Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumfsup Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumfsup 29955
Description: Formulating an extended sum over integers using the recursive sequence builder. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Oct-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
esumfsup.1 𝑘𝐹
Assertion
Ref Expression
esumfsup (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘) = sup(ran seq1( +𝑒 , 𝐹), ℝ*, < ))

Proof of Theorem esumfsup
Dummy variables 𝑎 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1z 11367 . . . . . 6 1 ∈ ℤ
2 seqfn 12769 . . . . . 6 (1 ∈ ℤ → seq1( +𝑒 , 𝐹) Fn (ℤ‘1))
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 seq1( +𝑒 , 𝐹) Fn (ℤ‘1)
4 nnuz 11683 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
54fneq2i 5954 . . . . 5 (seq1( +𝑒 , 𝐹) Fn ℕ ↔ seq1( +𝑒 , 𝐹) Fn (ℤ‘1))
63, 5mpbir 221 . . . 4 seq1( +𝑒 , 𝐹) Fn ℕ
7 iccssxr 12214 . . . . . 6 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
8 esumfsup.1 . . . . . . . 8 𝑘𝐹
98esumfzf 29954 . . . . . . 7 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛))
10 ovex 6643 . . . . . . . 8 (1...𝑛) ∈ V
11 nfcv 2761 . . . . . . . . . . 11 𝑘
12 nfcv 2761 . . . . . . . . . . 11 𝑘(0[,]+∞)
138, 11, 12nff 6008 . . . . . . . . . 10 𝑘 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)
14 nfv 1840 . . . . . . . . . 10 𝑘 𝑛 ∈ ℕ
1513, 14nfan 1825 . . . . . . . . 9 𝑘(𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ)
16 simpll 789 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
17 1nn 10991 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℕ
18 fzssnn 12343 . . . . . . . . . . . . 13 (1 ∈ ℕ → (1...𝑛) ⊆ ℕ)
1917, 18mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → (1...𝑛) ⊆ ℕ)
20 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝑘 ∈ (1...𝑛))
2119, 20sseldd 3589 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
2216, 21ffvelrnd 6326 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
2322ex 450 . . . . . . . . 9 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ (1...𝑛) → (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞)))
2415, 23ralrimi 2953 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
25 nfcv 2761 . . . . . . . . 9 𝑘(1...𝑛)
2625esumcl 29915 . . . . . . . 8 (((1...𝑛) ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
2710, 24, 26sylancr 694 . . . . . . 7 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
289, 27eqeltrrd 2699 . . . . . 6 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) ∈ (0[,]+∞))
297, 28sseldi 3586 . . . . 5 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℝ*)
3029ralrimiva 2962 . . . 4 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → ∀𝑛 ∈ ℕ (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℝ*)
31 fnfvrnss 6356 . . . 4 ((seq1( +𝑒 , 𝐹) Fn ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℝ*) → ran seq1( +𝑒 , 𝐹) ⊆ ℝ*)
326, 30, 31sylancr 694 . . 3 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → ran seq1( +𝑒 , 𝐹) ⊆ ℝ*)
33 nnex 10986 . . . . 5 ℕ ∈ V
34 ffvelrn 6323 . . . . . . 7 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
3534ex 450 . . . . . 6 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞)))
3613, 35ralrimi 2953 . . . . 5 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
3711esumcl 29915 . . . . 5 ((ℕ ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
3833, 36, 37sylancr 694 . . . 4 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
397, 38sseldi 3586 . . 3 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
40 fvelrnb 6210 . . . . . . . . 9 (seq1( +𝑒 , 𝐹) Fn ℕ → (𝑥 ∈ ran seq1( +𝑒 , 𝐹) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) = 𝑥))
416, 40mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → (𝑥 ∈ ran seq1( +𝑒 , 𝐹) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) = 𝑥))
42 eqcom 2628 . . . . . . . . . 10 *𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) = 𝑥𝑥 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘))
439eqeq1d 2623 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) = 𝑥 ↔ (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) = 𝑥))
4442, 43syl5bbr 274 . . . . . . . . 9 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ↔ (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) = 𝑥))
4544rexbidva 3044 . . . . . . . 8 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) = 𝑥))
4641, 45bitr4d 271 . . . . . . 7 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → (𝑥 ∈ ran seq1( +𝑒 , 𝐹) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)))
4746biimpa 501 . . . . . 6 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ran seq1( +𝑒 , 𝐹)) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘))
4833a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ℕ ∈ V)
4934adantlr 750 . . . . . . . . 9 (((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
5017, 18mp1i 13 . . . . . . . . 9 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1...𝑛) ⊆ ℕ)
5115, 48, 49, 50esummono 29939 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘))
5251ralrimiva 2962 . . . . . . 7 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → ∀𝑛 ∈ ℕ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘))
5352adantr 481 . . . . . 6 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ran seq1( +𝑒 , 𝐹)) → ∀𝑛 ∈ ℕ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘))
