Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumsplit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumsplit 30345
Description: Split an extended sum into two parts. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumsplit.1 𝑘𝜑
esumsplit.2 𝑘𝐴
esumsplit.3 𝑘𝐵
esumsplit.4 (𝜑𝐴 ∈ V)
esumsplit.5 (𝜑𝐵 ∈ V)
esumsplit.6 (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
esumsplit.7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
esumsplit.8 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
esumsplit (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 = (Σ*𝑘𝐴𝐶 +𝑒 Σ*𝑘𝐵𝐶))

Proof of Theorem esumsplit
StepHypRef Expression
1 esumsplit.1 . 2 𝑘𝜑
2 esumsplit.2 . . 3 𝑘𝐴
3 esumsplit.3 . . 3 𝑘𝐵
42, 3nfun 3877 . 2 𝑘(𝐴𝐵)
5 esumsplit.4 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ V)
6 esumsplit.5 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ V)
7 unexg 7076 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴𝐵) ∈ V)
85, 6, 7syl2anc 696 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ V)
9 elun 3861 . . 3 (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵))
10 esumsplit.7 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
11 esumsplit.8 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
1210, 11jaodan 861 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴𝑘𝐵)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
139, 12sylan2b 493 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
14 xrge0base 29915 . . 3 (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
15 xrge0plusg 29917 . . 3 +𝑒 = (+g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
16 xrge0cmn 19911 . . . 4 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
1716a1i 11 . . 3 (𝜑 → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
18 xrge0tmd 30222 . . . 4 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopMnd
1918a1i 11 . . 3 (𝜑 → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopMnd)
20 nfcv 2866 . . . 4 𝑘(0[,]+∞)
21 eqid 2724 . . . 4 (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶)
221, 4, 20, 13, 21fmptdF 29686 . . 3 (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶):(𝐴𝐵)⟶(0[,]+∞))
231, 2, 5, 10esumel 30339 . . . 4 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐶 ∈ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴𝐶)))
24 ssun1 3884 . . . . . 6 𝐴 ⊆ (𝐴𝐵)
254, 2resmptf 5561 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ (𝐴𝐵) → ((𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) = (𝑘𝐴𝐶))
2624, 25mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) = (𝑘𝐴𝐶))
2726oveq2d 6781 . . . 4 (𝜑 → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums ((𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐴)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴𝐶)))
2823, 27eleqtrrd 2806 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐶 ∈ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums ((𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐴)))
291, 3, 6, 11esumel 30339 . . . 4 (𝜑 → Σ*𝑘𝐵𝐶 ∈ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐵𝐶)))
30 ssun2 3885 . . . . . 6 𝐵 ⊆ (𝐴𝐵)
314, 3resmptf 5561 . . . . . 6 (𝐵 ⊆ (𝐴𝐵) → ((𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐵) = (𝑘𝐵𝐶))
3230, 31mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐵) = (𝑘𝐵𝐶))
3332oveq2d 6781 . . . 4 (𝜑 → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums ((𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐵)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐵𝐶)))
3429, 33eleqtrrd 2806 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑘𝐵𝐶 ∈ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums ((𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐵)))
35 esumsplit.6 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
36 eqidd 2725 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐵) = (𝐴𝐵))
