Theorem esumpad 30447

Description: Extend an extended sum by padding outside with zeroes. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumpad.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
esumpad.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
esumpad.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
esumpad.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 = 0)

Assertion

Ref	Expression
esumpad	⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶 = Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑉   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem esumpad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1992	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		nfcv 2902	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
3		nfcv 2902	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐵 ∖ 𝐴)
4		esumpad.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		elex 3352	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
7		esumpad.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
8		difexg 4960	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ V)
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ V)
10		disjdif 4184	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵 ∖ 𝐴)) = ∅
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵 ∖ 𝐴)) = ∅)
12		esumpad.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
13		difssd 3881	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝐴) ⊆ 𝐵)
14	13	sselda 3744	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝑘 ∈ 𝐵)
15		esumpad.4	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 = 0)
16		0e0iccpnf 12496	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)
17	15, 16	syl6eqel 2847	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
18	14, 17	syldan 488	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
19	1, 2, 3, 6, 9, 11, 12, 18	esumsplit 30445	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴))𝐶 = (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)𝐶))
20		undif2 4188	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = (𝐴 ∪ 𝐵)
21		esumeq1 30426	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = (𝐴 ∪ 𝐵) → Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴))𝐶 = Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶)
22	20, 21	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴))𝐶 = Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶
23	22	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴))𝐶 = Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶)
24	14, 15	syldan 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 = 0)
25	24	ralrimiva 3104	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)𝐶 = 0)
26	1, 25	esumeq2d 30429	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)𝐶 = Σ*𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)0)
27	3	esum0 30441	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∖ 𝐴) ∈ V → Σ*𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)0 = 0)
28	9, 27	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)0 = 0)
29	26, 28	eqtrd 2794	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)𝐶 = 0)
30	29	oveq2d 6830	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)𝐶) = (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 +𝑒 0))
31		iccssxr 12469	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
32	12	ralrimiva 3104	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
33	2	esumcl 30422	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ∈ (0[,]+∞))
34	4, 32, 33	syl2anc 696	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ∈ (0[,]+∞))
35	31, 34	sseldi 3742	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ∈ ℝ*)
36		xaddid1 12285	. . . 4 ⊢ (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ∈ ℝ* → (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 +𝑒 0) = Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶)
37	35, 36	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 +𝑒 0) = Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶)
38	30, 37	eqtrd 2794	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)𝐶) = Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶)
39	19, 23, 38	3eqtr3d 2802	1 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶 = Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∀wral 3050  Vcvv 3340   ∖ cdif 3712   ∪ cun 3713   ∩ cin 3714  ∅c0 4058  (class class class)co 6814  0cc0 10148  +∞cpnf 10283  ℝ^*cxr 10285   +_𝑒 cxad 12157  [,]cicc 12391  Σ^*cesum 30419

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226  ax-addf 10227  ax-mulf 10228

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-supp 7465  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-ixp 8077  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fsupp 8443  df-fi 8484  df-sup 8515  df-inf 8516  df-oi 8582  df-card 8975  df-cda 9202  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-xneg 12159  df-xadd 12160  df-xmul 12161  df-ioo 12392  df-ioc 12393  df-ico 12394  df-icc 12395  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-fl 12807  df-mod 12883  df-seq 13016  df-exp 13075  df-fac 13275  df-bc 13304  df-hash 13332  df-shft 14026  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-limsup 14421  df-clim 14438  df-rlim 14439  df-sum 14636  df-ef 15017  df-sin 15019  df-cos 15020  df-pi 15022  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-starv 16178  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-ip 16181  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-unif 16187  df-hom 16188  df-cco 16189  df-rest 16305  df-topn 16306  df-0g 16324  df-gsum 16325  df-topgen 16326  df-pt 16327  df-prds 16330  df-ordt 16383  df-xrs 16384  df-qtop 16389  df-imas 16390  df-xps 16392  df-mre 16468  df-mrc 16469  df-acs 16471  df-ps 17421  df-tsr 17422  df-plusf 17462  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-mhm 17556  df-submnd 17557  df-grp 17646  df-minusg 17647  df-sbg 17648  df-mulg 17762  df-subg 17812  df-cntz 17970  df-cmn 18415  df-abl 18416  df-mgp 18710  df-ur 18722  df-ring 18769  df-cring 18770  df-subrg 19000  df-abv 19039  df-lmod 19087  df-scaf 19088  df-sra 19394  df-rgmod 19395  df-psmet 19960  df-xmet 19961  df-met 19962  df-bl 19963  df-mopn 19964  df-fbas 19965  df-fg 19966  df-cnfld 19969  df-top 20921  df-topon 20938  df-topsp 20959  df-bases 20972  df-cld 21045  df-ntr 21046  df-cls 21047  df-nei 21124  df-lp 21162  df-perf 21163  df-cn 21253  df-cnp 21254  df-haus 21341  df-tx 21587  df-hmeo 21780  df-fil 21871  df-fm 21963  df-flim 21964  df-flf 21965  df-tmd 22097  df-tgp 22098  df-tsms 22151  df-trg 22184  df-xms 22346  df-ms 22347  df-tms 22348  df-nm 22608  df-ngp 22609  df-nrg 22611  df-nlm 22612  df-ii 22901  df-cncf 22902  df-limc 23849  df-dv 23850  df-log 24523  df-esum 30420

This theorem is referenced by:  esumpad2  30448  carsggect  30710