Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etasslt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etasslt 32248
Description: A restatement of noeta 32196 using set less than. (Contributed by Scott Fenton, 10-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
etasslt (𝐴 <<s 𝐵 → ∃𝑥 No (𝐴 <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s 𝐵 ∧ ( bday 𝑥) ⊆ suc ( bday “ (𝐴𝐵))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem etasslt
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssltss1 32231 . . 3 (𝐴 <<s 𝐵𝐴 No )
2 ssltex1 32229 . . 3 (𝐴 <<s 𝐵𝐴 ∈ V)
3 ssltss2 32232 . . 3 (𝐴 <<s 𝐵𝐵 No )
4 ssltex2 32230 . . 3 (𝐴 <<s 𝐵𝐵 ∈ V)
5 ssltsep 32233 . . 3 (𝐴 <<s 𝐵 → ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 𝑦 <s 𝑧)
6 noeta 32196 . . 3 (((𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 No 𝐵 ∈ V) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 𝑦 <s 𝑧) → ∃𝑥 No (∀𝑦𝐴 𝑦 <s 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 𝑥 <s 𝑧 ∧ ( bday 𝑥) ⊆ suc ( bday “ (𝐴𝐵))))
71, 2, 3, 4, 5, 6syl221anc 1488 . 2 (𝐴 <<s 𝐵 → ∃𝑥 No (∀𝑦𝐴 𝑦 <s 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 𝑥 <s 𝑧 ∧ ( bday 𝑥) ⊆ suc ( bday “ (𝐴𝐵))))
8 brsslt 32228 . . . . . 6 (𝐴 <<s {𝑥} ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ {𝑥} ∈ V) ∧ (𝐴 No ∧ {𝑥} ⊆ No ∧ ∀𝑦𝐴𝑧 ∈ {𝑥}𝑦 <s 𝑧)))
9 df-3an 1074 . . . . . . 7 ((𝐴 No ∧ {𝑥} ⊆ No ∧ ∀𝑦𝐴𝑧 ∈ {𝑥}𝑦 <s 𝑧) ↔ ((𝐴 No ∧ {𝑥} ⊆ No ) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧 ∈ {𝑥}𝑦 <s 𝑧))
109bianass 877 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ V ∧ {𝑥} ∈ V) ∧ (𝐴 No ∧ {𝑥} ⊆ No ∧ ∀𝑦𝐴𝑧 ∈ {𝑥}𝑦 <s 𝑧)) ↔ (((𝐴 ∈ V ∧ {𝑥} ∈ V) ∧ (𝐴 No ∧ {𝑥} ⊆ No )) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧 ∈ {𝑥}𝑦 <s 𝑧))
118, 10bitri 264 . . . . 5 (𝐴 <<s {𝑥} ↔ (((𝐴 ∈ V ∧ {𝑥} ∈ V) ∧ (𝐴 No ∧ {𝑥} ⊆ No )) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧 ∈ {𝑥}𝑦 <s 𝑧))
122adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 <<s 𝐵𝑥 No ) → 𝐴 ∈ V)
13 snex 5058 . . . . . . . . . 10 {𝑥} ∈ V
1412, 13jctir 562 . . . . . . . . 9 ((𝐴 <<s 𝐵𝑥 No ) → (𝐴 ∈ V ∧ {𝑥} ∈ V))
151adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝐴 <<s 𝐵𝑥 No ) → 𝐴 No )
16 snssi 4485 . . . . . . . . . 10 (𝑥 No → {𝑥} ⊆ No )
1716adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝐴 <<s 𝐵𝑥 No ) → {𝑥} ⊆ No )
1814, 15, 17jca32 559 . . . . . . . 8 ((𝐴 <<s 𝐵𝑥 No ) → ((𝐴 ∈ V ∧ {𝑥} ∈ V) ∧ (𝐴 No ∧ {𝑥} ⊆ No )))
1918biantrurd 530 . . . . . . 7 ((𝐴 <<s 𝐵𝑥 No ) → (∀𝑦𝐴𝑧 ∈ {𝑥}𝑦 <s 𝑧 ↔ (((𝐴 ∈ V ∧ {𝑥} ∈ V) ∧ (𝐴 No ∧ {𝑥} ⊆ No )) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧 ∈ {𝑥}𝑦 <s 𝑧)))
2019bicomd 213 . . . . . 6 ((𝐴 <<s 𝐵𝑥 No ) → ((((𝐴 ∈ V ∧ {𝑥} ∈ V) ∧ (𝐴 No ∧ {𝑥} ⊆ No )) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧 ∈ {𝑥}𝑦 <s 𝑧) ↔ ∀𝑦𝐴𝑧 ∈ {𝑥}𝑦 <s 𝑧))
21 vex 3344 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
22 breq2 4809 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑥 → (𝑦 <s 𝑧𝑦 <s 𝑥))
2321, 22ralsn 4367 . . . . . . 7 (∀𝑧 ∈ {𝑥}𝑦 <s 𝑧𝑦 <s 𝑥)
2423ralbii 3119 . . . . . 6 (∀𝑦𝐴𝑧 ∈ {𝑥}𝑦 <s 𝑧 ↔ ∀𝑦𝐴 𝑦 <s 𝑥)
2520, 24syl6bb 276 . . . . 5 ((𝐴 <<s 𝐵𝑥 No ) → ((((𝐴 ∈ V ∧ {𝑥} ∈ V) ∧ (𝐴 No ∧ {𝑥} ⊆ No )) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧 ∈ {𝑥}𝑦 <s 𝑧) ↔ ∀𝑦𝐴 𝑦 <s 𝑥))
2611, 25syl5bb 272 . . . 4 ((𝐴 <<s 𝐵𝑥 No ) → (𝐴 <<s {𝑥} ↔ ∀𝑦𝐴 𝑦 <s 𝑥))