3714, 15, 17, 19, 8, 22, 28, 34, 35, 36tsmssplit 22077 . 2 (𝜑 → (Σ*𝑘𝐴𝐶 +𝑒 Σ*𝑘𝐵𝐶) ∈ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶)))
381, 4, 8, 13, 37esumid 30336 1 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 = (Σ*𝑘𝐴𝐶 +𝑒 Σ*𝑘𝐵𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 382  wa 383   = wceq 1596  wnf 1821  wcel 2103  wnfc 2853  Vcvv 3304  cun 3678  cin 3679  wss 3680  c0 4023  cmpt 4837  cres 5220  (class class class)co 6765  0cc0 10049  +∞cpnf 10184   +𝑒 cxad 12058  [,]cicc 12292  s cress 15981  *𝑠cxrs 16283  CMndccmn 18314  TopMndctmd 21996   tsums ctsu 22051  Σ*cesum 30319
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-inf2 8651  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127  ax-addf 10128  ax-mulf 10129
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-fal 1602  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-iin 4631  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-se 5178  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-isom 6010  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-of 7014  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-supp 7416  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-2o 7681  df-oadd 7684  df-er 7862  df-map 7976  df-pm 7977  df-ixp 8026  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-fsupp 8392  df-fi 8433  df-sup 8464  df-inf 8465  df-oi 8531  df-card 8878  df-cda 9103  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-6 11196  df-7 11197  df-8 11198  df-9 11199  df-n0 11406  df-z 11491  df-dec 11607  df-uz 11801  df-q 11903  df-rp 11947  df-xneg 12060  df-xadd 12061  df-xmul 12062  df-ioo 12293  df-ioc 12294  df-ico 12295  df-icc 12296  df-fz 12441  df-fzo 12581  df-fl 12708  df-mod 12784  df-seq 12917  df-exp 12976  df-fac 13176  df-bc 13205  df-hash 13233  df-shft 13927  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-abs 14096  df-limsup 14322  df-clim 14339  df-rlim 14340  df-sum 14537  df-ef 14918  df-sin 14920  df-cos 14921  df-pi 14923  df-struct 15982  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-sets 15987  df-ress 15988  df-plusg 16077  df-mulr 16078  df-starv 16079  df-sca 16080  df-vsca 16081  df-ip 16082  df-tset 16083  df-ple 16084  df-ds 16087  df-unif 16088  df-hom 16089  df-cco 16090  df-rest 16206  df-topn 16207  df-0g 16225  df-gsum 16226  df-topgen 16227  df-pt 16228  df-prds 16231  df-ordt 16284  df-xrs 16285  df-qtop 16290  df-imas 16291  df-xps 16293  df-mre 16369  df-mrc 16370  df-acs 16372  df-ps 17322  df-tsr 17323  df-plusf 17363  df-mgm 17364  df-sgrp 17406  df-mnd 17417  df-mhm 17457  df-submnd 17458  df-grp 17547  df-minusg 17548  df-sbg 17549  df-mulg 17663  df-subg 17713  df-cntz 17871  df-cmn 18316  df-abl 18317  df-mgp 18611  df-ur 18623  df-ring 18670  df-cring 18671  df-subrg 18901  df-abv 18940  df-lmod 18988  df-scaf 18989  df-sra 19295  df-rgmod 19296  df-psmet 19861  df-xmet 19862  df-met 19863  df-bl 19864  df-mopn 19865  df-fbas 19866  df-fg 19867  df-cnfld 19870  df-top 20822  df-topon 20839  df-topsp 20860  df-bases 20873  df-cld 20946  df-ntr 20947  df-cls 20948  df-nei 21025  df-lp 21063  df-perf 21064  df-cn 21154  df-cnp 21155  df-haus 21242  df-tx 21488  df-hmeo 21681  df-fil 21772  df-fm 21864  df-flim 21865  df-flf 21866  df-tmd 21998  df-tgp 21999  df-tsms 22052  df-trg 22085  df-xms 22247  df-ms 22248  df-tms 22249  df-nm 22509  df-ngp 22510  df-nrg 22512  df-nlm 22513  df-ii 22802  df-cncf 22803  df-limc 23750  df-dv 23751  df-log 24423  df-esum 30320
This theorem is referenced by:  esummono  30346  esumpad  30347  esumpr  30358  esumrnmpt2  30360  esumfzf  30361  esumpmono  30371  hasheuni  30377  esum2dlem  30384  measvuni  30507  ddemeas  30529  carsgclctunlem1  30609
  Copyright terms: Public domain W3C validator