Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumpad2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumpad2 30398
Description: Remove zeroes from an extended sum. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jun-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
esumpad.1 (𝜑𝐴𝑉)
esumpad.2 (𝜑𝐵𝑊)
esumpad.3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
esumpad.4 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝐶 = 0)
Assertion
Ref Expression
esumpad2 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 = Σ*𝑘𝐴𝐶)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑉   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem esumpad2
StepHypRef Expression
1 nfv 1980 . . . 4 𝑘𝜑
2 esumpad.1 . . . 4 (𝜑𝐴𝑉)
3 esumpad.3 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
4 difssd 3869 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴)
51, 2, 3, 4esummono 30396 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 ≤ Σ*𝑘𝐴𝐶)
6 esumpad.2 . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑊)
7 unexg 7112 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵) ∈ V)
82, 6, 7syl2anc 696 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ V)
9 elun 3884 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵))
10 esumpad.4 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝐶 = 0)
11 0e0iccpnf 12447 . . . . . . . 8 0 ∈ (0[,]+∞)
1210, 11syl6eqel 2835 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
133, 12jaodan 861 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴𝑘𝐵)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
149, 13sylan2b 493 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
15 ssun1 3907 . . . . . 6 𝐴 ⊆ (𝐴𝐵)
1615a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ (𝐴𝐵))
171, 8, 14, 16esummono 30396 . . . 4 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐶 ≤ Σ*𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶)
18 undif1 4175 . . . . . 6 ((𝐴𝐵) ∪ 𝐵) = (𝐴𝐵)
19 esumeq1 30376 . . . . . 6 (((𝐴𝐵) ∪ 𝐵) = (𝐴𝐵) → Σ*𝑘 ∈ ((𝐴𝐵) ∪ 𝐵)𝐶 = Σ*𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶)
2018, 19ax-mp 5 . . . . 5 Σ*𝑘 ∈ ((𝐴𝐵) ∪ 𝐵)𝐶 = Σ*𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶
21 difexg 4948 . . . . . . 7 (𝐴𝑉 → (𝐴𝐵) ∈ V)
222, 21syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ V)
234sselda 3732 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝑘𝐴)
2423, 3syldan 488 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
2522, 6, 24, 10esumpad 30397 . . . . 5 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ ((𝐴𝐵) ∪ 𝐵)𝐶 = Σ*𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶)
2620, 25syl5eqr 2796 . . . 4 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 = Σ*𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶)
2717, 26breqtrd 4818 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐶 ≤ Σ*𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶)
285, 27jca 555 . 2 (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 ≤ Σ*𝑘𝐴𝐶 ∧ Σ*𝑘𝐴𝐶 ≤ Σ*𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶))
29 iccssxr 12420 . . . 4 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
3024ralrimiva 3092 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 ∈ (0[,]+∞))
31 nfcv 2890 . . . . . 6 𝑘(𝐴𝐵)
3231esumcl 30372 . . . . 5 (((𝐴𝐵) ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 ∈ (0[,]+∞))
3322, 30, 32syl2anc 696 . . . 4 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 ∈ (0[,]+∞))
3429, 33sseldi 3730 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 ∈ ℝ*)
353ralrimiva 3092 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
36 nfcv 2890 . . . . . 6 𝑘𝐴
3736esumcl 30372 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘𝐴𝐶 ∈ (0[,]+∞))
382, 35, 37syl2anc 696 . . . 4 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐶 ∈ (0[,]+∞))
3929, 38sseldi 3730 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐶 ∈ ℝ*)
