Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem2 40956
Description: Derivative of 𝐺. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem2.xf 𝑥𝐹
etransclem2.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
etransclem2.dvnf ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑅 + 1))) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖):ℝ⟶ℂ)
etransclem2.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑅)(((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖)‘𝑥))
Assertion
Ref Expression
etransclem2 (𝜑 → (ℝ D 𝐺) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑅)(((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑖 + 1))‘𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐹   𝑅,𝑖,𝑥   𝜑,𝑖,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥,𝑖)

Proof of Theorem etransclem2
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 etransclem2.g . . 3 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑅)(((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖)‘𝑥))
21oveq2i 6824 . 2 (ℝ D 𝐺) = (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑅)(((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖)‘𝑥)))
3 eqid 2760 . . . 4 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
43tgioo2 22807 . . 3 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
5 reelprrecn 10220 . . . 4 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
65a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
7 reopn 40000 . . . 4 ℝ ∈ (topGen‘ran (,))
87a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℝ ∈ (topGen‘ran (,)))
9 fzfid 12966 . . 3 (𝜑 → (0...𝑅) ∈ Fin)
10 fzelp1 12586 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (0...𝑅) → 𝑖 ∈ (0...(𝑅 + 1)))
11 etransclem2.dvnf . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑅 + 1))) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖):ℝ⟶ℂ)
1210, 11sylan2 492 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑅)) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖):ℝ⟶ℂ)
13123adant3 1127 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖):ℝ⟶ℂ)
14 simp3 1133 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
1513, 14ffvelrnd 6523 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖)‘𝑥) ∈ ℂ)
16 fzp1elp1 12587 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (0...𝑅) → (𝑖 + 1) ∈ (0...(𝑅 + 1)))
17 ovex 6841 . . . . . . 7 (𝑖 + 1) ∈ V
18 eleq1 2827 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑖 + 1) → (𝑗 ∈ (0...(𝑅 + 1)) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (0...(𝑅 + 1))))
1918anbi2d 742 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑖 + 1) → ((𝜑𝑗 ∈ (0...(𝑅 + 1))) ↔ (𝜑 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0...(𝑅 + 1)))))
20 fveq2 6352 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑖 + 1) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑗) = ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑖 + 1)))
2120feq1d 6191 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑖 + 1) → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑗):ℝ⟶ℂ ↔ ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑖 + 1)):ℝ⟶ℂ))
2219, 21imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑖 + 1) → (((𝜑𝑗 ∈ (0...(𝑅 + 1))) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑗):ℝ⟶ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0...(𝑅 + 1))) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑖 + 1)):ℝ⟶ℂ)))
23 eleq1 2827 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 → (𝑖 ∈ (0...(𝑅 + 1)) ↔ 𝑗 ∈ (0...(𝑅 + 1))))
2423anbi2d 742 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗 → ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑅 + 1))) ↔ (𝜑𝑗 ∈ (0...(𝑅 + 1)))))
25 fveq2 6352 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖) = ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑗))
2625feq1d 6191 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗 → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖):ℝ⟶ℂ ↔ ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑗):ℝ⟶ℂ))
2724, 26imbi12d 333 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑗 → (((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑅 + 1))) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖):ℝ⟶ℂ) ↔ ((𝜑𝑗 ∈ (0...(𝑅 + 1))) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑗):ℝ⟶ℂ)))
2827, 11chvarv 2408 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (0...(𝑅 + 1))) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑗):ℝ⟶ℂ)
2917, 22, 28vtocl 3399 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0...(𝑅 + 1))) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑖 + 1)):ℝ⟶ℂ)
3016, 29sylan2 492 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑅)) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑖 + 1)):ℝ⟶ℂ)
31303adant3 1127 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑖 + 1)):ℝ⟶ℂ)
3231, 14ffvelrnd 6523 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑖 + 1))‘𝑥) ∈ ℂ)
33 ffn 6206 . . . . . . . 8 (((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖):ℝ⟶ℂ → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖) Fn ℝ)
3412, 33syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑅)) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖) Fn ℝ)
35 nfcv 2902 . . . . . . . . . 10 𝑥
36 nfcv 2902 . . . . . . . . . 10 𝑥 D𝑛
