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Theorem etransclem23 40894
Description: This is the claim proof in [Juillerat] p. 14 (but in our proof, Stirling's approximation is not used). (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem23.a (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℤ)
etransclem23.l 𝐿 = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)
etransclem23.k 𝐾 = (𝐿 / (!‘(𝑃 − 1)))
etransclem23.p (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
etransclem23.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
etransclem23.f 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃)))
etransclem23.lt1 (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − 1)))) < 1)
Assertion
Ref Expression
etransclem23 (𝜑 → (abs‘𝐾) < 1)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑀,𝑥   𝑃,𝑗,𝑥   𝜑,𝑗,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑗)   𝐹(𝑥,𝑗)   𝐾(𝑥,𝑗)   𝐿(𝑥,𝑗)

Proof of Theorem etransclem23
Dummy variables 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 etransclem23.k . . . . . 6 𝐾 = (𝐿 / (!‘(𝑃 − 1)))
2 etransclem23.l . . . . . . 7 𝐿 = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)
32oveq1i 6775 . . . . . 6 (𝐿 / (!‘(𝑃 − 1))) = (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥) / (!‘(𝑃 − 1)))
41, 3eqtri 2746 . . . . 5 𝐾 = (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥) / (!‘(𝑃 − 1)))
54fveq2i 6307 . . . 4 (abs‘𝐾) = (abs‘(Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥) / (!‘(𝑃 − 1))))
65a1i 11 . . 3 (𝜑 → (abs‘𝐾) = (abs‘(Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥) / (!‘(𝑃 − 1)))))
7 fzfid 12887 . . . . 5 (𝜑 → (0...𝑀) ∈ Fin)
8 etransclem23.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℤ)
98adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝐴:ℕ0⟶ℤ)
10 elfznn0 12547 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℕ0)
1110adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
129, 11ffvelrnd 6475 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝐴𝑗) ∈ ℤ)
1312zcnd 11596 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
14 ere 14939 . . . . . . . . . 10 e ∈ ℝ
1514recni 10165 . . . . . . . . 9 e ∈ ℂ
1615a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → e ∈ ℂ)
17 elfzelz 12456 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
1817zcnd 11596 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℂ)
1918adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑗 ∈ ℂ)
2016, 19cxpcld 24574 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (e↑𝑐𝑗) ∈ ℂ)
2113, 20mulcld 10173 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) ∈ ℂ)
2215a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → e ∈ ℂ)
23 elioore 12319 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (0(,)𝑗) → 𝑥 ∈ ℝ)
2423recnd 10181 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0(,)𝑗) → 𝑥 ∈ ℂ)
2524adantl 473 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 𝑥 ∈ ℂ)
2625negcld 10492 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → -𝑥 ∈ ℂ)
2722, 26cxpcld 24574 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (e↑𝑐-𝑥) ∈ ℂ)
28 ax-resscn 10106 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ⊆ ℂ
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
30 etransclem23.p . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
31 etransclem23.f . . . . . . . . . . . 12 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃)))
3229, 30, 31etransclem8 40879 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
3332adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
3423adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ)
3533, 34ffvelrnd 6475 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
3635adantlr 753 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
3727, 36mulcld 10173 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → ((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) ∈ ℂ)
38 reelprrecn 10141 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
3938a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
40 reopn 39917 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ (topGen‘ran (,))
41 eqid 2724 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
4241tgioo2 22728 . . . . . . . . . 10 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
4340, 42eleqtri 2801 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
4443a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ℝ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
4530adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℕ)
46 etransclem23.m . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
4746nnnn0d 11464 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
4847adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
49 etransclem6 40877 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑(𝑃 − 1)) · ∏ ∈ (1...𝑀)((𝑦)↑𝑃)))
50 etransclem6 40877 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑(𝑃 − 1)) · ∏ ∈ (1...𝑀)((𝑦)↑𝑃))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑘)↑𝑃)))
5131, 49, 503eqtri 2750 . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑘)↑𝑃)))
52 0red 10154 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 0 ∈ ℝ)
5317zred 11595 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ)
5453adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑗 ∈ ℝ)
