Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumval 30442
 Description: Develop the value of the extended sum. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumval.p 𝑘𝜑
esumval.0 𝑘𝐴
esumval.1 (𝜑𝐴𝑉)
esumval.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
esumval.3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)) = 𝐶)
Assertion
Ref Expression
esumval (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 𝐶), ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑥,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem esumval
StepHypRef Expression
1 df-esum 30424 . . 3 Σ*𝑘𝐴𝐵 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴𝐵))
2 eqid 2770 . . . . 5 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
3 esumval.1 . . . . 5 (𝜑𝐴𝑉)
4 esumval.p . . . . . 6 𝑘𝜑
5 esumval.0 . . . . . 6 𝑘𝐴
6 nfcv 2912 . . . . . 6 𝑘(0[,]+∞)
7 esumval.2 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
8 eqid 2770 . . . . . 6 (𝑘𝐴𝐵) = (𝑘𝐴𝐵)
94, 5, 6, 7, 8fmptdF 29790 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
10 inss1 3979 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝐴
1110sseli 3746 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
1211elpwid 4307 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥𝐴)
1312adantl 467 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥𝐴)
14 nfcv 2912 . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝑥
155, 14resmptf 5592 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐴 → ((𝑘𝐴𝐵) ↾ 𝑥) = (𝑘𝑥𝐵))
1613, 15syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝑘𝐴𝐵) ↾ 𝑥) = (𝑘𝑥𝐵))
1716oveq2d 6808 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘𝐴𝐵) ↾ 𝑥)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)))
18 esumval.3 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)) = 𝐶)
1917, 18eqtr2d 2805 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐶 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘𝐴𝐵) ↾ 𝑥)))
2019mpteq2dva 4876 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘𝐴𝐵) ↾ 𝑥))))
2120rneqd 5491 . . . . . 6 (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 𝐶) = ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘𝐴𝐵) ↾ 𝑥))))
2221supeq1d 8507 . . . . 5 (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 𝐶), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘𝐴𝐵) ↾ 𝑥))), ℝ*, < ))
232, 3, 9, 22xrge0tsmsd 30119 . . . 4 (𝜑 → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴𝐵)) = {sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 𝐶), ℝ*, < )})
2423unieqd 4582 . . 3 (𝜑 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴𝐵)) = {sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 𝐶), ℝ*, < )})
251, 24syl5eq 2816 . 2 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 = {sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 𝐶), ℝ*, < )})
26 xrltso 12178 . . . 4 < Or ℝ*
2726supex 8524 . . 3 sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 𝐶), ℝ*, < ) ∈ V
2827unisn 4587 . 2 {sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 𝐶), ℝ*, < )} = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 𝐶), ℝ*, < )
2925, 28syl6eq 2820 1 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 𝐶), ℝ*, < ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1630  Ⅎwnf 1855   ∈ wcel 2144  Ⅎwnfc 2899   ∩ cin 3720   ⊆ wss 3721  𝒫 cpw 4295  {csn 4314  ∪ cuni 4572   ↦ cmpt 4861  ran crn 5250   ↾ cres 5251  (class class class)co 6792  Fincfn 8108  supcsup 8501  0cc0 10137  +∞cpnf 10272  ℝ*cxr 10274   < clt 10275  [,]cicc 12382   ↾s cress 16064   Σg cgsu 16308  ℝ*𝑠cxrs 16367   tsums ctsu 22148  Σ*cesum 30423 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-iin 4655  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-of 7043  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-supp 7446  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-fsupp 8431  df-fi 8472  df-sup 8503  df-inf 8504  df-oi 8570  df-card 8964  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-z 11579  df-dec 11695  df-uz 11888  df-q 11991  df-xadd 12151  df-ioo 12383  df-ioc 12384  df-ico 12385  df-icc 12386  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-seq 13008  df-hash 13321  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-tset 16167  df-ple 16168  df-ds 16171  df-rest 16290  df-topn 16291  df-0g 16309  df-gsum 16310  df-topgen 16311  df-ordt 16368  df-xrs 16369  df-mre 16453  df-mrc 16454  df-acs 16456  df-ps 17407  df-tsr 17408  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-submnd 17543  df-cntz 17956  df-cmn 18401  df-fbas 19957  df-fg 19958  df-top 20918  df-topon 20935  df-topsp 20957  df-bases 20970  df-ntr 21044  df-nei 21122  df-cn 21251  df-haus 21339  df-fil 21869  df-fm 21961  df-flim 21962  df-flf 21963  df-tsms 22149  df-esum 30424 This theorem is referenced by:  esumel  30443  esumnul  30444  esum0  30445  gsumesum  30455  esumlub  30456  esumcst  30459  esumpcvgval  30474  esumcvg  30482  esum2d  30489
 Copyright terms: Public domain W3C validator