37 etransclem2.xf . . . . . . . . . 10 𝑥𝐹
3835, 36, 37nfov 6839 . . . . . . . . 9 𝑥(ℝ D𝑛 𝐹)
39 nfcv 2902 . . . . . . . . 9 𝑥𝑖
4038, 39nffv 6359 . . . . . . . 8 𝑥((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖)
4140dffn5f 6414 . . . . . . 7 (((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖) Fn ℝ ↔ ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖)‘𝑥)))
4234, 41sylib 208 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑅)) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖)‘𝑥)))
4342eqcomd 2766 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑅)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖)‘𝑥)) = ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖))
4443oveq2d 6829 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑅)) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖)‘𝑥))) = (ℝ D ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖)))
45 ax-resscn 10185 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
4645a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑅)) → ℝ ⊆ ℂ)
47 etransclem2.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
48 ffdm 6223 . . . . . . . 8 (𝐹:ℝ⟶ℂ → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℝ))
4947, 48syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℝ))
50 cnex 10209 . . . . . . . . 9 ℂ ∈ V
5150a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℂ ∈ V)
52 reex 10219 . . . . . . . 8 ℝ ∈ V
53 elpm2g 8040 . . . . . . . 8 ((ℂ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) → (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℝ)))
5451, 52, 53sylancl 697 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℝ)))
5549, 54mpbird 247 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
5655adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑅)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
57 elfznn0 12626 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (0...𝑅) → 𝑖 ∈ ℕ0)
5857adantl 473 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑅)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
59 dvnp1 23887 . . . . 5 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑖 + 1)) = (ℝ D ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖)))
6046, 56, 58, 59syl3anc 1477 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑅)) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑖 + 1)) = (ℝ D ((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖)))
61 ffn 6206 . . . . . 6 (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑖 + 1)):ℝ⟶ℂ → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑖 + 1)) Fn ℝ)
6230, 61syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑅)) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑖 + 1)) Fn ℝ)
63 nfcv 2902 . . . . . . 7 𝑥(𝑖 + 1)
6438, 63nffv 6359 . . . . . 6 𝑥((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑖 + 1))
6564dffn5f 6414 . . . . 5 (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑖 + 1)) Fn ℝ ↔ ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑖 + 1)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑖 + 1))‘𝑥)))
6662, 65sylib 208 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑅)) → ((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑖 + 1)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑖 + 1))‘𝑥)))
6744, 60, 663eqtr2d 2800 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑅)) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖)‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑖 + 1))‘𝑥)))
684, 3, 6, 8, 9, 15, 32, 67dvmptfsum 23937 . 2 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑅)(((ℝ D𝑛 𝐹)‘𝑖)‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑅)(((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑖 + 1))‘𝑥)))
692, 68syl5eq 2806 1 (𝜑 → (ℝ D 𝐺) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑅)(((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑖 + 1))‘𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wnfc 2889  Vcvv 3340  wss 3715  {cpr 4323  cmpt 4881  dom cdm 5266  ran crn 5267   Fn wfn 6044  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  pm cpm 8024  cc 10126  cr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131  0cn0 11484  (,)cioo 12368  ...cfz 12519  Σcsu 14615  TopOpenctopn 16284  topGenctg 16300  fldccnfld 19948   D cdv 23826   D𝑛 cdvn 23827
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-ioo 12372  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-clim 14418  df-sum 14616  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-hom 16168  df-cco 16169  df-rest 16285  df-topn 16286  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-topgen 16306  df-pt 16307  df-prds 16310  df-xrs 16364  df-qtop 16369  df-imas 16370  df-xps 16372  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-fbas 19945  df-fg 19946  df-cnfld 19949  df-top 20901  df-topon 20918  df-topsp 20939  df-bases 20952  df-cld 21025  df-ntr 21026  df-cls 21027  df-nei 21104  df-lp 21142  df-perf 21143  df-cn 21233  df-cnp 21234  df-haus 21321  df-tx 21567  df-hmeo 21760  df-fil 21851  df-fm 21943  df-flim 21944  df-flf 21945  df-xms 22326  df-ms 22327  df-tms 22328  df-cncf 22882  df-limc 23829  df-dv 23830  df-dvn 23831
This theorem is referenced by:  etransclem46  41000
  Copyright terms: Public domain W3C validator