5447, 53jca 554 . . . . 5 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ran seq1( +𝑒 , 𝐹)) → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)))
55 r19.29r 3068 . . . . 5 ((∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑥 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ∧ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)))
56 breq1 4626 . . . . . . 7 (𝑥 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) → (𝑥 ≤ Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘) ↔ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)))
5756biimpar 502 . . . . . 6 ((𝑥 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ∧ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) → 𝑥 ≤ Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘))
5857rexlimivw 3024 . . . . 5 (∃𝑛 ∈ ℕ (𝑥 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ∧ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) → 𝑥 ≤ Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘))
5954, 55, 583syl 18 . . . 4 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ran seq1( +𝑒 , 𝐹)) → 𝑥 ≤ Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘))
6059ralrimiva 2962 . . 3 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → ∀𝑥 ∈ ran seq1( +𝑒 , 𝐹)𝑥 ≤ Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘))
61 nfv 1840 . . . . . . . . . . 11 𝑘 𝑥 ∈ ℝ
6213, 61nfan 1825 . . . . . . . . . 10 𝑘(𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ)
63 nfcv 2761 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝑥
64 nfcv 2761 . . . . . . . . . . 11 𝑘 <
6511nfesum1 29925 . . . . . . . . . . 11 𝑘Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)
6663, 64, 65nfbr 4669 . . . . . . . . . 10 𝑘 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)
6762, 66nfan 1825 . . . . . . . . 9 𝑘((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘))
6833a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) → ℕ ∈ V)
69 simplll 797 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
7069, 34sylancom 700 . . . . . . . . 9 ((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
71 simplr 791 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) → 𝑥 ∈ ℝ)
7271rexrd 10049 . . . . . . . . 9 (((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
73 simpr 477 . . . . . . . . 9 (((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) → 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘))
7467, 68, 70, 72, 73esumlub 29945 . . . . . . . 8 (((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)𝑥 < Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘))
75 ssnnssfz 29432 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑎 ⊆ (1...𝑛))
76 r19.42v 3086 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑛 ∈ ℕ (((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ⊆ (1...𝑛)) ↔ (((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑎 ⊆ (1...𝑛)))
77 nfv 1840 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘 𝑎 ⊆ (1...𝑛)
7867, 77nfan 1825 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘(((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ⊆ (1...𝑛))
7910a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ⊆ (1...𝑛)) → (1...𝑛) ∈ V)
80 simp-4l 805 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ⊆ (1...𝑛)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
8117, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1...𝑛) ⊆ ℕ
82 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ⊆ (1...𝑛)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝑘 ∈ (1...𝑛))
8381, 82sseldi 3586 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ⊆ (1...𝑛)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
8480, 83ffvelrnd 6326 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ⊆ (1...𝑛)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
85 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ⊆ (1...𝑛)) → 𝑎 ⊆ (1...𝑛))
8678, 79, 84, 85esummono 29939 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ⊆ (1...𝑛)) → Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘))
8786reximi 3007 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑛 ∈ ℕ (((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ⊆ (1...𝑛)) → ∃𝑛 ∈ ℕ Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘))
8876, 87sylbir 225 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑎 ⊆ (1...𝑛)) → ∃𝑛 ∈ ℕ Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘))
8975, 88sylan2 491 . . . . . . . . 9 ((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) → ∃𝑛 ∈ ℕ Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘))
9089ralrimiva 2962 . . . . . . . 8 (((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) → ∀𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)∃𝑛 ∈ ℕ Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘))
91 r19.29r 3068 . . . . . . . . 9 ((∃𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)𝑥 < Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ∧ ∀𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)∃𝑛 ∈ ℕ Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)(𝑥 < Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)))
92 r19.42v 3086 . . . . . . . . . 10 (∃𝑛 ∈ ℕ (𝑥 < Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ∧ Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)) ↔ (𝑥 < Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)))