5539, 44, 45, 48, 51, 52, 54etransclem18 40889 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑥 ∈ (0(,)𝑗) ↦ ((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥))) ∈ 𝐿1)
5637, 55itgcl 23670 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥 ∈ ℂ)
5721, 56mulcld 10173 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥) ∈ ℂ)
587, 57fsumcl 14584 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥) ∈ ℂ)
59 nnm1nn0 11447 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
6030, 59syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
6160faccld 13186 . . . . 5 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℕ)
6261nncnd 11149 . . . 4 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
6361nnne0d 11178 . . . 4 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ≠ 0)
6458, 62, 63absdivd 14314 . . 3 (𝜑 → (abs‘(Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥) / (!‘(𝑃 − 1)))) = ((abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)) / (abs‘(!‘(𝑃 − 1)))))
6561nnred 11148 . . . . 5 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℝ)
6661nnnn0d 11464 . . . . . 6 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℕ0)
6766nn0ge0d 11467 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (!‘(𝑃 − 1)))
6865, 67absidd 14281 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(!‘(𝑃 − 1))) = (!‘(𝑃 − 1)))
6968oveq2d 6781 . . 3 (𝜑 → ((abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)) / (abs‘(!‘(𝑃 − 1)))) = ((abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)) / (!‘(𝑃 − 1))))
706, 64, 693eqtrd 2762 . 2 (𝜑 → (abs‘𝐾) = ((abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)) / (!‘(𝑃 − 1))))
712, 58syl5eqel 2807 . . . . . . 7 (𝜑𝐿 ∈ ℂ)
7271, 62, 63divcld 10914 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿 / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℂ)
731, 72syl5eqel 2807 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
7473abscld 14295 . . . 4 (𝜑 → (abs‘𝐾) ∈ ℝ)
7570, 74eqeltrrd 2804 . . 3 (𝜑 → ((abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℝ)
7646nnred 11148 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
7730nnnn0d 11464 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑃 ∈ ℕ0)
7876, 77reexpcld 13140 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀𝑃) ∈ ℝ)
79 peano2nn0 11446 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
8047, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
8178, 80reexpcld 13140 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
8281recnd 10181 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) ∈ ℂ)
8346nncnd 11149 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
8482, 83mulcomd 10174 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · 𝑀) = (𝑀 · ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1))))
8530nncnd 11149 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
86 1cnd 10169 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
8785, 86npcand 10509 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑃 − 1) + 1) = 𝑃)
8887eqcomd 2730 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑃 = ((𝑃 − 1) + 1))
8988oveq2d 6781 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑃) = ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑((𝑃 − 1) + 1)))
9080nn0cnd 11466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℂ)
9190, 85mulcomd 10174 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑀 + 1) · 𝑃) = (𝑃 · (𝑀 + 1)))
9291oveq2d 6781 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀↑((𝑀 + 1) · 𝑃)) = (𝑀↑(𝑃 · (𝑀 + 1))))
9383, 77, 80expmuld 13126 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀↑((𝑀 + 1) · 𝑃)) = ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑃))
9483, 80, 77expmuld 13126 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀↑(𝑃 · (𝑀 + 1))) = ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)))
9592, 93, 943eqtr3d 2766 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑃) = ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)))
9676, 80reexpcld 13140 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑀↑(𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
9796recnd 10181 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀↑(𝑀 + 1)) ∈ ℂ)
9897, 60expp1d 13124 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑((𝑃 − 1) + 1)) = (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1)) · (𝑀↑(𝑀 + 1))))
9989, 95, 983eqtr3d 2766 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) = (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1)) · (𝑀↑(𝑀 + 1))))
10099oveq2d 6781 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑀 · ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1))) = (𝑀 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1)) · (𝑀↑(𝑀 + 1)))))
10197, 60expcld 13123 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
10283, 101, 97mul12d 10358 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑀 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1)) · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) = (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1)) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))))
10383, 97mulcld 10173 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1))) ∈ ℂ)
104101, 103mulcomd 10174 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1)) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) = ((𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1))) · ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1))))
