Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumpinfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumpinfval 30442
Description: The value of the extended sum of nonnegative terms, with at least one infinite term. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumpinfval.0 𝑘𝜑
esumpinfval.1 (𝜑𝐴𝑉)
esumpinfval.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
esumpinfval.3 (𝜑 → ∃𝑘𝐴 𝐵 = +∞)
Assertion
Ref Expression
esumpinfval (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 = +∞)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑉
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem esumpinfval
StepHypRef Expression
1 iccssxr 12447 . . 3 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2 esumpinfval.1 . . . 4 (𝜑𝐴𝑉)
3 esumpinfval.0 . . . . 5 𝑘𝜑
4 esumpinfval.2 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
54ex 449 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
63, 5ralrimi 3093 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
7 nfcv 2900 . . . . 5 𝑘𝐴
87esumcl 30399 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
92, 6, 8syl2anc 696 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
101, 9sseldi 3740 . 2 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ ℝ*)
11 nfrab1 3259 . . . . 5 𝑘{𝑘𝐴𝐵 = +∞}
12 ssrab2 3826 . . . . . 6 {𝑘𝐴𝐵 = +∞} ⊆ 𝐴
1312a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → {𝑘𝐴𝐵 = +∞} ⊆ 𝐴)
14 0xr 10276 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
15 pnfxr 10282 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
16 0lepnf 12157 . . . . . . . 8 0 ≤ +∞
17 ubicc2 12480 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ +∞) → +∞ ∈ (0[,]+∞))
1814, 15, 16, 17mp3an 1571 . . . . . . 7 +∞ ∈ (0[,]+∞)
1918a1i 11 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → +∞ ∈ (0[,]+∞))
20 0e0iccpnf 12474 . . . . . . 7 0 ∈ (0[,]+∞)
2120a1i 11 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 0 ∈ (0[,]+∞))
2219, 21ifclda 4262 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝐵 = +∞, +∞, 0) ∈ (0[,]+∞))
23 eldif 3723 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑘𝐴𝐵 = +∞}) ↔ (𝑘𝐴 ∧ ¬ 𝑘 ∈ {𝑘𝐴𝐵 = +∞}))
24 rabid 3252 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ {𝑘𝐴𝐵 = +∞} ↔ (𝑘𝐴𝐵 = +∞))
2524simplbi2 656 . . . . . . . . 9 (𝑘𝐴 → (𝐵 = +∞ → 𝑘 ∈ {𝑘𝐴𝐵 = +∞}))
2625con3dimp 456 . . . . . . . 8 ((𝑘𝐴 ∧ ¬ 𝑘 ∈ {𝑘𝐴𝐵 = +∞}) → ¬ 𝐵 = +∞)
2723, 26sylbi 207 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑘𝐴𝐵 = +∞}) → ¬ 𝐵 = +∞)
2827adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑘𝐴𝐵 = +∞})) → ¬ 𝐵 = +∞)
2928iffalsed 4239 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑘𝐴𝐵 = +∞})) → if(𝐵 = +∞, +∞, 0) = 0)
303, 11, 7, 13, 2, 22, 29esumss 30441 . . . 4 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ {𝑘𝐴𝐵 = +∞}if(𝐵 = +∞, +∞, 0) = Σ*𝑘𝐴if(𝐵 = +∞, +∞, 0))
31 eqidd 2759 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑘𝐴𝐵 = +∞} = {𝑘𝐴𝐵 = +∞})
3224simprbi 483 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ {𝑘𝐴𝐵 = +∞} → 𝐵 = +∞)
3332iftrued 4236 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ {𝑘𝐴𝐵 = +∞} → if(𝐵 = +∞, +∞, 0) = +∞)
3433adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑘𝐴𝐵 = +∞}) → if(𝐵 = +∞, +∞, 0) = +∞)