9392rexbii 3036 . . . . . . . . 9 (∃𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)∃𝑛 ∈ ℕ (𝑥 < Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ∧ Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)(𝑥 < Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)))
9491, 93sylibr 224 . . . . . . . 8 ((∃𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)𝑥 < Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ∧ ∀𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)∃𝑛 ∈ ℕ Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)∃𝑛 ∈ ℕ (𝑥 < Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ∧ Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)))
9574, 90, 94syl2anc 692 . . . . . . 7 (((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)∃𝑛 ∈ ℕ (𝑥 < Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ∧ Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)))
96 simp-4r 806 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ)
9796rexrd 10049 . . . . . . . . . 10 (((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ*)
98 vex 3193 . . . . . . . . . . . 12 𝑎 ∈ V
99 nfcv 2761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘𝑎
10099nfel1 2775 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)
10167, 100nfan 1825 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘(((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin))
102101, 14nfan 1825 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ)
103 simp-5l 807 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑎) → 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
104 simpllr 798 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑎) → 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin))
105 inss1 3817 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝒫 ℕ ∩ Fin) ⊆ 𝒫 ℕ
106105sseli 3584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin) → 𝑎 ∈ 𝒫 ℕ)
107 elpwi 4146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 ∈ 𝒫 ℕ → 𝑎 ⊆ ℕ)
108104, 106, 1073syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑎) → 𝑎 ⊆ ℕ)
109 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑎) → 𝑘𝑎)
110108, 109sseldd 3589 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑎) → 𝑘 ∈ ℕ)
111103, 110ffvelrnd 6326 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑎) → (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
112111ex 450 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑘𝑎 → (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞)))
113102, 112ralrimi 2953 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘𝑎 (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
11499esumcl 29915 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ V ∧ ∀𝑘𝑎 (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
11598, 113, 114sylancr 694 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
1167, 115sseldi 3586 . . . . . . . . . 10 (((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
117 simp-5l 807 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
118 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝑘 ∈ (1...𝑛))
11981, 118sseldi 3586 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
120117, 119ffvelrnd 6326 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
121120ex 450 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ (1...𝑛) → (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞)))
122102, 121ralrimi 2953 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
12310, 122, 26sylancr 694 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
1247, 123sseldi 3586 . . . . . . . . . 10 (((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
125 xrltletr 11948 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℝ*) → ((𝑥 < Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ∧ Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)) → 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)))
12697, 116, 124, 125syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 (((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑥 < Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ∧ Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)) → 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)))
127126reximdva 3013 . . . . . . . 8 ((((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝑥 < Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ∧ Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)))
128127rexlimdva 3026 . . . . . . 7 (((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) → (∃𝑎 ∈ (𝒫 ℕ ∩ Fin)∃𝑛 ∈ ℕ (𝑥 < Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ∧ Σ*𝑘𝑎(𝐹𝑘) ≤ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)))
12995, 128mpd 15 . . . . . 6 (((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘))
130 fvelrnb 6210 . . . . . . . . . 10 (seq1( +𝑒 , 𝐹) Fn ℕ → (𝑦 ∈ ran seq1( +𝑒 , 𝐹) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) = 𝑦))
1316, 130mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → (𝑦 ∈ ran seq1( +𝑒 , 𝐹) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) = 𝑦))
132 eqcom 2628 . . . . . . . . . . 11 *𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) = 𝑦𝑦 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘))