105102, 104eqtrd 2758 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑀 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1)) · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) = ((𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1))) · ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1))))
10684, 100, 1053eqtrd 2762 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · 𝑀) = ((𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1))) · ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1))))
107106adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · 𝑀) = ((𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1))) · ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1))))
108107oveq2d 6781 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · 𝑀)) = ((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · ((𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1))) · ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1)))))
10921abscld 14295 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) ∈ ℝ)
110109recnd 10181 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) ∈ ℂ)
111103adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1))) ∈ ℂ)
112101adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
113110, 111, 112mulassd 10176 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1))) = ((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · ((𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1))) · ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1)))))
114108, 113eqtr4d 2761 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · 𝑀)) = (((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1))))
115114sumeq2dv 14553 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · 𝑀)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1))))
116110, 111mulcld 10173 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) ∈ ℂ)
1177, 101, 116fsummulc1 14637 . . . . . . 7 (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1))) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1))))
118115, 117eqtr4d 2761 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · 𝑀)) = (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1))))
119118oveq1d 6780 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · 𝑀)) / (!‘(𝑃 − 1))) = ((Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1))) / (!‘(𝑃 − 1))))
1207, 116fsumcl 14584 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) ∈ ℂ)
121120, 101, 62, 63divassd 10949 . . . . 5 (𝜑 → ((Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1))) / (!‘(𝑃 − 1))) = (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − 1)))))
122119, 121eqtrd 2758 . . . 4 (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · 𝑀)) / (!‘(𝑃 − 1))) = (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − 1)))))
12381adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
12476adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ)
125123, 124remulcld 10183 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · 𝑀) ∈ ℝ)
126109, 125remulcld 10183 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · 𝑀)) ∈ ℝ)
1277, 126fsumrecl 14585 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · 𝑀)) ∈ ℝ)
128127, 61nndivred 11182 . . . 4 (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · 𝑀)) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℝ)
129122, 128eqeltrrd 2804 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − 1)))) ∈ ℝ)
130 1red 10168 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
13158abscld 14295 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)) ∈ ℝ)
13261nnrpd 11984 . . . . 5 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℝ+)
13357abscld 14295 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (abs‘(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)) ∈ ℝ)
1347, 133fsumrecl 14585 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(abs‘(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)) ∈ ℝ)
1357, 57fsumabs 14653 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)) ≤ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(abs‘(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)))
13681ad2antrr 764 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
137 ioombl 23454 . . . . . . . . . . . 12 (0(,)𝑗) ∈ dom vol
138137a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (0(,)𝑗) ∈ dom vol)
139 0red 10154 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 0 ∈ ℝ)
140 elfzle1 12458 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 0 ≤ 𝑗)
141 volioo 23458 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑗) → (vol‘(0(,)𝑗)) = (𝑗 − 0))
142139, 53, 140, 141syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (vol‘(0(,)𝑗)) = (𝑗 − 0))
14353, 139resubcld 10571 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 0) ∈ ℝ)
144142, 143eqeltrd 2803 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (vol‘(0(,)𝑗)) ∈ ℝ)
145144adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (vol‘(0(,)𝑗)) ∈ ℝ)
14682adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) ∈ ℂ)
147 iblconstmpt 40591 . . . . . . . . . . 11 (((0(,)𝑗) ∈ dom vol ∧ (vol‘(0(,)𝑗)) ∈ ℝ ∧ ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ (0(,)𝑗) ↦ ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1))) ∈ 𝐿1)
