Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumpfinval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumpfinval 30367
 Description: The value of the extended sum of a finite set of nonnegative finite terms. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Jun-2017.) (Proof shortened by AV, 25-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
esumpfinval.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
esumpfinval.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
Assertion
Ref Expression
esumpfinval (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 = Σ𝑘𝐴 𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem esumpfinval
StepHypRef Expression
1 df-esum 30320 . . . 4 Σ*𝑘𝐴𝐵 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴𝐵))
2 xrge0base 29915 . . . . . 6 (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
3 xrge00 29916 . . . . . 6 0 = (0g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
4 xrge0cmn 19911 . . . . . . 7 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
54a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
6 xrge0tps 30218 . . . . . . 7 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopSp
76a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopSp)
8 esumpfinval.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
9 icossicc 12374 . . . . . . . 8 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
10 esumpfinval.b . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
119, 10sseldi 3707 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
12 eqid 2724 . . . . . . 7 (𝑘𝐴𝐵) = (𝑘𝐴𝐵)
1311, 12fmptd 6500 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
14 c0ex 10147 . . . . . . . 8 0 ∈ V
1514a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ V)
1612, 8, 10, 15fsuppmptdm 8402 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵) finSupp 0)
17 xrge0topn 30219 . . . . . . 7 (TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
1817eqcomi 2733 . . . . . 6 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) = (TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
19 xrhaus 29765 . . . . . . . 8 (ordTop‘ ≤ ) ∈ Haus
20 ovex 6793 . . . . . . . 8 (0[,]+∞) ∈ V
21 resthaus 21295 . . . . . . . 8 (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Haus ∧ (0[,]+∞) ∈ V) → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ Haus)
2219, 20, 21mp2an 710 . . . . . . 7 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ Haus
2322a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ Haus)
242, 3, 5, 7, 8, 13, 16, 18, 23haustsmsid 22066 . . . . 5 (𝜑 → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴𝐵)) = {((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵))})
2524unieqd 4554 . . . 4 (𝜑 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴𝐵)) = {((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵))})
261, 25syl5eq 2770 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 = {((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵))})
27 ovex 6793 . . . 4 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) ∈ V
2827unisn 4559 . . 3 {((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵))} = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵))
2926, 28syl6eq 2774 . 2 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)))
3010, 12fmptd 6500 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶(0[,)+∞))
31 esumpfinvallem 30366 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶(0[,)+∞)) → (ℂfld Σg (𝑘𝐴𝐵)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)))
328, 30, 31syl2anc 696 . 2 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴𝐵)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)))
33 rge0ssre 12394 . . . . 5 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
34 ax-resscn 10106 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
3533, 34sstri 3718 . . . 4 (0[,)+∞) ⊆ ℂ
3635, 10sseldi 3707 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
378, 36gsumfsum 19936 . 2 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴𝐵)) = Σ𝑘𝐴 𝐵)
3829, 32, 373eqtr2d 2764 1 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 = Σ𝑘𝐴 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1596   ∈ wcel 2103  Vcvv 3304  {csn 4285  ∪ cuni 4544   ↦ cmpt 4837  ⟶wf 5997  ‘cfv 6001  (class class class)co 6765  Fincfn 8072  ℂcc 10047  ℝcr 10048  0cc0 10049  +∞cpnf 10184   ≤ cle 10188  [,)cico 12291  [,]cicc 12292  Σcsu 14536   ↾s cress 15981   ↾t crest 16204  TopOpenctopn 16205   Σg cgsu 16224  ordTopcordt 16282  ℝ*𝑠cxrs 16283  CMndccmn 18314  ℂfldccnfld 19869  TopSpctps 20859  Hauscha 21235   tsums ctsu 22051  Σ*cesum 30319 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-inf2 8651  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127  ax-addf 10128  ax-mulf 10129 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-fal 1602  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-iin 4631  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-se 5178  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-isom 6010  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-supp 7416  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-oadd 7684  df-er 7862  df-map 7976  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-fsupp 8392  df-fi 8433  df-sup 8464  df-oi 8531  df-card 8878  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-6 11196  df-7 11197  df-8 11198  df-9 11199  df-n0 11406  df-z 11491  df-dec 11607  df-uz 11801  df-rp 11947  df-xadd 12061  df-ico 12295  df-icc 12296  df-fz 12441  df-fzo 12581  df-seq 12917  df-exp 12976  df-hash 13233  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-abs 14096  df-clim 14339  df-sum 14537  df-struct 15982  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-sets 15987  df-ress 15988  df-plusg 16077  df-mulr 16078  df-starv 16079  df-tset 16083  df-ple 16084  df-ds 16087  df-unif 16088  df-rest 16206  df-topn 16207  df-0g 16225  df-gsum 16226  df-topgen 16227  df-ordt 16284  df-xrs 16285  df-ps 17322  df-tsr 17323  df-mgm 17364  df-sgrp 17406  df-mnd 17417  df-submnd 17458  df-grp 17547  df-minusg 17548  df-cntz 17871  df-cmn 18316  df-abl 18317  df-mgp 18611  df-ur 18623  df-ring 18670  df-cring 18671  df-fbas 19866  df-fg 19867  df-cnfld 19870  df-top 20822  df-topon 20839  df-topsp 20860  df-bases 20873  df-cld 20946  df-ntr 20947  df-cls 20948  df-nei 21025  df-cn 21154  df-haus 21242  df-fil 21772  df-fm 21864  df-flim 21865  df-flf 21866  df-tsms 22052  df-esum 30320 This theorem is referenced by:  hasheuni  30377  esumcvg  30378  sibfof  30632
 Copyright terms: Public domain W3C validator