-haus 21321  df-tx 21567  df-hmeo 21760  df-fil 21851  df-fm 21943  df-flim 21944  df-flf 21945  df-xms 22326  df-ms 22327  df-tms 22328  df-cncf 22882  df-limc 23829  df-dv 23830  df-dvn 23831
This theorem is referenced by:  etransclem35  40989  etransclem36  40990  etransclem37  40991  etransclem38  40992
  Copyright terms: Public domain W3C validator