148138, 145, 146, 147syl3anc 1439 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑥 ∈ (0(,)𝑗) ↦ ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1))) ∈ 𝐿1)
149136, 148itgrecl 23684 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ∫(0(,)𝑗)((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) d𝑥 ∈ ℝ)
150109, 149remulcld 10183 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · ∫(0(,)𝑗)((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) d𝑥) ∈ ℝ)
1517, 150fsumrecl 14585 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · ∫(0(,)𝑗)((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) d𝑥) ∈ ℝ)
15221, 56absmuld 14313 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (abs‘(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)) = ((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (abs‘∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)))
15356abscld 14295 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (abs‘∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥) ∈ ℝ)
15421absge0d 14303 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 0 ≤ (abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))))
15537abscld 14295 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (abs‘((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥))) ∈ ℝ)
15637, 55iblabs 23715 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑥 ∈ (0(,)𝑗) ↦ (abs‘((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)))) ∈ 𝐿1)
157155, 156itgrecl 23684 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ∫(0(,)𝑗)(abs‘((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ)
15837, 55itgabs 23721 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (abs‘∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥) ≤ ∫(0(,)𝑗)(abs‘((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥))) d𝑥)
15927, 36absmuld 14313 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (abs‘((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥))) = ((abs‘(e↑𝑐-𝑥)) · (abs‘(𝐹𝑥))))
16027abscld 14295 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (abs‘(e↑𝑐-𝑥)) ∈ ℝ)
161 1red 10168 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 1 ∈ ℝ)
16236abscld 14295 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (abs‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
16327absge0d 14303 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 0 ≤ (abs‘(e↑𝑐-𝑥)))
16436absge0d 14303 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 0 ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))
16514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ (0(,)𝑗) → e ∈ ℝ)
166 0re 10153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ ℝ
167 epos 15055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 < e
168166, 14, 167ltleii 10273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 0 ≤ e
169168a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ (0(,)𝑗) → 0 ≤ e)
17023renegcld 10570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ (0(,)𝑗) → -𝑥 ∈ ℝ)
171165, 169, 170recxpcld 24589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ (0(,)𝑗) → (e↑𝑐-𝑥) ∈ ℝ)
172165, 169, 170cxpge0d 24590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ (0(,)𝑗) → 0 ≤ (e↑𝑐-𝑥))
173171, 172absidd 14281 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ (0(,)𝑗) → (abs‘(e↑𝑐-𝑥)) = (e↑𝑐-𝑥))
174173adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (abs‘(e↑𝑐-𝑥)) = (e↑𝑐-𝑥))
175171adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (e↑𝑐-𝑥) ∈ ℝ)
176 1red 10168 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 1 ∈ ℝ)
177 0xr 10199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 0 ∈ ℝ*
178177a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 0 ∈ ℝ*)
17953rexrd 10202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ*)
180179adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 𝑗 ∈ ℝ*)
181 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 𝑥 ∈ (0(,)𝑗))
182 ioogtlb 40137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((0 ∈ ℝ*𝑗 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 0 < 𝑥)
183178, 180, 181, 182syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 0 < 𝑥)
18423adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ)
185184lt0neg2d 10711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (0 < 𝑥 ↔ -𝑥 < 0))
186183, 185mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → -𝑥 < 0)
18714a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → e ∈ ℝ)
188 1lt2 11307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 < 2
189 egt2lt3 15054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (2 < e ∧ e < 3)
190189simpli 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 < e
191 1re 10152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 ∈ ℝ
192 2re 11203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 ∈ ℝ
193191, 192, 14lttri 10276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((1 < 2 ∧ 2 < e) → 1 < e)
194188, 190, 193mp2an 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 < e
195194a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 1 < e)
196170adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → -𝑥 ∈ ℝ)
197 0red 10154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 0 ∈ ℝ)
198187, 195, 196, 197cxpltd 24585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (-𝑥 < 0 ↔ (e↑𝑐-𝑥) < (e↑𝑐0)))
199186, 198mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (e↑𝑐-𝑥) < (e↑𝑐0))
