Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumsup Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumsup 30491
Description: Express an extended sum as a supremum of extended sums. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
esumsup.1 (𝜑𝐵 ∈ (0[,]+∞))
esumsup.2 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
esumsup (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ ℕ𝐴 = sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴), ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝑘,𝑛,𝜑
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem esumsup
StepHypRef Expression
1 esumsup.2 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
2 eqid 2771 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴)
31, 2fmptd 6527 . . 3 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴):ℕ⟶(0[,]+∞))
4 nfmpt1 4881 . . . 4 𝑘(𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴)
54esumfsup 30472 . . 3 ((𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴):ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ ℕ((𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴)‘𝑘) = sup(ran seq1( +𝑒 , (𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴)), ℝ*, < ))
63, 5syl 17 . 2 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ ℕ((𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴)‘𝑘) = sup(ran seq1( +𝑒 , (𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴)), ℝ*, < ))
7 simpr 471 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
82fvmpt2 6433 . . . 4 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴)‘𝑘) = 𝐴)
97, 1, 8syl2anc 573 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴)‘𝑘) = 𝐴)
109esumeq2dv 30440 . 2 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ ℕ((𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴)‘𝑘) = Σ*𝑘 ∈ ℕ𝐴)
11 1z 11609 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
12 seqfn 13020 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℤ → seq1( +𝑒 , (𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴)) Fn (ℤ‘1))
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . . 8 seq1( +𝑒 , (𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴)) Fn (ℤ‘1)
14 nnuz 11925 . . . . . . . . 9 ℕ = (ℤ‘1)
1514fneq2i 6126 . . . . . . . 8 (seq1( +𝑒 , (𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴)) Fn ℕ ↔ seq1( +𝑒 , (𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴)) Fn (ℤ‘1))
1613, 15mpbir 221 . . . . . . 7 seq1( +𝑒 , (𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴)) Fn ℕ
17 nfcv 2913 . . . . . . . 8 𝑛seq1( +𝑒 , (𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴))
1817dffn5f 6394 . . . . . . 7 (seq1( +𝑒 , (𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴)) Fn ℕ ↔ seq1( +𝑒 , (𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (seq1( +𝑒 , (𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴))‘𝑛)))
1916, 18mpbi 220 . . . . . 6 seq1( +𝑒 , (𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (seq1( +𝑒 , (𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴))‘𝑛))
2019a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → seq1( +𝑒 , (𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (seq1( +𝑒 , (𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴))‘𝑛)))
21 fz1ssnn 12579 . . . . . . . . . . 11 (1...𝑛) ⊆ ℕ
2221a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (1...𝑛) ⊆ ℕ)
2322sselda 3752 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
24 simpll 750 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝜑)
2524, 23, 1syl2anc 573 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
2623, 25, 8syl2anc 573 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴)‘𝑘) = 𝐴)
2726esumeq2dv 30440 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)((𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴)‘𝑘) = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴)
284esumfzf 30471 . . . . . . . 8 (((𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴):ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)((𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴)‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , (𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴))‘𝑛))
293, 28sylan 569 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)((𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴)‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , (𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴))‘𝑛))
3027, 29eqtr3d 2807 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴 = (seq1( +𝑒 , (𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴))‘𝑛))
3130mpteq2dva 4878 . . . . 5 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (seq1( +𝑒 , (𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴))‘𝑛)))
3220, 31eqtr4d 2808 . . . 4 (𝜑 → seq1( +𝑒 , (𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴))
3332rneqd 5491 . . 3 (𝜑 → ran seq1( +𝑒 , (𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴)) = ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴))
3433supeq1d 8508 . 2 (𝜑 → sup(ran seq1( +𝑒 , (𝑘 ∈ ℕ ↦ 𝐴)), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴), ℝ*, < ))
356, 10, 343eqtr3d 2813 1 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ ℕ𝐴 = sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)𝐴), ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wss 3723  cmpt 4863  ran crn 5250   Fn wfn 6026  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6793  supcsup 8502  0cc0 10138  1c1 10139  +∞cpnf 10273  *cxr 10275   < clt 10276  cn 11222  cz 11579  cuz 11888   +𝑒 cxad 12149  [,]cicc 12383  ...cfz 12533  seqcseq 13008  Σ*cesum 30429
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216  ax-addf 10217  ax-mulf 10218
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-fi 8473  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12384  df-ioc 12385  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-shft 14015  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-limsup 14410  df-clim 14427  df-rlim 14428  df-sum 14625  df-ef 15004  df-sin 15006  df-cos 15007  df-pi 15009  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-hom 16174  df-cco 16175  df-rest 16291  df-topn 16292  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-topgen 16312  df-pt 16313  df-prds 16316  df-ordt 16369  df-xrs 16370  df-qtop 16375  df-imas 16376  df-xps 16378  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-ps 17408  df-tsr 17409  df-plusf 17449  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-mhm 17543  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-mulg 17749  df-subg 17799  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-cring 18758  df-subrg 18988  df-abv 19027  df-lmod 19075  df-scaf 19076  df-sra 19387  df-rgmod 19388  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-fbas 19958  df-fg 19959  df-cnfld 19962  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-cld 21044  df-ntr 21045  df-cls 21046  df-nei 21123  df-lp 21161  df-perf 21162  df-cn 21252  df-cnp 21253  df-haus 21340  df-tx 21586  df-hmeo 21779  df-fil 21870  df-fm 21962  df-flim 21963  df-flf 21964  df-tmd 22096  df-tgp 22097  df-tsms 22150  df-trg 22183  df-xms 22345  df-ms 22346  df-tms 22347  df-nm 22607  df-ngp 22608  df-nrg 22610  df-nlm 22611  df-ii 22900  df-cncf 22901  df-limc 23850  df-dv 23851  df-log 24524  df-esum 30430
This theorem is referenced by:  esumgect  30492
  Copyright terms: Public domain W3C validator