40 xrletri3 12149 . . 3 ((Σ*𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑘𝐴𝐶 ∈ ℝ*) → (Σ*𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 = Σ*𝑘𝐴𝐶 ↔ (Σ*𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 ≤ Σ*𝑘𝐴𝐶 ∧ Σ*𝑘𝐴𝐶 ≤ Σ*𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶)))
4134, 39, 40syl2anc 696 . 2 (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 = Σ*𝑘𝐴𝐶 ↔ (Σ*𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 ≤ Σ*𝑘𝐴𝐶 ∧ Σ*𝑘𝐴𝐶 ≤ Σ*𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶)))
4228, 41mpbird 247 1 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 = Σ*𝑘𝐴𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1620  wcel 2127  wral 3038  Vcvv 3328  cdif 3700  cun 3701  wss 3703   class class class wbr 4792  (class class class)co 6801  0cc0 10099  +∞cpnf 10234  *cxr 10236  cle 10238  [,]cicc 12342  Σ*cesum 30369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-inf2 8699  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176  ax-pre-sup 10177  ax-addf 10178  ax-mulf 10179
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-fal 1626  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-iin 4663  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-se 5214  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-isom 6046  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-of 7050  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-supp 7452  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-er 7899  df-map 8013  df-pm 8014  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8429  df-fi 8470  df-sup 8501  df-inf 8502  df-oi 8568  df-card 8926  df-cda 9153  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-div 10848  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-4 11244  df-5 11245  df-6 11246  df-7 11247  df-8 11248  df-9 11249  df-n0 11456  df-z 11541  df-dec 11657  df-uz 11851  df-q 11953  df-rp 11997  df-xneg 12110  df-xadd 12111  df-xmul 12112  df-ioo 12343  df-ioc 12344  df-ico 12345  df-icc 12346  df-fz 12491  df-fzo 12631  df-fl 12758  df-mod 12834  df-seq 12967  df-exp 13026  df-fac 13226  df-bc 13255  df-hash 13283  df-shft 13977  df-cj 14009  df-re 14010  df-im 14011  df-sqrt 14145  df-abs 14146  df-limsup 14372  df-clim 14389  df-rlim 14390  df-sum 14587  df-ef 14968  df-sin 14970  df-cos 14971  df-pi 14973  df-struct 16032  df-ndx 16033  df-slot 16034  df-base 16036  df-sets 16037  df-ress 16038  df-plusg 16127  df-mulr 16128  df-starv 16129  df-sca 16130  df-vsca 16131  df-ip 16132  df-tset 16133  df-ple 16134  df-ds 16137  df-unif 16138  df-hom 16139  df-cco 16140  df-rest 16256  df-topn 16257  df-0g 16275  df-gsum 16276  df-topgen 16277  df-pt 16278  df-prds 16281  df-ordt 16334  df-xrs 16335  df-qtop 16340  df-imas 16341  df-xps 16343  df-mre 16419  df-mrc 16420  df-acs 16422  df-ps 17372  df-tsr 17373  df-plusf 17413  df-mgm 17414  df-sgrp 17456  df-mnd 17467  df-mhm 17507  df-submnd 17508  df-grp 17597  df-minusg 17598  df-sbg 17599  df-mulg 17713  df-subg 17763  df-cntz 17921  df-cmn 18366  df-abl 18367  df-mgp 18661  df-ur 18673  df-ring 18720  df-cring 18721  df-subrg 18951  df-abv 18990  df-lmod 19038  df-scaf 19039  df-sra 19345  df-rgmod 19346  df-psmet 19911  df-xmet 19912  df-met 19913  df-bl 19914  df-mopn 19915  df-fbas 19916  df-fg 19917  df-cnfld 19920  df-top 20872  df-topon 20889  df-topsp 20910  df-bases 20923  df-cld 20996  df-ntr 20997  df-cls 20998  df-nei 21075  df-lp 21113  df-perf 21114  df-cn 21204  df-cnp 21205  df-haus 21292  df-tx 21538  df-hmeo 21731  df-fil 21822  df-fm 21914  df-flim 21915  df-flf 21916  df-tmd 22048  df-tgp 22049  df-tsms 22102  df-trg 22135  df-xms 22297  df-ms 22298  df-tms 22299  df-nm 22559  df-ngp 22560  df-nrg 22562  df-nlm 22563  df-ii 22852  df-cncf 22853  df-limc 23800  df-dv 23801  df-log 24473  df-esum 30370
This theorem is referenced by:  omsmeas  30665
  Copyright terms: Public domain W3C validator