353, 31, 34esumeq12dvaf 30400 . . . . 5 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ {𝑘𝐴𝐵 = +∞}if(𝐵 = +∞, +∞, 0) = Σ*𝑘 ∈ {𝑘𝐴𝐵 = +∞}+∞)
362, 13ssexd 4955 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑘𝐴𝐵 = +∞} ∈ V)
37 nfcv 2900 . . . . . . 7 𝑘+∞
3811, 37esumcst 30432 . . . . . 6 (({𝑘𝐴𝐵 = +∞} ∈ V ∧ +∞ ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ {𝑘𝐴𝐵 = +∞}+∞ = ((♯‘{𝑘𝐴𝐵 = +∞}) ·e +∞))
3936, 18, 38sylancl 697 . . . . 5 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ {𝑘𝐴𝐵 = +∞}+∞ = ((♯‘{𝑘𝐴𝐵 = +∞}) ·e +∞))
40 hashxrcl 13338 . . . . . . 7 ({𝑘𝐴𝐵 = +∞} ∈ V → (♯‘{𝑘𝐴𝐵 = +∞}) ∈ ℝ*)
4136, 40syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘{𝑘𝐴𝐵 = +∞}) ∈ ℝ*)
42 esumpinfval.3 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∃𝑘𝐴 𝐵 = +∞)
43 rabn0 4099 . . . . . . . 8 ({𝑘𝐴𝐵 = +∞} ≠ ∅ ↔ ∃𝑘𝐴 𝐵 = +∞)
4442, 43sylibr 224 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑘𝐴𝐵 = +∞} ≠ ∅)
45 hashgt0 13367 . . . . . . 7 (({𝑘𝐴𝐵 = +∞} ∈ V ∧ {𝑘𝐴𝐵 = +∞} ≠ ∅) → 0 < (♯‘{𝑘𝐴𝐵 = +∞}))
4636, 44, 45syl2anc 696 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < (♯‘{𝑘𝐴𝐵 = +∞}))
47 xmulpnf1 12295 . . . . . 6 (((♯‘{𝑘𝐴𝐵 = +∞}) ∈ ℝ* ∧ 0 < (♯‘{𝑘𝐴𝐵 = +∞})) → ((♯‘{𝑘𝐴𝐵 = +∞}) ·e +∞) = +∞)
4841, 46, 47syl2anc 696 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘{𝑘𝐴𝐵 = +∞}) ·e +∞) = +∞)
4935, 39, 483eqtrd 2796 . . . 4 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ {𝑘𝐴𝐵 = +∞}if(𝐵 = +∞, +∞, 0) = +∞)
5030, 49eqtr3d 2794 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴if(𝐵 = +∞, +∞, 0) = +∞)
51 breq1 4805 . . . . 5 (+∞ = if(𝐵 = +∞, +∞, 0) → (+∞ ≤ 𝐵 ↔ if(𝐵 = +∞, +∞, 0) ≤ 𝐵))
52 breq1 4805 . . . . 5 (0 = if(𝐵 = +∞, +∞, 0) → (0 ≤ 𝐵 ↔ if(𝐵 = +∞, +∞, 0) ≤ 𝐵))
53 pnfge 12155 . . . . . . . 8 (+∞ ∈ ℝ* → +∞ ≤ +∞)
5415, 53ax-mp 5 . . . . . . 7 +∞ ≤ +∞
55 breq2 4806 . . . . . . 7 (𝐵 = +∞ → (+∞ ≤ 𝐵 ↔ +∞ ≤ +∞))
5654, 55mpbiri 248 . . . . . 6 (𝐵 = +∞ → +∞ ≤ 𝐵)
5756adantl 473 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝐵 = +∞) → +∞ ≤ 𝐵)
584adantr 472 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
59 iccgelb 12421 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝐵)
6014, 15, 59mp3an12 1561 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ 𝐵)
6158, 60syl 17 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 0 ≤ 𝐵)
6251, 52, 57, 61ifbothda 4265 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝐵 = +∞, +∞, 0) ≤ 𝐵)
633, 7, 2, 22, 4, 62esumlef 30431 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴if(𝐵 = +∞, +∞, 0) ≤ Σ*𝑘𝐴𝐵)
6450, 63eqbrtrrd 4826 . 2 (𝜑 → +∞ ≤ Σ*𝑘𝐴𝐵)
65 xgepnf 12187 . . 3 *𝑘𝐴𝐵 ∈ ℝ* → (+∞ ≤ Σ*𝑘𝐴𝐵 ↔ Σ*𝑘𝐴𝐵 = +∞))
6665biimpd 219 . 2 *𝑘𝐴𝐵 ∈ ℝ* → (+∞ ≤ Σ*𝑘𝐴𝐵 → Σ*𝑘𝐴𝐵 = +∞))
6710, 64, 66sylc 65 1 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 = +∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1630  wnf 1855  wcel 2137  wne 2930  wral 3048  wrex 3049  {crab 3052  Vcvv 3338  cdif 3710  wss 3713  c0 4056  ifcif 4228   class class class wbr 4802  cfv 6047  (class class class)co 6811  0cc0 10126  +∞cpnf 10261  *cxr 10263   < clt 10264  cle 10265   ·e cxmu 12136  [,]cicc 12369  chash 13309  Σ*cesum 30396