200 cxp0 24536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (e ∈ ℂ → (e↑𝑐0) = 1)
20115, 200mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (e↑𝑐0) = 1)
202199, 201breqtrd 4786 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (e↑𝑐-𝑥) < 1)
203175, 176, 202ltled 10298 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (e↑𝑐-𝑥) ≤ 1)
204174, 203eqbrtrd 4782 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (abs‘(e↑𝑐-𝑥)) ≤ 1)
205204adantll 752 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (abs‘(e↑𝑐-𝑥)) ≤ 1)
20628a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → ℝ ⊆ ℂ)
20730ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 𝑃 ∈ ℕ)
20847ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
20931, 49eqtri 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑(𝑃 − 1)) · ∏ ∈ (1...𝑀)((𝑦)↑𝑃)))
21023adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ)
211206, 207, 208, 209, 210etransclem13 40884 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (𝐹𝑥) = ∏ ∈ (0...𝑀)((𝑥)↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
212211fveq2d 6308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (abs‘(𝐹𝑥)) = (abs‘∏ ∈ (0...𝑀)((𝑥)↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
213 nn0uz 11836 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 = (ℤ‘0)
21423adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ (0(,)𝑗) ∧ ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℝ)
215 nn0re 11414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ( ∈ ℕ0 ∈ ℝ)
216215adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ (0(,)𝑗) ∧ ∈ ℕ0) → ∈ ℝ)
217214, 216resubcld 10571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ (0(,)𝑗) ∧ ∈ ℕ0) → (𝑥) ∈ ℝ)
218217adantll 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ ℕ0) → (𝑥) ∈ ℝ)
21960, 77ifcld 4239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℕ0)
220219ad3antrrr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ ℕ0) → if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℕ0)
221218, 220reexpcld 13140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ ℕ0) → ((𝑥)↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ∈ ℝ)
222221recnd 10181 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ ℕ0) → ((𝑥)↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ∈ ℂ)
223213, 208, 222fprodabs 14824 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (abs‘∏ ∈ (0...𝑀)((𝑥)↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) = ∏ ∈ (0...𝑀)(abs‘((𝑥)↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
224 elfznn0 12547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ( ∈ (0...𝑀) → ∈ ℕ0)
22524adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ (0(,)𝑗) ∧ ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℂ)
226 nn0cn 11415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ( ∈ ℕ0 ∈ ℂ)
227226adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ (0(,)𝑗) ∧ ∈ ℕ0) → ∈ ℂ)
228225, 227subcld 10505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ (0(,)𝑗) ∧ ∈ ℕ0) → (𝑥) ∈ ℂ)
229228adantll 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ ℕ0) → (𝑥) ∈ ℂ)
230224, 229sylan2 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → (𝑥) ∈ ℂ)
231219ad3antrrr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℕ0)
232230, 231absexpd 14311 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → (abs‘((𝑥)↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) = ((abs‘(𝑥))↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
233232prodeq2dv 14773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → ∏ ∈ (0...𝑀)(abs‘((𝑥)↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) = ∏ ∈ (0...𝑀)((abs‘(𝑥))↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
234212, 223, 2333eqtrd 2762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (abs‘(𝐹𝑥)) = ∏ ∈ (0...𝑀)((abs‘(𝑥))↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
235 nfv 1956 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗))
236 fzfid 12887 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (0...𝑀) ∈ Fin)
237224, 228sylan2 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ (0(,)𝑗) ∧ ∈ (0...𝑀)) → (𝑥) ∈ ℂ)
238237abscld 14295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ (0(,)𝑗) ∧ ∈ (0...𝑀)) → (abs‘(𝑥)) ∈ ℝ)
239238adantll 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → (abs‘(𝑥)) ∈ ℝ)
240239, 231reexpcld 13140 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → ((abs‘(𝑥))↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ∈ ℝ)
241237absge0d 14303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ (0(,)𝑗) ∧ ∈ (0...𝑀)) → 0 ≤ (abs‘(𝑥)))
242241adantll 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → 0 ≤ (abs‘(𝑥)))
243239, 231, 242expge0d 13141 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → 0 ≤ ((abs‘(𝑥))↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
24478ad3antrrr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → (𝑀𝑃) ∈ ℝ)
24576ad3antrrr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ)
246245, 231reexpcld 13140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → (𝑀↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ∈ ℝ)
247224, 218sylan2 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → (𝑥) ∈ ℝ)
24824adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ (0(,)𝑗) ∧ ∈ (0...𝑀)) → 𝑥 ∈ ℂ)