27 brsslt 32228 . . . . . . 7 ({𝑥} <<s 𝐵 ↔ (({𝑥} ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ ({𝑥} ⊆ No 𝐵 No ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥}∀𝑧𝐵 𝑦 <s 𝑧)))
28 df-3an 1074 . . . . . . . 8 (({𝑥} ⊆ No 𝐵 No ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥}∀𝑧𝐵 𝑦 <s 𝑧) ↔ (({𝑥} ⊆ No 𝐵 No ) ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥}∀𝑧𝐵 𝑦 <s 𝑧))
2928bianass 877 . . . . . . 7 ((({𝑥} ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ ({𝑥} ⊆ No 𝐵 No ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥}∀𝑧𝐵 𝑦 <s 𝑧)) ↔ ((({𝑥} ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ ({𝑥} ⊆ No 𝐵 No )) ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥}∀𝑧𝐵 𝑦 <s 𝑧))
3027, 29bitri 264 . . . . . 6 ({𝑥} <<s 𝐵 ↔ ((({𝑥} ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ ({𝑥} ⊆ No 𝐵 No )) ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥}∀𝑧𝐵 𝑦 <s 𝑧))
314adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 <<s 𝐵𝑥 No ) → 𝐵 ∈ V)
3231, 13jctil 561 . . . . . . . . 9 ((𝐴 <<s 𝐵𝑥 No ) → ({𝑥} ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
333adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝐴 <<s 𝐵𝑥 No ) → 𝐵 No )
3432, 17, 33jca32 559 . . . . . . . 8 ((𝐴 <<s 𝐵𝑥 No ) → (({𝑥} ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ ({𝑥} ⊆ No 𝐵 No )))
3534biantrurd 530 . . . . . . 7 ((𝐴 <<s 𝐵𝑥 No ) → (∀𝑦 ∈ {𝑥}∀𝑧𝐵 𝑦 <s 𝑧 ↔ ((({𝑥} ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ ({𝑥} ⊆ No 𝐵 No )) ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥}∀𝑧𝐵 𝑦 <s 𝑧)))
3635bicomd 213 . . . . . 6 ((𝐴 <<s 𝐵𝑥 No ) → (((({𝑥} ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ ({𝑥} ⊆ No 𝐵 No )) ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥}∀𝑧𝐵 𝑦 <s 𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ {𝑥}∀𝑧𝐵 𝑦 <s 𝑧))
3730, 36syl5bb 272 . . . . 5 ((𝐴 <<s 𝐵𝑥 No ) → ({𝑥} <<s 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ {𝑥}∀𝑧𝐵 𝑦 <s 𝑧))
38 breq1 4808 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 <s 𝑧𝑥 <s 𝑧))
3938ralbidv 3125 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑧𝐵 𝑦 <s 𝑧 ↔ ∀𝑧𝐵 𝑥 <s 𝑧))
4021, 39ralsn 4367 . . . . 5 (∀𝑦 ∈ {𝑥}∀𝑧𝐵 𝑦 <s 𝑧 ↔ ∀𝑧𝐵 𝑥 <s 𝑧)
4137, 40syl6bb 276 . . . 4 ((𝐴 <<s 𝐵𝑥 No ) → ({𝑥} <<s 𝐵 ↔ ∀𝑧𝐵 𝑥 <s 𝑧))
4226, 413anbi12d 1549 . . 3 ((𝐴 <<s 𝐵𝑥 No ) → ((𝐴 <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s 𝐵 ∧ ( bday 𝑥) ⊆ suc ( bday “ (𝐴𝐵))) ↔ (∀𝑦𝐴 𝑦 <s 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 𝑥 <s 𝑧 ∧ ( bday 𝑥) ⊆ suc ( bday “ (𝐴𝐵)))))
4342rexbidva 3188 . 2 (𝐴 <<s 𝐵 → (∃𝑥 No (𝐴 <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s 𝐵 ∧ ( bday 𝑥) ⊆ suc ( bday “ (𝐴𝐵))) ↔ ∃𝑥 No (∀𝑦𝐴 𝑦 <s 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 𝑥 <s 𝑧 ∧ ( bday 𝑥) ⊆ suc ( bday “ (𝐴𝐵)))))
447, 43mpbird 247 1 (𝐴 <<s 𝐵 → ∃𝑥 No (𝐴 <<s {𝑥} ∧ {𝑥} <<s 𝐵 ∧ ( bday 𝑥) ⊆ suc ( bday “ (𝐴𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072  wcel 2140  wral 3051  wrex 3052  Vcvv 3341  cun 3714  wss 3716  {csn 4322   cuni 4589   class class class wbr 4805  cima 5270  suc csuc 5887  cfv 6050   No csur 32121   <s cslt 32122   bday cbday 32123   <<s csslt 32224
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-ord 5888  df-on 5889  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-1o 7731  df-2o 7732  df-no 32124  df-slt 32125  df-bday 32126  df-sslt 32225
This theorem is referenced by:  scutbdaybnd  32249
  Copyright terms: Public domain W3C validator