Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem3 40874
Description: The given if term is an integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem3.n (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
etransclem3.c (𝜑𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
etransclem3.j (𝜑𝐽 ∈ (0...𝑀))
etransclem3.4 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
etransclem3 (𝜑 → if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · ((𝐾𝐽)↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))) ∈ ℤ)

Proof of Theorem etransclem3
StepHypRef Expression
1 0zd 11502 . 2 ((𝜑𝑃 < (𝐶𝐽)) → 0 ∈ ℤ)
2 0zd 11502 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) → 0 ∈ ℤ)
3 etransclem3.n . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
43nnzd 11594 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
54adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) → 𝑃 ∈ ℤ)
6 etransclem3.c . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
7 etransclem3.j . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐽 ∈ (0...𝑀))
86, 7ffvelrnd 6475 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐶𝐽) ∈ (0...𝑁))
98elfzelzd 39945 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐶𝐽) ∈ ℤ)
104, 9zsubcld 11600 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 − (𝐶𝐽)) ∈ ℤ)
1110adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) → (𝑃 − (𝐶𝐽)) ∈ ℤ)
122, 5, 113jca 1379 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐶𝐽)) ∈ ℤ))
139zred 11595 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐶𝐽) ∈ ℝ)
1413adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) → (𝐶𝐽) ∈ ℝ)
155zred 11595 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) → 𝑃 ∈ ℝ)
16 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) → ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽))
1714, 15, 16nltled 10300 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) → (𝐶𝐽) ≤ 𝑃)
1815, 14subge0d 10730 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) → (0 ≤ (𝑃 − (𝐶𝐽)) ↔ (𝐶𝐽) ≤ 𝑃))
1917, 18mpbird 247 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) → 0 ≤ (𝑃 − (𝐶𝐽)))
20 elfzle1 12458 . . . . . . . . . 10 ((𝐶𝐽) ∈ (0...𝑁) → 0 ≤ (𝐶𝐽))
218, 20syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (𝐶𝐽))
223nnred 11148 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
2322, 13subge02d 10732 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 ≤ (𝐶𝐽) ↔ (𝑃 − (𝐶𝐽)) ≤ 𝑃))
2421, 23mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 − (𝐶𝐽)) ≤ 𝑃)
2524adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) → (𝑃 − (𝐶𝐽)) ≤ 𝑃)
2612, 19, 25jca32 559 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐶𝐽)) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ (𝑃 − (𝐶𝐽)) ∧ (𝑃 − (𝐶𝐽)) ≤ 𝑃)))
27 elfz2 12447 . . . . . 6 ((𝑃 − (𝐶𝐽)) ∈ (0...𝑃) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐶𝐽)) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ (𝑃 − (𝐶𝐽)) ∧ (𝑃 − (𝐶𝐽)) ≤ 𝑃)))
2826, 27sylibr 224 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) → (𝑃 − (𝐶𝐽)) ∈ (0...𝑃))
29 permnn 13228 . . . . 5 ((𝑃 − (𝐶𝐽)) ∈ (0...𝑃) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) ∈ ℕ)
3028, 29syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) ∈ ℕ)
3130nnzd 11594 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) ∈ ℤ)
32 etransclem3.4 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
337elfzelzd 39945 . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
3432, 33zsubcld 11600 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾𝐽) ∈ ℤ)
3534adantr 472 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) → (𝐾𝐽) ∈ ℤ)
36 elnn0z 11503 . . . . 5 ((𝑃 − (𝐶𝐽)) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑃 − (𝐶𝐽)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑃 − (𝐶𝐽))))
3711, 19, 36sylanbrc 701 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) → (𝑃 − (𝐶𝐽)) ∈ ℕ0)
38 zexpcl 12990 . . . 4 (((𝐾𝐽) ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (𝐶𝐽)) ∈ ℕ0) → ((𝐾𝐽)↑(𝑃 − (𝐶𝐽))) ∈ ℤ)
3935, 37, 38syl2anc 696 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) → ((𝐾𝐽)↑(𝑃 − (𝐶𝐽))) ∈ ℤ)
4031, 39zmulcld 11601 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 < (𝐶𝐽)) → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · ((𝐾𝐽)↑(𝑃 − (𝐶𝐽)))) ∈ ℤ)
411, 40ifclda 4228 1 (𝜑 → if(𝑃 < (𝐶𝐽), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐶𝐽)))) · ((𝐾𝐽)↑(𝑃 − (𝐶𝐽))))) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  w3a 1072  wcel 2103  ifcif 4194   class class class wbr 4760  wf 5997  cfv 6001  (class class class)co 6765  cr 10048  0cc0 10049   · cmul 10054   < clt 10187  cle 10188  cmin 10379   / cdiv 10797  cn 11133  0cn0 11405  cz 11490  ...cfz 12440  cexp 12975  !cfa 13175
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-n0 11406  df-z 11491  df-uz 11801  df-rp 11947  df-fz 12441  df-seq 12917  df-exp 12976  df-fac 13176  df-bc 13205
This theorem is referenced by:  etransclem24  40895  etransclem25  40896  etransclem26  40897  etransclem35  40906  etransclem37  40908
  Copyright terms: Public domain W3C validator