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-rep 4921  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-inf2 8709  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202  ax-pre-mulgt0 10203  ax-pre-sup 10204  ax-addf 10205  ax-mulf 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rmo 3056  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-int 4626  df-iun 4672  df-iin 4673  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-se 5224  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-isom 6056  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-of 7060  df-om 7229  df-1st 7331  df-2nd 7332  df-supp 7462  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-1o 7727  df-2o 7728  df-oadd 7731  df-er 7909  df-map 8023  df-pm 8024  df-ixp 8073  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-fin 8123  df-fsupp 8439  df-fi 8480  df-sup 8511  df-inf 8512  df-oi 8578  df-card 8953  df-cda 9180  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-sub 10458  df-neg 10459  df-div 10875  df-nn 11211  df-2 11269  df-3 11270  df-4 11271  df-5 11272  df-6 11273  df-7 11274  df-8 11275  df-9 11276  df-n0 11483  df-xnn0 11554  df-z 11568  df-dec 11684  df-uz 11878  df-q 11980  df-rp 12024  df-xneg 12137  df-xadd 12138  df-xmul 12139  df-ioo 12370  df-ioc 12371  df-ico 12372  df-icc 12373  df-fz 12518  df-fzo 12658  df-fl 12785  df-mod 12861  df-seq 12994  df-exp 13053  df-fac 13253  df-bc 13282  df-hash 13310  df-shft 14004  df-cj 14036  df-re 14037  df-im 14038  df-sqrt 14172  df-abs 14173  df-limsup 14399  df-clim 14416  df-rlim 14417  df-sum 14614  df-ef 14995  df-sin 14997  df-cos 14998  df-pi 15000  df-struct 16059  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-sets 16064  df-ress 16065  df-plusg 16154  df-mulr 16155  df-starv 16156  df-sca 16157  df-vsca 16158  df-ip 16159  df-tset 16160  df-ple 16161  df-ds 16164  df-unif 16165  df-hom 16166  df-cco 16167  df-rest 16283  df-topn 16284  df-0g 16302  df-gsum 16303  df-topgen 16304  df-pt 16305  df-prds 16308  df-ordt 16361  df-xrs 16362  df-qtop 16367  df-imas 16368  df-xps 16370  df-mre 16446  df-mrc 16447  df-acs 16449  df-ps 17399  df-tsr 17400  df-plusf 17440  df-mgm 17441  df-sgrp 17483  df-mnd 17494  df-mhm 17534  df-submnd 17535  df-grp 17624  df-minusg 17625  df-sbg 17626  df-mulg 17740  df-subg 17790  df-cntz 17948  df-cmn 18393  df-abl 18394  df-mgp 18688  df-ur 18700  df-ring 18747  df-cring 18748  df-subrg 18978  df-abv 19017  df-lmod 19065  df-scaf 19066  df-sra 19372  df-rgmod 19373  df-psmet 19938  df-xmet 19939  df-met 19940  df-bl 19941  df-mopn 19942  df-fbas 19943  df-fg 19944  df-cnfld 19947  df-top 20899  df-topon 20916  df-topsp 20937  df-bases 20950  df-cld 21023  df-ntr 21024  df-cls 21025  df-nei 21102  df-lp 21140  df-perf 21141  df-cn 21231  df-cnp 21232  df-haus 21319  df-tx 21565  df-hmeo 21758  df-fil 21849  df-fm 21941  df-flim 21942  df-flf 21943  df-tmd 22075  df-tgp 22076  df-tsms 22129  df-trg 22162  df-xms 22324  df-ms 22325  df-tms 22326  df-nm 22586  df-ngp 22587  df-nrg 22589  df-nlm 22590  df-ii 22879  df-cncf 22880  df-limc 23827  df-dv 23828  df-log 24500  df-esum 30397
This theorem is referenced by:  hasheuni  30454  esumcvg  30455  esumcvgre  30460  voliune  30599  volfiniune  30600
  Copyright terms: Public domain W3C validator