1339eqeq1d 2623 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) = 𝑦 ↔ (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) = 𝑦))
134132, 133syl5bbr 274 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑦 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ↔ (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) = 𝑦))
135134rexbidva 3044 . . . . . . . . 9 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) = 𝑦))
136131, 135bitr4d 271 . . . . . . . 8 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → (𝑦 ∈ ran seq1( +𝑒 , 𝐹) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)))
137 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑦 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)) → 𝑦 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘))
138137breq2d 4635 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑦 = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)) → (𝑥 < 𝑦𝑥 < Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)))
13927, 136, 138rexxfr2d 4853 . . . . . . 7 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → (∃𝑦 ∈ ran seq1( +𝑒 , 𝐹)𝑥 < 𝑦 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)))
140139ad2antrr 761 . . . . . 6 (((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) → (∃𝑦 ∈ ran seq1( +𝑒 , 𝐹)𝑥 < 𝑦 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘)))
141129, 140mpbird 247 . . . . 5 (((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘)) → ∃𝑦 ∈ ran seq1( +𝑒 , 𝐹)𝑥 < 𝑦)
142141ex 450 . . . 4 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘) → ∃𝑦 ∈ ran seq1( +𝑒 , 𝐹)𝑥 < 𝑦))
143142ralrimiva 2962 . . 3 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘) → ∃𝑦 ∈ ran seq1( +𝑒 , 𝐹)𝑥 < 𝑦))
144 supxr2 12103 . . 3 (((ran seq1( +𝑒 , 𝐹) ⊆ ℝ* ∧ Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘) ∈ ℝ*) ∧ (∀𝑥 ∈ ran seq1( +𝑒 , 𝐹)𝑥 ≤ Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘) → ∃𝑦 ∈ ran seq1( +𝑒 , 𝐹)𝑥 < 𝑦))) → sup(ran seq1( +𝑒 , 𝐹), ℝ*, < ) = Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘))
14532, 39, 60, 143, 144syl22anc 1324 . 2 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → sup(ran seq1( +𝑒 , 𝐹), ℝ*, < ) = Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘))
146145eqcomd 2627 1 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ ℕ(𝐹𝑘) = sup(ran seq1( +𝑒 , 𝐹), ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wnfc 2748  wral 2908  wrex 2909  Vcvv 3190  cin 3559  wss 3560  𝒫 cpw 4136   class class class wbr 4623  ran crn 5085   Fn wfn 5852  wf 5853  cfv 5857  (class class class)co 6615  Fincfn 7915  supcsup 8306  cr 9895  0cc0 9896  1c1 9897  +∞cpnf 10031  *cxr 10033   < clt 10034  cle 10035  cn 10980  cz 11337  cuz 11647   +𝑒 cxad 11904  [,]cicc 12136  ...cfz 12284  seqcseq 12757  Σ*cesum 29912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974  ax-addf 9975  ax-mulf 9976
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-iin 4495  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-of 6862  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-supp 7256  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-pm 7820  df-ixp 7869  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-fsupp 8236  df-fi 8277  df-sup 8308  df-inf 8309  df-oi 8375  df-card 8725  df-cda 8950  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-z 11338  df-dec 11454  df-uz 11648  df-q 11749  df-rp 11793  df-xneg 11906  df-xadd 11907  df-xmul 11908  df-ioo 12137  df-ioc 12138  df-ico 12139  df-icc 12140  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-fl 12549  df-mod 12625  df-seq 12758  df-exp 12817  df-fac 13017  df-bc 13046  df-hash 13074  df-shft 13757  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-limsup 14152  df-clim 14169  df-rlim 14170  df-sum 14367  df-ef 14742  df-sin 14744  df-cos 14745  df-pi 14747  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-starv 15896  df-sca 15897  df-vsca 15898  df-ip 15899  df-tset 15900  df-ple 15901  df-ds 15904  df-unif 15905  df-hom 15906  df-cco 15907  df-rest 16023  df-topn 16024  df-0g 16042  df-gsum 16043  df-topgen 16044  df-pt 16045  df-prds 16048  df-ordt 16101  df-xrs 16102  df-qtop 16107  df-imas 16108  df-xps 16110  df-mre 16186  df-mrc 16187  df-acs 16189  df-ps 17140  df-tsr 17141  df-plusf 17181  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-mhm 17275  df-submnd 17276  df-grp 17365  df-minusg 17366  df-sbg 17367  df-mulg 17481  df-subg 17531  df-cntz 17690  df-cmn 18135  df-abl 18136  df-mgp 18430  df-ur 18442  df-ring 18489  df-cring 18490  df-subrg 18718  df-abv 18757  df-lmod 18805  df-scaf 18806  df-sra 19112  df-rgmod 19113  df-psmet 19678  df-xmet 19679  df-met 19680  df-bl 19681  df-mopn 19682  df-fbas 19683  df-fg 19684  df-cnfld 19687  df-top 20639  df-topon 20656  df-topsp 20677  df-bases 20690  df-cld 20763  df-ntr 20764  df-cls 20765  df-nei 20842  df-lp 20880  df-perf 20881  df-cn 20971  df-cnp 20972  df-haus 21059  df-tx 21305  df-hmeo 21498  df-fil 21590  df-fm 21682  df-flim 21683  df-flf 21684  df-tmd 21816  df-tgp 21817  df-tsms 21870  df-trg 21903  df-xms 22065  df-ms 22066  df-tms 22067  df-nm 22327  df-ngp 22328  df-nrg 22330  df-nlm 22331  df-ii 22620  df-cncf 22621  df-limc 23570  df-dv 23571  df-log 24241  df-esum 29913
This theorem is referenced by:  esumfsupre  29956  esumsup  29974
  Copyright terms: Public domain W3C validator