249224, 227sylan2 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ (0(,)𝑗) ∧ ∈ (0...𝑀)) → ∈ ℂ)
250248, 249negsubdi2d 10521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑥 ∈ (0(,)𝑗) ∧ ∈ (0...𝑀)) → -(𝑥) = (𝑥))
251250adantll 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → -(𝑥) = (𝑥))
252224adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → ∈ ℕ0)
253252nn0red 11465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → ∈ ℝ)
254 0red 10154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → 0 ∈ ℝ)
255210adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → 𝑥 ∈ ℝ)
256 elfzle2 12459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ( ∈ (0...𝑀) → 𝑀)
257256adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → 𝑀)
258197, 184, 183ltled 10298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 0 ≤ 𝑥)
259258adantll 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 0 ≤ 𝑥)
260259adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → 0 ≤ 𝑥)
261253, 254, 245, 255, 257, 260le2subd 10760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → (𝑥) ≤ (𝑀 − 0))
26283subid1d 10494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (𝑀 − 0) = 𝑀)
263262ad3antrrr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → (𝑀 − 0) = 𝑀)
264261, 263breqtrd 4786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → (𝑥) ≤ 𝑀)
265251, 264eqbrtrd 4782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → -(𝑥) ≤ 𝑀)
266247, 245, 265lenegcon1d 10722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → -𝑀 ≤ (𝑥))
267 elfzel2 12454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
268267zred 11595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
269268adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 𝑀 ∈ ℝ)
27053adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 𝑗 ∈ ℝ)
271 iooltub 40155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((0 ∈ ℝ*𝑗 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 𝑥 < 𝑗)
272178, 180, 181, 271syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 𝑥 < 𝑗)
273 elfzle2 12459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗𝑀)
274273adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 𝑗𝑀)
275184, 270, 269, 272, 274ltletrd 10310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 𝑥 < 𝑀)
276184, 269, 275ltled 10298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 𝑥𝑀)
277276adantll 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 𝑥𝑀)
278277adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → 𝑥𝑀)
279252nn0ge0d 11467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → 0 ≤ )
280255, 254, 245, 253, 278, 279le2subd 10760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → (𝑥) ≤ (𝑀 − 0))
281280, 263breqtrd 4786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → (𝑥) ≤ 𝑀)
282247, 245absled 14289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → ((abs‘(𝑥)) ≤ 𝑀 ↔ (-𝑀 ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≤ 𝑀)))
283266, 281, 282mpbir2and 995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → (abs‘(𝑥)) ≤ 𝑀)
284 leexp1a 13034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((abs‘(𝑥)) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ (abs‘(𝑥)) ∧ (abs‘(𝑥)) ≤ 𝑀)) → ((abs‘(𝑥))↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ≤ (𝑀↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
285239, 245, 231, 242, 283, 284syl32anc 1447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → ((abs‘(𝑥))↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ≤ (𝑀↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
28646nnge1d 11176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → 1 ≤ 𝑀)
287286ad3antrrr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → 1 ≤ 𝑀)
288219nn0zd 11593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℤ)
28977nn0zd 11593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
290 iftrue 4200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ( = 0 → if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) = (𝑃 − 1))
291290adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 = 0) → if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) = (𝑃 − 1))
29230nnred 11148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
293292lem1d 11070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (𝑃 − 1) ≤ 𝑃)
294293adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 = 0) → (𝑃 − 1) ≤ 𝑃)
295291, 294eqbrtrd 4782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 = 0) → if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ≤ 𝑃)
296 iffalse 4203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 = 0 → if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) = 𝑃)
297296adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ ¬ = 0) → if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) = 𝑃)
298292leidd 10707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝑃𝑃)
299298adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ ¬ = 0) → 𝑃𝑃)
300297, 299eqbrtrd 4782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ ¬ = 0) → if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ≤ 𝑃)
301295, 300pm2.61dan 867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ≤ 𝑃)
302 eluz2 11806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑃 ∈ (ℤ‘if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ↔ (if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ≤ 𝑃))
303288, 289, 301, 302syl3anbrc 1383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
304303ad3antrrr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → 𝑃 ∈ (ℤ‘if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
305245, 287, 304leexp2ad 13156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → (𝑀↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ≤ (𝑀𝑃))
306240, 246, 244, 285, 305letrd 10307 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → ((abs‘(𝑥))↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ≤ (𝑀𝑃))
307235, 236, 240, 243, 244, 306fprodle 14847 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → ∏ ∈ (0...𝑀)((abs‘(𝑥))↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ≤ ∏ ∈ (0...𝑀)(𝑀𝑃))
30878recnd 10181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑀𝑃) ∈ ℂ)
309 fprodconst 14828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((0...𝑀) ∈ Fin ∧ (𝑀𝑃) ∈ ℂ) → ∏ ∈ (0...𝑀)(𝑀𝑃) = ((𝑀𝑃)↑(♯‘(0...𝑀))))
3107, 308, 309syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ∏ ∈ (0...𝑀)(𝑀𝑃) = ((𝑀𝑃)↑(♯‘(0...𝑀))))
311 hashfz0 13332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑀 ∈ ℕ0 → (♯‘(0...𝑀)) = (𝑀 + 1))
31247, 311syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (♯‘(0...𝑀)) = (𝑀 + 1))
313312oveq2d 6781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝑀𝑃)↑(♯‘(0...𝑀))) = ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)))
314310, 313eqtrd 2758 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ∏ ∈ (0...𝑀)(𝑀𝑃) = ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)))
315314ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → ∏ ∈ (0...𝑀)(𝑀𝑃) = ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)))
316307, 315breqtrd 4786 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → ∏ ∈ (0...𝑀)((abs‘(𝑥))↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ≤ ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)))
317234, 316eqbrtrd 4782 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)))
318160, 161, 162, 136, 163, 164, 205, 317lemul12ad 11079 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → ((abs‘(e↑𝑐-𝑥)) · (abs‘(𝐹𝑥))) ≤ (1 · ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1))))
31982mulid2d 10171 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (1 · ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1))) = ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)))
320319ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (1 · ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1))) = ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)))
321318, 320breqtrd 4786 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → ((abs‘(e↑𝑐-𝑥)) · (abs‘(𝐹𝑥))) ≤ ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)))
322159, 321eqbrtrd 4782 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (abs‘((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥))) ≤ ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)))
323156, 148, 155, 136, 322itgle 23696 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ∫(0(,)𝑗)(abs‘((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥))) d𝑥 ≤ ∫(0(,)𝑗)((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) d𝑥)
324153, 157, 149, 158, 323letrd 10307 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (abs‘∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥) ≤ ∫(0(,)𝑗)((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) d𝑥)
325153, 149, 109, 154, 324lemul2ad 11077 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (abs‘∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)) ≤ ((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · ∫(0(,)𝑗)((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) d𝑥))
326152, 325eqbrtrd 4782 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (abs‘(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)) ≤ ((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · ∫(0(,)𝑗)((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) d𝑥))
3277, 133, 150, 326fsumle 14651 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(abs‘(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)) ≤ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · ∫(0(,)𝑗)((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) d𝑥))
328 itgconst 23705 . . . . . . . . . . 11 (((0(,)𝑗) ∈ dom vol ∧ (vol‘(0(,)𝑗)) ∈ ℝ ∧ ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) ∈ ℂ) → ∫(0(,)𝑗)((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) d𝑥 = (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · (vol‘(0(,)𝑗))))
329138, 145, 146, 328syl3anc 1439 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ∫(0(,)𝑗)((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) d𝑥 = (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · (vol‘(0(,)𝑗))))
33047nn0ge0d 11467 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
33176, 77, 330expge0d 13141 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ≤ (𝑀𝑃))
33278, 80, 331expge0d 13141 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)))
333332adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 0 ≤ ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)))
33418subid1d 10494 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 0) = 𝑗)
335142, 334eqtrd 2758 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (vol‘(0(,)𝑗)) = 𝑗)
336335, 273eqbrtrd 4782 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (vol‘(0(,)𝑗)) ≤ 𝑀)
337336adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (vol‘(0(,)𝑗)) ≤ 𝑀)
338145, 124, 123, 333, 337lemul2ad 11077 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · (vol‘(0(,)𝑗))) ≤ (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · 𝑀))
339329, 338eqbrtrd 4782 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ∫(0(,)𝑗)((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) d𝑥 ≤ (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · 𝑀))
340149, 125, 109, 154, 339lemul2ad 11077 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · ∫(0(,)𝑗)((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) d𝑥) ≤ ((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · 𝑀)))
3417, 150, 126, 340fsumle 14651 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · ∫(0(,)𝑗)((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) d𝑥) ≤ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · 𝑀)))
342134, 151, 127, 327, 341letrd 10307 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(abs‘(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)) ≤ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · 𝑀)))
343131, 134, 127, 135, 342letrd 10307 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)) ≤ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · 𝑀)))
344131, 127, 132, 343lediv1dd 12044 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)) / (!‘(𝑃 − 1))) ≤ (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · 𝑀)) / (!‘(𝑃 − 1))))
345344, 122breqtrd 4786 . . 3 (𝜑 → ((abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)) / (!‘(𝑃 − 1))) ≤ (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − 1)))))
346 etransclem23.lt1 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − 1)))) < 1)
34775, 129, 130, 345, 346lelttrd 10308 . 2 (𝜑 → ((abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)) / (!‘(𝑃 − 1))) < 1)
34870, 347eqbrtrd 4782 1 (𝜑 → (abs‘𝐾) < 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1596  wcel 2103  wss 3680  ifcif 4194  {cpr 4287   class class class wbr 4760  cmpt 4837  dom cdm 5218  ran crn 5219  wf 5997  cfv 6001  (class class class)co 6765  Fincfn 8072  cc 10047  cr 10048  0cc0 10049  1c1 10050   + caddc 10052   · cmul 10054  *cxr 10186   < clt 10187  cle 10188  cmin 10379  -cneg 10380   / cdiv 10797  cn 11133  2c2 11183  3c3 11184  0cn0 11405  cz 11490  cuz 11800  (,)cioo 12289  ...cfz 12440  cexp 12975  !cfa 13175  chash 13232  abscabs 14094  Σcsu 14536  cprod 14755  eceu 14913  t crest 16204  TopOpenctopn 16205  topGenctg 16221  fldccnfld 19869  volcvol 23353  𝐿1cibl 23506  citg 23507  𝑐ccxp 24422
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-inf2 8651  ax-cc 9370  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127  ax-addf 10128  ax-mulf 10129
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-fal 1602  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-iin 4631  df-disj 4729  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-se 5178  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-isom 6010  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-of 7014  df-ofr 7015  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-supp 7416  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-2o 7681  df-oadd 7684  df-omul 7685  df-er 7862  df-map 7976  df-pm 7977  df-ixp 8026  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-fsupp 8392  df-fi 8433  df-sup 8464  df-inf 8465  df-oi 8531  df-card 8878  df-acn 8881  df-cda 9103  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-6 11196  df-7 11197  df-8 11198  df-9 11199  df-n0 11406  df-z 11491  df-dec 11607  df-uz 11801  df-q 11903  df-rp 11947  df-xneg 12060  df-xadd 12061  df-xmul 12062  df-ioo 12293  df-ioc 12294  df-ico 12295  df-icc 12296  df-fz 12441  df-fzo 12581  df-fl 12708  df-mod 12784  df-seq 12917  df-exp 12976  df-fac 13176  df-bc 13205  df-hash 13233  df-shft 13927  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-abs 14096  df-limsup 14322  df-clim 14339  df-rlim 14340  df-sum 14537  df-prod 14756  df-ef 14918  df-e 14919  df-sin 14920  df-cos 14921  df-tan 14922  df-pi 14923  df-struct 15982  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-sets 15987  df-ress 15988  df-plusg 16077  df-mulr 16078  df-starv 16079  df-sca 16080  df-vsca 16081  df-ip 16082  df-tset 16083  df-ple 16084  df-ds 16087  df-unif 16088  df-hom 16089  df-cco 16090  df-rest 16206  df-topn 16207  df-0g 16225  df-gsum 16226  df-topgen 16227  df-pt 16228  df-prds 16231  df-xrs 16285  df-qtop 16290  df-imas 16291  df-xps 16293  df-mre 16369  df-mrc 16370  df-acs 16372  df-mgm 17364  df-sgrp 17406  df-mnd 17417  df-submnd 17458  df-mulg 17663  df-cntz 17871  df-cmn 18316  df-psmet 19861  df-xmet 19862  df-met 19863  df-bl 19864  df-mopn 19865  df-fbas 19866  df-fg 19867  df-cnfld 19870  df-top 20822  df-topon 20839  df-topsp 20860  df-bases 20873  df-cld 20946  df-ntr 20947  df-cls 20948  df-nei 21025  df-lp 21063  df-perf 21064  df-cn 21154  df-cnp 21155  df-haus 21242  df-cmp 21313  df-tx 21488  df-hmeo 21681  df-fil 21772  df-fm 21864  df-flim 21865  df-flf 21866  df-xms 22247  df-ms 22248  df-tms 22249  df-cncf 22803  df-ovol 23354  df-vol 23355  df-mbf 23508  df-itg1 23509  df-itg2 23510  df-ibl 23511  df-itg 23512  df-0p 23557  df-limc 23750  df-dv 23751  df-log 24423  df-cxp 24424
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